Om tilpasning av funksjoner til observerte dataer Anta at vi har tilgjengelig noen måledataer for en størrelse y som avhenger av en annen størrelse : : 1 2 $$$ n y : y 1 y 2 $$$ y n I mange situasjoner ønsker å vi tilpasse en funksjon f av en bestemt type slik at grafen til f approksimerer best mulig de gitte dataene. Vi skal se eksempler på tre mulige valg for funksjonen f : 1) f er en lineær funksjon av, dvs. f = a $ C b. 2) f er en eksponensialfunksjon av typen f = b $ a. 3) f er en potensfunksjon av typen f = b $ a. Eksempel 1 : om høyere utdanning i en befolkning. Følgende tabell angir utviklingen i et land over prosentandelen y av de som har en mastergrad (eller tilsvarende utdanning) blandt alle innbyggerne over 25 år : : 0 5 10 15 20 25 y : 10.7 13.9 16.2 19.4 21.3 23.0 Her angir antall år etter 1980. Tegner vi disse målepunktene inn i et y -koordinatsystem får vi følgende bilde :
y 22 20 18 16 14 12 0 5 10 15 20 25 Det ser ut som disse punktene nesten ligger på en rett linje : Vi kan legge inn et slik linje etter øyemål på "best mulig" måte (f.eks. ved hjelp av papir/linjal/blyant). Dette er ikke veldig vitenskapelig i dagens teknologiske verden, men kan være brukbart hvis man er fornøyd med en grov approksimasjon. Her kan vi f.eks. komme frem til linjen y = 0.5 C 11. Det finnes en linje med likning y = a $ C b som approksimerer de gitte punktene på best mulig måte (i en viss forstand) : denne linjen kalles minstekvadraters linje. Vi skal se hvordan man utleder en formel for denne i kapittel 12. Man beskriver ofte prosessen som såkalt lineær regresjon (eller minste kvadraters metode) på de gitte punktene. Med Maple er det enkelt å finne minstekvadraters linje : På radlinjen øverst i Maple, velg Tools -> Assistants -> Curve Fitting.
I boksen som kommer opp, fyll inn datapunktene og trykk Fit. Det kommer da en ny boks der punktene er tegnet inn i. Trykk på Plot i delboksen som heter least squares. Du vil da se minstekvadraters linje tegnet inn i bildet til venstre; likningen for denne linjen er oppgitt under. Hvis du vil importere likningen til dokumenentet du holder på med kan du velge Interpolant nederst ved knappen On 'done' return. Hvis du vil ha hele bildet importert til ditt dokument velger du plot istedet. Så trykker du Done. Gjør vi dette med datatene fra vårt eksempel får vi importert følgende bilde : 22 20 18 16 14 12 0 5 10 15 20 25 Vi passet da på å notere oss at Maple oppgir likningen for minste kvadraterslinje til å være y = 0.4965714286 $ C 11.20952381 z 0.497 $ C 11.210
Hvis vi forutsetter en tilsvarende utvikling i fremtiden, kan vi bruke dette til å anslå at i året 2020, som svarer til = 40, så vil da y være gitt ved : y z 0.497 $ 40 C 11.210 = 31.090. Eksempel 2 : om befolkningsveksten på jorden etter 1900. La angi antall år etter 1900 og y angi anslått befolkning (i milliarder) på jorden ved dette tidspunktet. Vi har tilgjengelig følgende (grove) måledata for og y : : 27 60 74 87 98 103 y : 2 3 4 5 6 6.3 6 y 5 4 3 2 30 40 50 60 70 80 90 100
Det kan se ut som y vokser eksponensielt med. Så vi ønsker å skrive y som en funksjon av på formen y = b $ a der a, b er begge positive konstanter. Vi innfører Y = ln y ( her kunne vi også brukt Y = log 10 y ). Poenget med dette er hvis y = b $ a så er da Y = ln y = ln b $ a = ln b C ln a = ln b C ln a dvs. Y = A C B, der A = ln a, B = ln b. Vi beregner nå Y = ln y for alle de målte y - verdiene : : 27 60 74 87 98 103 Y : ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln(6) ln(6.3) = 0.69315 =1.0986 = 1.3863 = 1.6094 =1.7918 =1.8405 Grafisk gir dette : 1.8 Y 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 30 40 50 60 70 80 90 100
Så bruker vi lineær regresjon på de "nye", Y punktene og bestemmer A og B slik at grafen til Y = A C B approksimerer disse punktene best mulig : Maple gir oss da 1.8 Y 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 30 40 50 60 70 80 90 100 Maple gir oss også at A = 0.01563270557, B = 0.2334441997 Dette gir videre at a = e A = e 0.01563270557 = 1.015755536 z 1.016 og b = e B = e 0.2334441997 = 1.262942353 z 1.263 Grafen til y = b a z 1.263 $ 1.016 vil altså gå approksimativt gjennom de opprinnelige målepunktene; dette kan vi sjekke grafiskt :
y 6 5 y = 1.263 $ 1.016 4 3 2 0 20 40 60 80 100 Befolkningen i 2050 kan anslåes etter denne modellen til å bli : 1.263 $ 1.016 150 = 13.66027815 mens den vil ha vokst i 2100 til : 1.263 $ 1.016 200 = 30.20959758 Eksempel 3 : om planter og deres gjennomsnittsmasse En bonde har et jorde der han planter hvert år et vist antall planter (av sammeart). Dette antallet, la oss si, varierer hvert år. Ved innhøstingen veier han plantene og regner ut deres gjennomsnittsmasse y (i kg). Måledataene han har notert ned eter noen år er : 52 97 200 304 392 523 y 0.263 0.097 0.039 0.020 0.012 0.009 Grafisk gir dette følgende bilde :
y 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0 100 200 300 400 500 Det kan se ut som y kan være på formen y = b $ a ( med a! 0, b O 0 ). Vi innfører nå X = ln, Y = ln y : For dersom y = b $ a vil da Y = ln b $ a = ln b C a $ ln = a$x C B, der B = ln b. Vi beregner nå X = ln og Y = ln y for alle de målte verdiene. Det gir :
X Y ln 52 ln 97 ln 200 ln 304 ln 392 ln 523 3.9512 ln 0.263 K1.3356 4.5747 ln 0.097 K2.3330 5.2983 ln 0.039 K3.2442 5.7170 ln 0.020 K3.9120 5.9713 ln 0.012 K4.4228 6.2596 ln 0.009 K4.7105 Så bruker vi lineær regresjon på X, Y punktene og bestemmer a og B slik at grafen til Y = a X C B approksimerer best mulig disse punktene. Maple gir da : 4 4.5 5 5.5 6 X K1.5 K2 K2.5 K3 K3.5 K4 K4.5 Y Maple gir også at a = K1.468743309 zk1.469 og B = 4.451159881 z 4.451.
Dermed er b = e B z e 4.451 85.713. Grafen til y = b $ a z 85.713 $ K1.469 vil gå approksimativt gjennom de opprinnelige målepunktene : 0.25 0.20 0.15 y = 85.713 $ K1.469 0.10 0.05 0 100 200 300 400 500 Dersom bonden planter 75 planter vil deres gjennomsnittsmassen anslagsvis bli : 85.713 $ 75 K1.469 = 0.1508626388. Dersom bonden ønsker å finne ut hvor mange planter han bør plante for at gjennomsnittsmassen vil være ca 200 g = 0.2 kg, kan vi anslå dette grafiskt til et sted rundt 60. Alternativt kan vi løse likningen 85.713 $ K1.469 = 0.2. Det gir ln 85.713 K1.469 ln = ln 0.2 = K1.609437912 så ln = 4.125662214 ln 85.713 C 1.609437912 1.469 = 4.451159881 C 1.609437912 1.469 = og dermed = e 4.125662214 = 61.90879255.