Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling i matematikk fra Gyldendal/Læringssenteret. 1 Likninger og ulikheter Vi løser likningene ved regning: = x gir at x 8 = (x 7)( x), det vil si at x 7x+6 = 0. Vi bruker abc-formelen og får løsninger x = 1 og x = 6. a) x 8 x 7 b) 1 x = 1 x gir at 1 x = 1 x + x, det vil si at x = x og dermed at x = x. Vi får at x = 1 eller x = 0. Vi setter disse løsningene inn i opprinnelig likning, og ser at begge faktisk er løsning av denne likningen. c) x x 8 = 0 gir u u 8 = 0 når vi setter inn u = x, og abc-formelen gir u = eller u =. Dette gir x = eller x =. Men x = gir ingen løsning, så vi får x =, og dermed løsninger x = eller x =. d) x + 1 > x gir x x + 1 > 0, det vil si (x 1) > 0. Vi ser at løsningene blir alle x 1. e) x+7 x x+3 x 3 gir 9 x (x 3)(x 1) 0 etter at vi har utvidet brøkene til fellesnevner og trukket de sammen. Vi setter opp fortegnsskjema for uttrykket på venstre side, og ser at løsningene blir alle x med 1 < x < 3 eller x 9. Derivasjon Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker. a) Den driverte av en sum er summen av de deriverte slik at f (x) = 3x 1 + 1 + 0 = 6x +. b) Den driverte av en sum er summen av de deriverte slik at f (x) = x 3 3x + 1 x1 + 8 0 = 8x 3 3x + x + 8. c) Vi setter telleren u(x) = x 3 og nevneren v(x) = x + 3 med deriverte u = 3x og v = x. Vi setter inn i formelen for den deriverte av en brøkfunksjon f (x) = u v u v v = 3x (x + 3) (x 3 ) x (x + 3) = 6x + 9x x + 8x (x + 3) = x + 9x + 8x (x + 3) = (x3 + 9x + 8)x (x + 3). d) Vi bruker kjerneregelen f (x) = f (u) u (x) med Dermed er f (x) = 5u 3 = 15(3x + ). u(x) = 3x + og u (x) = 3, f(u) = u 5 og f (u) = 5u. 1
e) Vi bruker kjerneregelen f (x) = f (u) u (x) med Dermed er f (x) = 1 u x = x x +1 f) Her bruker vi produktregelen med u(x) = x + 1 og u (x) = x, f(u) = u og f (u) = 1, (se tabell). u u(x) = x 3 og u (x) = 6x, v(x) = x + 1 og v x (x) =, (se over). x + 1 Dermed er f (x) = 6x x + 1 + x 3 å sette uttrykket på felles brøkstrek med nevner x + 1. x = 6x x x + 1 + x +1 x. Vi kunne forenklet ved +1 g) Vi skriver om til potenser f(x) = x 1 3x 3 7 og bruker regelen for derivasjon av potenser. 3 Trigonometri f (x) = 1 x 1 1 3 3 7 x 3 7 1 = 1 x 3 9 7 x 7 = 1 x 3 9 7 7 x. a) Vi får at C = 90 75 = 15. Likningen cos(75 ) = /AC gir AC = / cos(75 ) = 15.5, og pythagoras' setning gir BC = AC = 1.93. b) Siden 75 = 30 + 5, så får vi fra addisjonsformlene at sin(75 ) = sin(30 ) cos(5 ) + sin(5 ) cos(30 ) cos(75 ) = cos(30 ) cos(5 ) sin(5 ) sin(30 ) Dette gir sin(75 ) = 6+ og cos(75 ) = 6. c) Vi har at cos(75 ) = /AC, som gir AC = ( 6 + ), og at sin(75 ) = BC/AC, som gir BC = 8 + 3 = ( + 3). Alternativt gir pythagoras' setning at + BC = AC, og dermed får vi AC = 7 + 3 = ( + 3). d) Vi tenker oss at trekanten ABC er tegnes slik at linjen AB er horisontal med A til venstre og B, og C vertikalt over B. Da sier ikke opplysningene i oppgaven noe om punktet D ligger til 30 til venstre eller høyre for BC. Det nnes derfor to muligheter. [Vis ved skisse]. e) Vi tenker oss at punktet D ligger til venstre for BC, og ser på trekanten ABD. Vi har at AB = BD = og at ABD = 90 30 = 60. Det betyr at ADB = DAB = 60, så trekanten er likesidet. Siden DAB = 60 < A = 75, ser vi at punktet D ligger inne i trekanten ABC. f) For at D skal ligge på AC, må DAB = A = 75. Siden AB = AD =, så er trekanten ABD likebenet, og derfor må ADB = 75 og ABD = 180 75 = 30. Dette betyr igjen at CBD = 90 30 = 60. Figur 1: Figuren til punktene a-e.
Figur : Figuren til punkt f. Funksjonsdrøfting La funksjonen f være gitt ved f(x) = 6x + 3x 3x +. Vi setter telleren u(x) = 6x + 3x = 3x(x + 1) og nevneren v(x) = 3x +. a) Vi skal løse ligningen f(x) = 0. Ettersom funksjonen bare er denert for v(x) 0 nner vi nullpunktene ved å løse u(x) = 0. Faktoriseringen over gir nullpunktene x 1 = 1 og x = 0. b) Vi bruker regelen for derivasjon av brøker og med u og v som denert over får vi de deriverte Innsatt i formelen får vi u = 1x + 3 og v = 3. f (x) = (1x + 3)(3x + ) (6x + 3x) 3 (3x + ) = 36x + x + 9x + 6 18x 9x (3x + ) = 6(3x + x + 1) (3x + ). c) Vi faktoriserer telleren ved å løse ligningen 3x + x + 1 = 0 med formelen for andregradsligninger. Løsningene er x 1 = 1 og x = 1 3 og vi faktoriserer 3x + x + 1 = 3(x + 1)(x + 1 3 ). Legg merke til at nevneren (3x + ) er positiv bortsett fra når x = 3. Dermed bestemmes fortegnet til f (x) av fortegnet til telleren. Fortegnsskjemaet viser at x 1 = 1 svarer til et toppunkt med koordinater ( 1, f( 1) ) = ( 1, 3). Videre svarer x = 1 3 til et bunnpunkt med koordinater ( 1 3, f( 1 3 )) = ( 1 3, 1 3 ). d) Teorien for polynomdivisjon tilsier at resten er lik u ( ( ) 3) = 6 ( ) 3 + 3 3 = 3. 6x + 3x + 0: 3x + = x 1 3 (6x + x) x ( x 3 ) Vi kk den forventede resten og har vist at f(x) = x 1 3 + /3 3x+. e) Polynomdivisjonen viser at vi har skrå asymptote y = x 1 3. Siden vi har skrå asymptote er det ingen horisontale asymptoter. 3 Nevneren v(x) = 3x+ er 0 når x = 3 og siden telleren u( 3 ) 0 har vi vertikal asymptote for x = 3. Grafen til funksjonen med asymptoter er gitt i gur 3. 3
Figur 3: Grafen til f(x) med asymptoter. f) Vi trenger x 0 = 1, y 0 = f(x 0 ) = 0 og k = f (x 0 ) = 6 for å sette inn i ettpunktsformelen y y 0 = k(x x 0 ) y = 6x 3. Grafen til funksjonen med asymptoter og tangentlinje er gitt i gur. g) Fortegnet til f (x) er bestemt av fortegnet til nevneren (3x + ) 3 som er negativ for x < 3 og positiv for x > 3. Ettersom f (x) ikke har nullpunkter (bare null i nevner) har funksjonen f(x) ingen vendepunkter. Den dobbelderiverte skifter fortegn i et punkt hvor funksjonen ikke er denert, men har vertikal asymptote.
Figur : Grafen til f(x) med asymptoter og tangentlinje for x 0 = 1/. 5