Eksame 11. mai 2015 Eksamestid 4 timar IR201812 Statistikk og Simulerig Skrive og trykte hjelpemiddel samt kalkulator er tillate. Ta med all mellomrekig som tregst for å grugje svaret. Oppgåve 1...................................................................................... (10%) Lat X og Y vera uavhegige stokastiske variablar trekt uiformt frå {0, 1}. Lat Z = X Y mod 2. (Dersom me tolkar 0 som usa og 1 som sa, er Z logisk «X og Y».) (a) Kva meier me med at X og Y er uavhegige? Solutio: P (X Y ) = P (X) P (Y ) Det fies flere likeverdige defiisjoer; se bok. (b) Kva er utfallsrommet til Z? Solutio: Z ka ata verdiee 0 0 = 0, 0 1 = 0, 1 0 = 0 og 1 1 = 1. Utfallsrommet er derfor {0, 1}. (c) Set opp sasysfordeliga til Z i ei tabell. Solutio: Z P(Z) 0 0,75 1 0,25 (d) Kva er forvetigsverdie E(Z)? Solutio: E(Z) = Z P (Z) = 0,75 0 + 0,25 1 = 0,25 (e) Kva er variase var(z)? Solutio: var(z) = (Z E(Z)) 2 P (Z) = 0,75 (0 0,25) 2 + 0,25 (1 0,25) 2 = 0,1875 Oppgåve 2....................................................................................... (6%) Me kastar ei rettferdig myt to gogar. Lat de stokastiske variabele X vera talet på kro i løpet av desse to kasta. Rek ut forvetigsverdie µ = E(X) på to måtar, der du viser utrekiga i detalj: (a) ved hjelp av utfallsrommet S og formele µ = x S x p(x) Solutio: µ = utfallsrom x p(x) = 0 p(0) + 1 p(1) + 2 p(2) = 0 1 4 + 1 1 2 + 2 1 4 = 1 (b) ved hjelp av populasjoe P og formele µ = 1 x x P Solutio: µ = 1 populasjo x = 1 4 (0 + 2 1 + 2) = 1 Me gjetek eksperimetet fire gogar og får utvalet U = {2, 0, 1, 1}.
(c) Rek ut utvalsmiddelverdie x. Solutio: x = 1 utvalg x = 1 4 (2 + 0 + 1 + 1) = 1 Oppgåve 3....................................................................................... (4%) Bruk sasystabellae i boka og fi fylgjade: 1. P (Z < 0,5) der Z N(0, 1) (stadard ormalfordelig) Solutio: P (Z < 0,5) = 0,3085 2. De kritiske verdie t slik at P (T > t) = 0,05 år T har Studets t-fordelig med fem fridomsgradar. Solutio: t = 2,015 Oppgåve 4....................................................................................... (7%) Ei partikkel fist i eit firkata, todimesjoalt raster med uedeleg utstrekkig. For kvart tidssteg går partikkele eitt steg til ei av dei fire aboposisjoae med fylgjade sasysfordelig: 40% 30% start 30% 0% (a) Rek ut sasysfordelige for posisjoe etter to steg. Solutio: 16% 24% 24% 9% 18% 9% (b) Rek ut sasysfordelige for posisjoe etter tre steg. Solutio: 6,4% 14,4% 14,4% 10,8% 21,6% 10,8% 2,7% 8,1% 8,1% 2,7%
Oppgåve 5....................................................................................... (8%) Ei stokastisk variabel X er biomialfordelt med = 10 forsøk og puktsasy π = 0,2. (a) Rek ut sasyet P (X 2). Solutio: P (X 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = ( ) 10 0 0,20 0,8 10 + ( ) 10 1 0,21 0,8 9 + ( ) 10 2 0,22 0,8 8 = 0,678 Ei ae stokastisk variabel Y er biomialfordelt med = 10000 forsøk og puktsasy π = 0,2. (b) Rek ut forvetigsverdie E(Y ). Solutio: E(Y ) = π = 10000 0,2 = 2000 (c) Rek ut variase σ 2 for Y. Solutio: σ 2 = π (1 π) = 10000 0,2 0,8 = 1600 (d) Fi sasyet P (Y 2000). Forklar korleis du fi svaret. Solutio: Vi bruker setralgresesetige fordi er stor. For e biomisk variabel er µ = π = 10000 0,2 = 2000 og σ = π (1 π) = ( ) 10000 0,2 0,8 = 40. Vi fier: P (Y 2000) = P Y µ σ 2000 µ σ = P ( ) Z 2000 2000 40 = P (Z 0) = 0,5 Oppgåve 6...................................................................................... (10%) Eit dataprogram skal simulera ei rettferdig firesida terig. (a) Rek ut forvetigsverdie µ til terige. Solutio: µ = 1 i x i = 1 4 (1 + 2 + 3 + 4) = 2,5 Me testar dataprogrammet ved å køyra det 10000 gogar og fi: Tal på augo Frekves 1 2411 2 2340 3 2654 4 2595 Middelverdie over utvalet er 2,5433 og stadardavviket er 1,2494. (b) Fi eit 99% kofidesitervall for forvetigsverdie µ for talet på augo per terigkast i dette dataprogrammet. Solutio: Kofidesitervall for µ år σ er ukjet: s x t α/2 s < µ < x + t α/2 Vi setter i verdiee: x = 2,5433, s = 1,2494, = 10000 og t α/2 = 2,576 og fier: 2,5433 2,576 1,2494 10000 < µ < 2,5433 + 2,576 1,2494 10000 2,511 < µ < 2,575
(c) Verkar dee virtuelle terige rettferdig? Bruk svara i oppgåve a) og b) for å grugje svaret ditt. Solutio: For e rettferdig firesidet terig er µ = 2,5. Dee verdie ligger utefor 99% kofidesitervallet. Terige virker derfor ikke rettferdig. Likevel beviser dette ikke at terige ikke er rettferdig. Oppgåve 7...................................................................................... (10%) I dee oppgåva ser me på aget-basert simulerig. (a) Forklar hovudprisippa ved aget-basert simulerig. Kva kjeeteikar ei aget? Solutio: Aget-basert simulerig legg vekt på å simulera eiskilde idivid eller kompoetar mest mogleg uavhegig av kvaradre. Kvart idivid (kvar kompoet) vert modellert som ei aget. Aget-modelle defierer kva agete gjer, som ei fuksjo av det agete oppfattar av miljøet rudt seg. Agete treg ikkje iformasjo om heile det krigliggade systemet; berre om det lokale miljøet som direkte påverkar agete. Dette opar for å modellera agetae i detalj, uta å aalysera systemsamahegae på førehad. (Kjerepuktet her er at ei aget er ei modell av eit idivid (t.d. i eit økosystem) eller ei kompoet (t.d. i eit mekaisk system), som ka modellerast i detalj. Slik vert systemet modellert edafrå og opp.) Sjå for deg ei økoomisk modell der agetae er bedriftar som ka kjøpa og selja varer og aksjar. Ved implemetasjo er det aturleg, i alle fall, å ha ei simulator-klasse og ei aget-klasse, gjere med uderklassar. (b) Forklar kva asvar og oppgåver aget-klasse har. Solutio: Aget-klassa har asvar for oppførsele til agete, og iteragera med miljøet som del av dee oppførsele. Klassa har ei metode (act()) som vert kalt for kvart tidssteg, og dee metode defierer kva agete gjer i løpet av itervallet. (c) Forklar kva asvar og oppgåver simulator-klasse har. Solutio: Simulator-klassa må halda greie på klokka, og kalla ei act()-rutie i kvar aget for kvart tidssteg. Ved oppstart ka simulator-klassa ha asvar for å istatiera heile modelle med alle agetae. Oppgåve 8....................................................................................... (9%) På ei veg med fartsgrese på 80 km/h måler me farte på politibilar. Fire politibilar køyrer forbi i løpet av ei time, og farte vert målt til 90, 88, 80 og 94 km/h. Gå ut frå at farte på politibilar på dee vege er ormalfordelt. Har me statistisk grulag for å seia at gjeomsittleg fart for politibilar ligg over fartsgresa på dee vege? Formuler dei hypotesae som du treg, og test på 5% sigifikasivå. Solutio: Dette er e ésidig hypotesetest for µ år σ er ukjet. Vi fier: x = 88 og s = 5,89. Vi setter opp hypotesee: H 0 : µ = 80 H 1 : µ > 80 De observerte t-verdie er: t obs = x µ0 s/ = 88 80 5,89/ = 2,7 p-verdi = P (T 2,7) = 0,037 4 Side p-verdi = 0,037 < 0,05 = α, forkaster vi ullhypotese og aksepterer de alterative hypotese: Gjeomsittlig hastighet til politibiler på dee veie ligger over 80km/h.
Oppgåve 9...................................................................................... (12%) I mage formar for simulerig, vert ladskapet modellert som eit ruteett eller raster (grid). På yttergresee av ruteettet må ei ta særskilde omsy, og der fist ulike radvilkår som ka brukast. Tek på ei aget-basert simulerig, og sjå på kva som skjer år ei aget kjem til ytterkate av ruteettet. Gje tre døme på ulike radvilkår, og forklar korleis du vil programmera oppførsele åt agete i kvart tilfelle. Solutio: Radbetigelsee ka være reflekterede, periodiske eller absorberede. Reflekterede: Hvis e aget etter i et tidsteg har valgt å bevege seg utefor rasteret, plasserer vi agete på de posisjoe, speilet i kate av brettet. Dette ka vi gjøre uavhegig for hver hovedakse. La oss si at x-koordiate går fra 0 til, og agete øsker å bevege seg fra posisjo x old = til posisjo x ew,try = + 1. Vi ka da speile x-koordiate i posisjo x boudary = + 0,5, slik at x-koordiate blir x ew = x boudary max(0, x ew,try x boudary ) = +0,5 max(0, +1 (+0,5)) = +0,5 max(0, 0,5) =. Et alterativ er å velge x boudary =. Ved udergrese x = 0 gjelder også: x ew = x boudary mi(0, x ew,try x boudary ). Periodisk: Betrakt x-koordiate (w.l.o.g.). Da gjelder: x ew = x ew,try %. Absorberede: Agete aihileres år de overskrider e av gresee.
Oppgåve 10.....................................................................................(10%) Me simulerer ei veg og tel bilae som passerer ei vegeskil per tidseiig. For datasettet gjeld: Tid (mi) Atall biler 3 102 6 193 9 292 12 399 x = 30 y = 986 x 2 = 270 y 2 = 292118 xy = 8880. (a) Bruk miste kvadratsum-metode for å fia de beste rette lia for å beskriva datasettet. Solutio: Vi fier: = 4 xy = 3 102 + 6 193 + 9 292 + 12 399 = 8880 x 2 = 3 2 + 6 2 + 9 2 + 12 2 = 270 y 2 = 102 2 + 193 2 + 292 2 + 399 2 = 292118 x = 3 + 6 + 9 + 12 = 30 y = 102 + 193 + 292 + 399 = 986 b = xy x y x 2 ( x) 2 y = 4 8880 30 986 4 270 30 2 = 33 a = ȳ b x = b x = 986 4 33 30 4 = 1,0 Dermed blir de estimerte regresjoslija: ŷ = a + bx = 33x 1 (b) Rek ut korrelasjoskoeffisiete mellom tid og talet på bilar. Solutio: S xx = x 2 x 2 = ( x 2 x S yy = y 2 ȳ 2 = ( y 2 y x y ) 2 = 270 4 ( ) 30 2 4 = 45 ) 2 = 292118 4 ( ) 986 2 4 = 49069 S xy = xy xȳ = xy = 8880 4 30 4 4 = 1485 Utvalgskorrelasjoskoeffisiete er da: r = Sxy = 1485 SxxS yy 45 49069 = 0,9993 986 Oppgåve 11.....................................................................................(14%) Ei partikkel rører seg i eit éi-dimesjoalt raster. Sasysfordeliga for rørsla i kvart tidssteg er som fylgjer: Rørsle Sasy I ro 30% Eitt steg til vestre 25% Eitt steg til høgre 25% To steg til vestre 10% To steg til høgre 10%
Lat X vera rørsla i løpet av t tidssteg, der egativ verdi viser rørsle mot vestre og positiv mot høgre. (a) Vis at µ = E(X) = 0 for t = 1. Solutio: µ = E(X) = x p(x) = 0 0,30 + ( 1) 0,25 + 1 0,25 + ( 2) 0,10 + 2 0,10 = 0 (b) Vis at µ = E(X) = 0 for vilkårleg t. Solutio: Forflytige etter t tidssteg er summe av t uavhegige og idetisk fordelte variable, alle likt fordelt med X. Forvetigsverdie for forflytig etter t tidssteg blir da t µ X = t 0 = 0. (c) Rek ut diffusjoskoeffisiete til partikkele. Formele er E(X 2 ) = 2dDt der d = 1 er talet på dimesjoar, D er diffusjoskoeffisiete og t er tida. Solutio: Vi betrakter partikkele etter ett tidssteg. Forvetigsverdie for kvadratisk forflytig er da: E(X 2 ) = (x 2 p(x)) = 0 2 0,30 + ( 1) 2 0,25 + 1 2 0,25 + ( 2) 2 0,10 + 2 2 0,10 = 1,3 E(X 2 ) = 2dDt gir: 1,3 = 2 1 D 1, derfor D = 1,3 2 = 0,65 (d) Forklar kvifor E(X 2 ) (forvetigsverdi for kvadratisk forflytig) etter eitt tidssteg er lik variase var(x). Solutio: σ 2 x = E((X µ x ) 2 ) = E((X 0) 2 ) = E(X 2 ) N.B. Variase i posisjoe Z = X + p 0 etter ett tidssteg (hvor p 0 er startposisjoe) er også lik E(X 2 ). Side E(X) = µ x = 0 gjelder σ 2 z = E(Z µ z ) 2 ) = E(((X + p 0 ) E(X + p 0 )) 2 ) = E(((X + p 0 ) E(X) p 0 )) 2 ) = E(((X + p 0 ) 0 p 0 )) 2 ) = E(X 2 ) Partikkele byrjar på tid t = 0 og posisjo p 0 = 500. Lat de stokastiske variabele Y vera posisjoe til partikkele etter t = 1000 tidssteg. (e) Rek ut forvetigsverdie µ = E(Y ). Solutio: Vi ser: Y = X + p 0 = X + 500 Derfor: E(Y ) = E(X + 500) = E(X) + 500 = 0 + 500 = 500 (f) Rek ut variase σ 2 Y = var(y ) åt Y. Solutio: σy 2 = σ2 X+500 = σ2 X = 1000 σ2 X 1 = 1000 1,3 = 1300 hvor vi har brukt otasjoe X 1 for forflytige etter ett tidssteg. (g) Kva fordelig har Y? Grugje svaret. Solutio: Variabele Y er ei sum av mage uavhegige variablar og me ka difor bruka setralgresesatse, som seier at Y er tilærma ormalfordelt.