Kap. 4+5 Rotasjon av stive legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakseleasjon (ep) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ep) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Kaftmoment τ (N2-ot) stive legeme: τ = I d/dt Rulling Spinn (deieimpuls): L (N2-ot) alle legeme: τ = dl/dt Stive legeme: L = I Eksemple: gyoskop, m.m.m Denne uka Spinn (angula momentum) Kap 5 Ch. 10.5 Spinn ved otasjon L = m v v => L = m v L = m 2 = I Stivt legeme, ot. om symmetiakse: L = Σm i i 2 = I 90 o Spinn ved tanslasjon Spinn ved tanslasjon L = m v L = m v sin Φ = 0 mv Med patikkelbanen gjennom A (oigo), e v og: L = m v = 0 v v v v mg 0 Φ mg v v v v A Φ A Hvis F = 0 e v = konst => L=konst. = mv 0 Hvis f.eks. F = mg e τ 0 => L endes L avhengig av valgt oigo A, gjennom 0 1
d τ = x F Gyoskop F 1. Lodd holde hjulet i balanse 2. I =I holdes konstant nå otee gyokompass Raskee otasjon om fast akse: + d alle i samme etning (N2-ot): τ dt = I d => τ i samme etning som d => F som i figuen Hva hvis akseetningen skal endes? 3. Sto motstand mot ending 4. Ending av akseetning ved kaft nomalt på endingen Ending av akseetning Sett ovenfa: Ending akseetning: + d (N2-ot): τ dt = I d => τ i samme etning som d => F nedove + d τ = x F d F Kaft nedove Kap. 4+5. Rotasjon av stive legeme Teghetsmoment I = Σ i2 m i (om en gitt akse) Rotasjonsenegi E k = ½ Σ m i v 2 i = ½ I 2 Kaftmoment: τ = F stive legeme: Spinn (deieimpuls) L = m v = I Spinnsatsen (N2-ot): τ = d/dt L = I d/dt Ingen yte moment (N1-ot): L = konst. 2
Spinn: L = I = konstant! Pesone inn mot sentum: I = Σ m i 2 i avta må øke! Kinetisk enegi: E k = ½ I 2 =½L L konstant, øke E k øke! (hvofa?) Ikke stivt legeme! Ending av akseetning Sett ovenfa: + d τ = x F d F Kaft nedove Ending akseetning: + d v (N2-ot): τ dt = I d => τ i samme etning som d => F nedove Med vedvaende F få vi peseseing Sykkelhjul Ikke-oteende hjul: τ = x F + d d dl dφ= L dφ dl 1 1 F Ω = p dt = dt L =τ L = I Roteende hjul: Sett ovenfa: 3
Matematisk foklaing av fysikken ofte eneste mulige Nutasjon Richad Feynman (am. fysike/pedagog, 1918-1988): many simple things can be deduced mathematically moe apidly than they can eally be undestood in a fundamental o simple sense. This is a stange chaacteistic, and as we get into moe and moe advanced wok thee ae cicumstances in which mathematics will poduce esults which no one has eally been able to undestand in any diect fashon. Rotasjon om akse ikke-paallell med symmetiakse (Ikke pensum) Kap. 4+5. Rotasjon av stive legeme Teghetsmoment I = Σ i2 m i (om en gitt akse) Symmetiakse 2 L 2 = I 2 2 1 L = L 1 + L 2 Rotasjonsakse Rotasjonsenegi E k = ½ Σ m i v 2 i = ½ I 2 Kaftmoment: τ = F stive legeme: Spinn (deieimpuls) L = m v = I Symmetiakse 2 L 1 = I 1 1 Anta: I 2 > I 1 Da e ikke L paallell med L ende altså etning unde otasjonen Spinnsatsen (N2-ot): τ = d/dt L Ingen yte moment: L = konst. = I d/dt = Iα 4
Hva bety gyoeffekten fo å holde sykkel oppe? M. Jones testet dette med hjul som otete motsatt etning, dvs. motsatt gyoeffekt. => En URB (UnRideableBicycle)? URB = UnRidableBicycle!? Sykkelba! OK URB D.E.H. Jones. Physics Today, Apil 1970 D.E.H. Jones. Physics Today, Apil 1970 (Kot oppsummeing) Counte-steeing Snelle med sno Tekkes mot deg ved liten vinkel θ Tekkes fa deg ved sto vinkel θ Vi fant: Gense ved cos θ = /R Kav til statisk likevekt: Ingen tanslasjon => Σ F = 0 Ingen otasjon => Σ τ = 0 ( τ = F )»om enhve valgt akse 5
Effekt = moment vinkelhastighet τ P = τ Konstant-akseleasjonslikninge Tanslasjon: (konstant akseleasjon a) Rotasjon om fast akse: (konstant vinkelakseleasjon α) v = v 0 + a t = 0 + α t f = 4000 RPM P = 70 kw τ = 160 Nm Stemme med P = τ 0 Nm RPM= 60/2π s = s 0 + v 0 t + ½ at 2 v 2 v 02 = 2as s -s 0 = <v>t = ½(v+v 0 ) t θ = θ 0 + 0 t + ½ α t 2 2 02 = 2αθ θ θ 0 = <>t = ½(+ 0 ) t Saab 9-3 1.8i 122hk. Effekt og deiemoment, diagam. Den sote kuven angi deiemomentet i newton-mete (Nm), den oange angi effekten i kw elle hestekefte (bhp). F f Skli: = 0 B R A v 0 Bowlingkule < v/r Om A: L A = m v + I 0 Ingen kefte ha moment => L A = konst. = mv 0 s Rulle: = v ull /R v ull L stat = L slutt => v ull = v 0 5/7 (*) -- uten å kjenne F f! Om B: L B =I 0 τ f = F f R => L B ikke konst. men I 0 d/dt = F f R, må kjenne F f Kap. 4+5. Rotasjon. Oppsummeing. Vinkelhastighet = dθ/dt, vinkelakseleasjon α= d /dt Sentipetalakseleasjon a c = - 2 = - v = - v 2 / Baneakseleasjon a t = α Rotasjonsenegi E k = ½ I 2 Teghetsmoment I = Σ i2 m i 2 dm (om en gitt akse) Deiemoment: τ = F Spinn (deieimpuls) = L = m v (om en gitt akse) Fo stivt legeme: L = I Spinnsatsen: τ = dl /dt (Newton 2 fo otasjon) Fo stivt legeme: τ = I d/dt Fiksjon e vesentlig fo ulling: ein ulling: statisk fiksjon F f μ s F N. Fiksjonsabeidet neglisjebat slue/gli: kinetisk fiksjon F f = μ k F N Eksemple: ulling, gyoskop (sykkelhjul), banekausell, m.m. 6
Tanslasjon: Bevegelsesmengde (linea momentum): p = m v N2-tans: F = dp/dt Stivt legeme (konst. m): F = m dv/dt= m a Rotasjon: Spinn (angula momentum): L = X m v L = I Stivt legeme N2-ot (spinnsatsen): τ = dl/dt Stivt legeme (konst. I ): τ = I d/dt= I α Kap. 4+5. Analogie tanslasjons- og otasjonsbevegelse F = 0 => p = konstant (N1) stivt legeme: v = konst τ = 0 => L = konstant (N1-ot) stivt legeme: = konst Spinn fo fallende katt bevat? Katte lande - alltid på føttene! L = 0 ved stat og ved slutt L = 0 undeveis!? 7