Institutt fo fysikk, NTNU FY1003 lektisitet og mgnetisme I TFY4155 lektomgnetisme Vå 2007 Midtsemestepøve onsdg 7. ms 2007 kl 1300 1500. Løsningsfoslg. Vesjon 1) Hvilken påstnd om elektisk potensil e feil? Desom det elektiske feltet i et omåde e unifomt, e potensilet i dette omådet konstnt. I et unifomt elektisk felt endes potensilet lineæt med posisjonen. 2) Hvilken påstnd om elektisk ldning e iktig? Netto ldning på en metllkule ligge lltid på oveflten. Se foelesningene. I en isolto befinne netto ldning seg de vi plssee den. 3) Hvilken påstnd om en ldet lede e feil? På oveflten v ledeen e det null elektisk felt. På oveflten v en lede stå det elektiske feltet nomlt på oveflten. 4) Hvilken påstnd e iktig? Kpsitnsen til en pllellpltekondensto...... bli minde hvis vi øke vstnden mellom pltene. 1
5) Hv bli kften på ldningen q som e plsset i posisjon (, y) = ( 3/2, /2)? y q D ˆ 2q 2 /πε 0 2 q /2 2q 2 De te nde punktldningene ligge lle i like sto vstnd f den i midten. Kften f ldningen 2q nedest til venste vike på skå oppove mot høye (med etning 45 gde i fohold til positiv -etning), mens kften f de to nde begge vike på skå nedove mot høye. Totl kft må demed vike i positiv -etning. q 6) Hv e totl potensiell enegi til de fie punktldningene i oppgve 5? 3q 2 /4 2πε 0 U = ij q i q j 4πε 0 ij Demed knsellee bidgene til U f vekselvikningen mellom 2q og q oppe til venste og mellom 2q og q nede til høye, og f vekselvikningen mellom q i midten og q oppe til venste og mellom q i midten og q nede til høye. Vi stå igjen med bidg f vekselvikningen mellom q i midten og 2q og mellom q oppe til venste og q nede til høye: U = q2 ( ) 3q 2 2 2 1/ 2 = 4πε 0 4 2πε 0 7) Te v ldningene i oppgve 5 holdes fst mens den fjede, den øvest til venste, med ldning q og msse m, slippes med null stthstighet f posisjonen ( 2, ). Hvo sto e ften v til denne ldningen nå den h kommet svæt lngt unn de te nde? v = [( 2 4 + 1) q 2 /mπε 0 ] 1/2 Fø den slippes h ldningen oppe til venste potensiell enegi U 1 (i fohold til om den v uendelig lngt bote) U 1 = q2 ( ) 2 + 2 1/ 2 4πε 0 Nå denne ldningen h kommet lngt bot, h U 1 blitt omgjot til kinetisk enegi mv 2 /2. Demed følge det t v e gitt som i ltentiv. 2
8) To små metllkule h ldning henholdsvis 6.0 µ og 5.0 µ. vstnden mellom kulene e 60 cm. Innbydes kft mellom de to kulene e d 0.75 N Innbydes kft e gitt ved oulombs lov: F = q 1q 2 4πε 0 2 = 9 109 6 5 10 12 0.6 2 = 0.75 N 9) I sto vstnd = L ˆ f en liten (dvs: utstekning mye minde enn L) elektisk dipol med dipolmoment p = p 0 ŷ e det elektiske feltet 0 ŷ. Feltet i vstnd 3Lˆ f dipolen e d omtent lik 0.037 0 ŷ lektisk feltstyke f en elektisk dipol vt med vstnden opphøyd i 3. potens. Te gnge så sto vstnd må demed gi en feltstyke eduset til 1/27. (Selv om en ikke visste t () 1/ 3, bø en i det minste vite t det må vt skee enn som 1/ 2, noe feltet f en punktldning gjø. Demed bli be ktuelt sv.) 10) Hv e den elektiske feltstyken i vstnd 30 cm f de fie ldningene i figuen desom q = 1µ og = 1 mm? 2q 200 V/mm q 3q 4q I vstnd 30 cm se dette ut som en enkelt punktldning Q = 2q = 2 µ. Demed: = 9 10 9 2 10 6 0.3 2 = 2 10 5 V/m = 200 V/mm 3
11) Figuen nedenfo vise elektiske feltlinje i et omåde som inneholde to metllkule. Hv kn du si om netto ldning på de to kulene? D D Negtiv på kule 1, null på kule 2. 1 2 lektiske feltlinje stte på positiv ldning og ende på negtiv ldning. Defo netto negtiv ldning på kule 1 mens kule 2 e nøytl. 12) I figuen i oppgve 11, i hvilken v de fie posisjonene,, og D e potensilet støst? lektisk felt peke f høyt mot lvt potensil. 13) n pllellpltekondensto h kvdtiske metllplte med el = 2, og vstnden mellom pltene e d. Volumet mellom pltene e delvis fylt med luft (høye hlvdel) og delvis fylt med et dielektikum med eltiv pemittivitet ε = 5 (venste hlvdel) Metllpltene e stoe smmenlignet med vstnden mellom dem, dvs d. Hv bli kpsitnsen til denne kondenstoen? ( 0 ε 0 2 /d) 3 ε d 0 = 5 /2 /2 Dette e en pllellkobling v to kpsitnse, begge med pltevstnd d, el 2 /2, den ene med pemittivitet ε 0 og den nde med pemittivitet 5ε 0. Demed: 2 /2 = ε 0 d + 5ε 2 /2 2 0 = 3ε 0 d d = 3 0 4
14) I et omåde e det elektiske feltet ( ) () = 0 3 ˆ 0 0 3 He e 0 og 0 konstnte, mens ngi vstnden f oigo. Hvo mye netto ldning e det d innenfo et kuleskll med dius 2 0 og sentum i oigo? 96πε 0 2 0 0 Med Guss lov finnes netto ldning innenfo kuleskll med dius 2 0 : ( 20 Q in (2 0 ) = ε 0 0 (2 0) 3 ) ˆ 4π(2 0 0 3 0 ) 2ˆ = 96πε 0 0 0 2 15) i metllkule h dius R og positiv ldning Q. Kul e belgt med et lg plst (dvs: dielektikum) med tykkelse R og eltiv pemittivitet ε = 3. I plstlget e en negtiv (fi, men ikke mobil) ldning 2Q jevnt fodelt (dvs: konstnt ldning p volumenhet). Hvilken v gfene D vise det esulteende elektiske feltet () (slik t () = () ˆ)? 0000 1111 0000000 1111111 000000000 111111111 0000000000 1111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 Q 0 1 0 1 R 000000000000 111111111111 00000000000 11111111111 0000000000 1111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 0000 1111 2R 2Q ε =3 D D Uten å gå i detlj: Like utenfo = R gi Guss lov fo D-feltet t D = Q/4πR 2, og demed = Q/12πε 0 R 2. Tilsvende, like innenfo = 2R gi Guss lov fo D t D = Q/4π(2R) 2, og demed = Q/48πε 0 R 2. ndelig, fo > 2R h vi D() = Q/4π 2, og demed () = Q/4πε 0 2. Figu D psse med lt dette. 5
16) i metllkule h dius R og positiv ldning Q. Kul e belgt med et lg elektisk nøytl plst (dvs: dielektikum) med tykkelse 3R og eltiv pemittivitet ε = 5. Utenfo plstlget e det et metllisk kuleskll med tykkelse R og netto ldning 3Q. Hvo mye ldning befinne seg d på yte oveflte v det metlliske kuleskllet? 5R 2Q 00000000 11111111 0000000000 1111111111 000000000000 111111111111 00 11 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0 1 Q 0 1 0 1 0 1 0 1 R 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 00 11 000000000000 111111111111 0000000000 1111111111 00000000 11111111 4R ε =5 8R P 3Q Vi må h null elektisk felt inne i det metlliske kuleskllet. D må, med Guss lov, en ldning Q befinne seg på kuleskllets inde oveflte. D e det igjen en ldning 2Q som må befinne seg på ytteste oveflte. 17) I oppgve 16, hv e den elektiske feltstyken i punktet P, dvs i vstnd 8R f systemets sentum (oigo)? Q/128πε 0 R 2 Med Guss lov, gussflte med dius 8R, netto ldning 2Q innenfo h vi ( = 8R) = 2Q/4πε 0 (8R) 2 = Q/128πε 0 R 2 (Med etning innove, men he v det be snkk om feltstyken, og ikke etningen.) 18) I oppgve 16, hv e potensilfoskjellen mellom den inneste metllkul og punktet P? 0 8R V = V P V (R) = ()d = 0 R desom vi sette inn t () = 2Q/4πε 0 2 fo > 5R, () = 0 fo 4R < < 5R og () = Q/20πε 0 2 fo R < < 4R. 6
19) Hvo stot beid må utføes fo å ende ldningen f null til 2Q på ei metllkule med dius R? Q 2 /2πε 0 R W = U = R 1 2 ε 0() 2 4π 2 d = Q 2 /2πε 0 R desom vi sette inn t () = 2Q/4πε 0 2 fo > 5R, () = 0 fo 4R < < 5R og () = Q/20πε 0 2 fo R < < 4R. 20) n tynn ing med dius R h ldning λ(θ) = λ 0 cosθ p lengdeenhet. Ringen ligge i y-plnet med sentum i oigo, og vinkelen θ e som ngitt i figuen nedenfo. Hv e ingens dipolmoment? y + R + πλ 0 R 2 + + + + + θ + Totl positiv ldning på hlvingen til høye e q = π/2 π/2 λ 0 cosθ Rdθ = 2λ 0 R Tilsvende negtiv ldning befinne seg på hlvingen til venste. ttesom vi h mest ldning i næheten v -ksen, skulle midlee vstnd mellom positiv og negtiv ldning ligge et sted mellom R og 2R. L oss gjette på en midlee vstnd omtent lik 3R/2. Det gi et dipolmoment på omtent 3λ 0 R 2, så ltentiv må væe det iktige. kskt utegning: p = = = dp π/2 dq π/2 = 2λ 0 R 2 π/2 = πλ 0 R 2 (λ 0 cosθrdθ) (2R cosθ) π/2 cos 2 θ dθ 7
21) Figuen vise et tvesnitt v en uendelig lng ett tåd med dius og unifom ldning ρ 0 p volumenhet. Hvilken v gfene D vise potensilet V som funksjon v vstnden f tådens sentekse? (He h vi vlgt V = 0 i = 0.) ρ 0 V V V V D Utenfo tåden vt den elektiske feltstyken poposjonlt med vstnden f tådens sentekse (se tidligee øving), og feltet e ettet utove ettesom ldningen e positiv. Det må bety t potensilet må vt som ln utenfo tåden, ettesom = V. Dette e egentlig nok til å konkludee med t e iktig. Vi kn videe buke Guss lov til å finne t vokse lineæt med inne i tåden, hvilket må bety t V gå som 2 inne i tåden. 22) Figuen vise et tvesnitt gjennom to pllelle uendelig lnge ette tåde som begge h dius. vstnden mellom tådene (sente-til-sente) e 10. De to tådene h unifom ldning p volumenhet henholdsvis ρ 0 og ρ 0. Hv e d potensilfoskjellen mellom punktene og i figuen? (vstnden f til e 8.) D ρ 0 2 ln 9/ε 0 2 + 8 Med Guss lov h vi elektisk felt f slike uendelig lnge ette tåde: () = ± ρ 0 2 2ε 0 de positivt fotegn gjelde positivt ldet tåd og omvendt. He h vi vlgt -ksen til å gå gjennom sentum v begge tådene. L oss velge = 0 i sentum v den positivt ldde. Totlt elektisk felt bli d () = ρ 0 2 ( ) 1 2ε 0 + 1 10 Potensilfoskjellen mellom og bli demed 9 V = V V = dl = ()d = ρ 0 2 ln 9 ε 0 8
23) Figuen vise te kondenstoe koblet i seie. Hv e systemets totle kpsitns? 6/11 tot = 2 3 ( 1 + 1 2 + 1 ) 1 = 6/11 3 24) Figuen vise ti kondenstoe koblet smmen. Hve v dem h kpsitns. Hv e systemets totle kpsitns? 4/13 Hve v pllellkoblinene i midten h kpsitns 2, som i seie med to kpsitnse gi i lt 2/5. To slike i pllell gi demed 4/5, som endelig i seie med to stykke gi 4/13. 9
25) Fie uendelig stoe pln e plsset i =, 2, 3 og 4. De fie plnene h ldning p flteenhet henholdsvis σ, 2σ, σ og 2σ. Hvilken figu vise det esulteende elektiske feltet () (slik t () = () ˆ)? = 2 3 4 σ 2σ σ 2σ 2 3 4 2 3 4 2 3 4 D 2 3 4 Pln med ldning σ p flteenhet gi feltstyke σ/2ε 0, ettet bot f plnet hvis postiv ldning og inn mot plnet hvis negtiv ldning. Pln med ldning 2σ p flteenhet gi feltstyke σ/ε 0. I enhete v σ/2ε 0 bli totlt elektisk felt demed, fo < lik -1+2-1+2=+2, fo < < 2 lik +1+2-1+2=+4, fo 2 < < 3 lik +1-2-1+2=0, fo 3 < < 4 lik +1-2+1+2=+2 og endelig fo 4 < lik +1-2+1-2=-2. Figu psse fint med dette. 10
Institutt fo fysikk, NTNU FY1003/TFY4155 lektisitet og mgnetisme I/lektomgnetisme Midtsemestepøve onsdg 7. ms 2007 kl 1300 1500. Fsit Vesjon Oppgve D Oppgve D 1 X 14 X 2 X 15 X 3 X 16 X 4 X 17 X 5 X 18 X 6 X 19 X 7 X 20 X 8 X 21 X 9 X 22 X 10 X 23 X 11 X 24 X 12 X 25 X 13 X 11