Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2008 Midtsemesterprøve torsdg 6. mrs 2008 kl 1000 1200. Oppgver på side 3 10. Svrtbell på side 11. Sett tydelige kryss. Husk å skrive på studentnummer på side 11. ET ER TILSTREKKELIG Å LEVERE INN SVRTELLEN PÅ SIE 11. Tilltte hjelpemidler: K. Rottmnn: Mtemtisk formelsmling. (Eller tilsvrende.) O. Øgrim og. E. Lin: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller. E. Lin og. ngell: Fysiske størrelser og enheter. Typegodkjent klkultor, med tomt minne, i henhold til liste utrbeidet v NTNU. (HP30S eller lignende.) Formelsmling Elektrosttikk er inkludert på side 2. Opplysninger: Prøven består v 25 oppgver. Hver oppgve hr ett riktig og tre gle svrlterntiv. u skl krysse v for ett svrlterntiv på hver oppgve. vkryssing for mer enn ett lterntiv eller ingen lterntiv betrktes som feil svr og gir i begge tilfelle null poeng. ersom ikke nnet er oppgitt, nts det t systemet er i elektrosttisk likevekt. ersom ikke nnet er oppgitt, er potensil underforstått elektrosttisk potensil, og tilsvrende for potensiell energi. ersom ikke nnet er oppgitt, er nullpunkt for potensil og potensiell energi vlgt uendelig lngt borte. Metll er synonymt med elektrisk leder. Isoltor er synonymt med dielektrikum. Store pln er synonymt med tilnærmet uendelig store pln. Noen nturkonstnter: ε 0 = 8.85 10 12 2 /Nm 2, 1/4πε 0 = 9 10 9 Nm 2 / 2, e = 1.6 10 19, m e = 9.11 10 31 kg, m p = 1.67 10 27 kg, g = 9.8 m/s 2, c = 3 10 8 m/s. Symboler ngis i kursiv (f.eks V for potensil) mens enheter ngis uten kursiv (f.eks V for volt). SI-prefikser: M (meg) = 10 6, k (kilo) = 10 3, c (centi) = 10 2, m (milli) = 10 3, µ (mikro) = 10 6, n (nno) = 10 9, p (piko) = 10 12. Omkrets v sirkel: 2πr. rel v kuleflte: 4πr 2. Volum v kule: 4πr 3 /3. Grdient i krtesiske koordinter: f = ( f/ x) ˆx + ( f/ y) ŷ + ( f/ ) ẑ Grdient v kulesymmetrisk funksjon f(r): f = ( f/ r) ˆr 1
Formelsmling Elektrosttikk d ngir flteintegrl og dl ngir linjeintegrl. ngir integrl over lukket flte eller rundt lukket kurve. Fete symboler ngir vektorer. Symboler med htt over ngir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning nts forøvrig å være kjent. oulombs lov: Elektrisk felt og potensil: Elektrisk potensil fr punktldning: Elektrisk fluks: F = qq 4πε 0 r 2 ˆr E = V V = V V = V = q 4πε 0 r φ E = E d E dl Elektrosttisk krft er konservtiv: E dl = 0 Guss lov for elektrisk felt og elektrisk forskyvning: ε 0 E d = q Elektrisk forskyvning: d = q fri ε 0 E + P = ε r ε 0 E = εe Elektrisk dipolmoment; generelt, for område Ω med fordeling v ldning: p = r dq Elektrisk dipolmoment; for punktldninger ±q i vstnd d: Ω p = qd Elektrisk polrisering = elektrisk dipolmoment pr volumenhet: Lineær respons: Kpsitns: P = p V P = ε 0 χ e E = q V Energitetthet (energi pr volumenhet) i elektrisk felt: u E = 1 2 ε 0E 2 2
Oppgver 1) Hvilken påstnd er feil? Potensilet på en elektrisk leder er konstnt. Enheten F/m kn brukes for elektrisk permittivitet. En kondenstors kpsitns øker lineært med ldningen på kondenstoren. To punktldninger 2Q og 2Q i innbyrdes vstnd 2R hr dobbelt så stor potensiell energi som to punktldninger og i innbyrdes vstnd R. 2) Hvilken påstnd er riktig? Elektrisk dipolmoment kn måles i enheten /m. Elektrisk polrisering kn måles i enheten /m. Elektrisk dipolmoment kn måles i enheten /m 2. Elektrisk polrisering kn måles i enheten /m 2. 3) Fire punktldninger, to positive (Q) og to negtive (), er plssert i hvert sitt hjørne v et kvdrt. Rnger det elektriske potensilet i de fire punktene 1, 2, 3 og 4. (Punkt 1 er midt på venstre sideknt, punkt 2 er midt i kvdrtet.) Q 4 V 1 > V 3 > V 4 > V 2 V 1 = V 2 = V 3 = V 4 V 3 > V 1 = V 2 > V 4 V 1 > V 3 = V 4 > V 2 1 2 3 Q 3
4) Fire store prllelle pln hr innbyrdes vstnd d, 2d og d/2 som vist i figuren. Plnene hr ldning pr flteenhet σ, σ, σ og σ (fr venstre mot høyre, og σ > 0). Rnger det elektriske potensilet i de fire punktene merket med 1, 2, 3 og 4. d 2d d/2 V 1 > V 2 > V 3 > V 4 V 1 > V 4 > V 2 = V 3 V 4 = V 1 > V 2 = V 3 V 1 = V 4 > V 3 > V 2 1 2 3 4 σ σ σ σ 5) To punktldninger ±q er plssert i x = ± (y = = 0). Hv blir netto elektrisk fluks gjennom en kuleflte med rdius 3/2 og sentrum i origo? q/ε 0 0 q/ε 0 2q/ε 0 q 0 q x 6) To punktldninger ±q er plssert i x = ± (y = = 0). Hv blir netto elektrisk fluks gjennom den delen v y-plnet som vgrenses v y, (og x = 0)? 0 q/6ε 0 q q/4ε 0 x q/3ε 0 q y 2 2 4
7) et elektriske feltet i et område er E(x, ) = ˆx E 0 coskx ẑ E 0 sin k, der k og E 0 er konstnter. Hv er d potensilforskjellen mellom origo og punktet (π/k, π/k, π/k), dvs V = V ( π k, π k, π ) V (0, 0, 0)? k V = 0 V = E 0 /2k V = E 0 /k V = 2E 0 /k 8) Potensilet i et område er V (y) = k V 0 y, der k og V 0 er konstnter. Hvor mye potensiell elektrisk energi U E befinner seg d i volumet vgrenset v 0 x π/k, 0 y π/k, 0 π/k? U E = ε 0 V0 2 π 3 /2k U E = ε 0 V0 2π2 /4k U E = ε 0 V0 4π/k U E = 0 9) Figuren viser et system med 3 punktldninger loklisert på -ksen: i = og i =, og 2Q i = 0. Hv er dette systemets elektriske dipolmoment p? p = 0 p = Q ẑ p = 2Q ẑ p = ẑ 2Q x 10) Hv er det elektriske feltet E(x) på den positive x-ksen i oppgve 9? E(x) = Qˆx [ ] 1 2πε 0 x + 1 2 x 2 + 2 E(x) = Qˆx [ ] 1 2πε 0 x 1 2 x 2 + 2 E(x) = Qˆx [ 1 2πε 0 E(x) = Qˆx 2πε 0 x + 2 [ 1 x 2 ] x (x 2 + 2 ) 3/2 ] x (x 2 + 2 ) 3/2 5
11) Lngt ute på den positive x-ksen (dvs x ) kn potensilet V (x) i oppgve 9 tilnærmet skrives som V (x) Q 4πε 0 x V (x) Q 4πε 0 x 2 V (x) Q2 4πε 0 x 3 V (x) Qx 4πε 0 2 12) Systemet i oppgve 9 hr potensiell energi U = 15Q2 16πε 0 U = 15Q2 16πε 0 2 U = 7Q2 8πε 0 2 U = 7Q2 8πε 0 13) Tre tynne uniformt ldete store prllelle metllplter med rel og ldning, 2Q, er loklisert i =, 0,, som vist i figuren til høyre. Hvilken grf viser korrekt resulterende elektrisk felt E() (slik t E() = E() ẑ)? E() E() E() E() 0 2Q 14) Hv er totl potensiell energi for de tre ldete pltene i oppgve 13? U = Q2 ε 0 U = Q2 ε 0 U = Q2 ε 0 U = Q2 ε 0 6
15) For systemet i oppgve 13 settes potensilet lik null på den nederste plten, dvs V ( ) = 0. Hv er d potensilene V (0) og V () på henholdsvis midtre og øverste plte? V (0) = Q ε 0 V (0) = Q ε 0, V () = 0 V (0) = Q ε 0, V () = 0 V (0) = Q ε 0, V () = 2Q ε 0, V () = 2Q ε 0 16) I systemet i oppgve 13 fylles volumet mellom midtre og øverste plte med en dielektrisk skive med reltiv permittivitet ε r = 10. Hv blir nå potensilforskjellen V = V () V ( ) mellom øverste og nederste plte? 0 V = Q 10ε 0 ε r =10 V = 10Q ε 0 2Q V = 9Q 10ε 0 V = 10Q 9ε 0 17) Øverste og nederste plte i oppgve 16 forbindes med en tynn elektrisk leder slik t de to pltene oppnår smme elektriske potensil. estem resulterende ldning 1 og 2 på henholdsvis øverste og nederste plte. (u kn nt t den tynne lederen som forbinder de to pltene hele tiden er elektrisk nøytrl.) 1 = 20Q/11, 2 = 2Q/11 1 = 2Q/11, 2 = 20Q/11 1 = 20Q/9, 2 = 2Q/9 1 = 2Q/9, 2 = 20Q/9 0 ε r =10 1 2Q 2 7
18) Ei metllkule med rdius R og (negtiv) ldning er omgitt v et vkuumsjikt med tykkelse R fulgt v et metllisk kuleskll med tykkelse R og ldning 3Q. Hvor mye ldning befinner seg på kuleskllets ytre overflte? 4R 6R 2R 0 Q 2Q 3Q 3Q 19) Hvilken grf viser korrekt E(r) (slik t E(r) = E(r) ˆr) for systemet i oppgve 18? E(r) E(r) R 3R r R 3R r E(r) E(r) R 3R r R 3R r 20) Hv er potensilforskjellen mellom kuleskllet og et punkt som ligger i vstnd 6R fr sentrum v systemet i oppgve 18, dvs V = V (r = 3R) V (r = 6R)? V = Q/3πε 0 R V = Q/6πε 0 R V = Q/12πε 0 R V = Q/24πε 0 R 8
21) To store metlliske pln hr rel og ldning pr flteenhet henholdsvis σ 0 (øverste plte) og σ 0 (nederste plte). Pltevstnden er d. Volumet mellom metllpltene er fylt med to dielektriske skiver. Medium 1, i øverste hlvdel, hr reltiv permittivitet ε r mens medium 2, i nederste hlvdel, hr reltiv permittivitet 2ε r. Hvor stor blir polriseringen P 1 i medium 1? P 1 = (1 1 ) σ 0 P 1 = ε r σ 0 εr P 1 = (1 + 1 ) εr σ 0 P 1 = σ 0 ε r σ 0 d/2 1 ε r P 1 d/2 2 2ε r σ 0 22) Hv blir kpsitnsen til prllellpltekondenstoren i oppgve 21? (Tips: ette kn betrktes som en seriekobling v to kpsitnser.) = 3ε r ε 0 /2d = 4ε r ε 0 /3d = 5ε r ε 0 /4d = 6ε r ε 0 /5d 23) Hvilken v figurene nedenfor illustrerer feltlinjer for det elektriske feltet E i prllellpltekondenstoren i oppgve 21? 9
24) Figuren viser en smmenkobling v 4 kpsitnser,, 2, 3 og 4. Hv blir totl kpsitns for hele smmenkoblingen? 2 29/5 10 20/29 15/2 Q 4 3 25) nt t det mellom endepunktene og i oppgve 24 er en potensilforskjell V 0 = V V. Hvor mye ldning (±)Q befinner seg d på kpsitnsen 3? Q = 29V 0 /12 Q = 31V 0 /5 Q = 5V 0 /31 Q = 12V 0 /29 10
Institutt for fysikk, NTNU FY1003/TFY4155 Elektrisitet og mgnetisme/elektromgnetisme Midtsemesterprøve torsdg 6. mrs 2008 kl 1000 1200. Emnekode: Studentnummer: Svrtbell Oppgve Oppgve 1 14 2 15 3 16 4 17 5 18 6 19 7 20 8 21 9 22 10 23 11 24 12 25 13 N: Kontroller t du hr stt ETT KRYSS for hver v de 25 oppgvene. 11