FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT Espe B. Lagelad realfagshjoret.wordpress.com espebl@hotmail.com 9.mars 06 Iledig E tallfølge er e serie med tall som kommer etter hveradre i e bestemt rekkefølge. Kvadrattallee fra til 4 er,, 3, 4 eller, 4, 9, 6 Dette er e edelig tallfølge. De aturlige tallee er e uedelig tallfølge,, 3, 4,... E rekke består av summe av alle ledd i e tallfølge. Rekke av kvadrattallee fra til 4 blir = + + 3 + 4 = + 4 + 9 + 6 = 30 De greske bokstave beteger e sum i matematikk. Rekke av de aturlige tallee gir ikke et edelig tall. Progresjoer E aritmetisk progresjo er e følge av tall med kostat differase. Matematisk skrives dette a = a + d E tallfølge med dette systemet er e aritmetisk tallfølge. Hvert ledd(bortsett fra det første) er lik leddet fora addert et fast tall d(kalles diverges).
De aturlige tallee er e (uedelig) aritmetisk tallfølge med d =. De 0 første partallee, 4, 6, 8, 0,, 4, 6, 8, 0 er e (edelig) aritmetisk tallfølge med d =. E geometrisk progresjo er e følge av tall multiplisert med det samme tallet. Matematisk skrives dette a = a k E tallfølge med dette systemet er e geometrisk tallfølge. Hvert ledd(bortsett fra det første) er lik leddet fora multiplisert med et fast tall k(kalles kvotiet). Tallfølgee gir opphav til aritmetisk rekke: Og geometrisk rekke: a = a + a a = a (k ) k For de 0 første partallee blir summe: a = a + a = + 0 0 = 0 = 0 = 0 3 Koverges I e edelig tallfølge ser ma lett hva det siste tallet er. For e uedelig tallfølge ka det variere om ma ka fie et slikt siste ledd. E tallfølge kovergerer dersom det siste leddet har e defiert, edelig verdi, dvs: lim a = a er et symbol for uedelig. Ma skal altså kue gå uedelig lagt ut lags leddee, og få e defiert, edelig verdi a. Gitt de (uedelige) tallfølge
,, 4,..., ( ),... (k = ) Så dee tallfølge kovergerer. lim ( ) = 0 Alle edelige rekker gir e kokret sum. I det ikke-edelige tilfellet, altså med uedelig mage ledd, vil det variere om rekke har e kokret sum eller ikke. E rekke kovergerer dersom de har e defiert, edelig sum for alle ledd, dvs: lim a = a Følger og rekker som ikke kovergerer, kalles divergete. Rekke av de aturlige tallee er diverget. 4 Gjeomsitt Gitt at vi har forskjellige tall x,..., x. Aritmetisk middelverdi(gjeomsitt) defieres: X A.M. skrives ofte bare X X A.M. = x +... + x Har ma de fire tallee, 5, 7 og blir X = + 5 + 7 + 4 = 6 4 = 4 For de aritmetiske rekke/følge over blir: X A.M. = a + a Gitt at vi har forskjellige tall x,..., x. Geometrisk middelverdi(gjeomsitt)) defieres: X G.M. = x... x Har ma fem tall: 3,, 48, 9 og 768 blir 3
X G.M. = 5 3 48 9 768 = 5 54803968 = 54803968 /5 = 48 For de geometriske rekke/følge over blir: X G.M. = a a k a k... a k a k = (a ) k k... k k = a (k ) = a k ( ) = a k E tredje middelverdi er det harmoiske gjeomsittet X H.M. Gitt at vi har forskjellige tall x,..., x. Harmoisk middelverdi defieres: X H.M. = ( x +... + x ) = x +... + x = x +... + x Følgede rekke kalles de harmoiske rekke: + + 3 +... + +... Ma ka betrakte de fem første leddee + + 3 + 4 + 5 X H.M. = x +... + x = 5 + + 3 + 4 + 5 = 5 5 = 3 Det harmoiske sittet for dee rekke er altså det samme som leddet midt i rekke. Betrakter ma videre de seks første leddee 4
+ + 3 + 4 + 5 + 6 vil X H.M. = x +... + x = Dette er også leddet "i midte": og 6 + + 3 + 4 + 5 + 6 = 6 = 7 3, 3, 5, 4 3, 5 = 7 Når atall ledd i de harmoiske rekke er et oddetall fier vi harmoisk middel direkte midt i rekke. Når atall ledd er et partall, blir det harmoiske middel delt på gjeomsittet X A.M. av tallee i ever for de to midterste ledd. Altså oe som liger å fie media. Sammehege mellom de tre middelverdier er X H.M. X G.M. X A.M. 5 OPPGAVE 7 - FINN SUMMEN De aturlige tallee er hele og positive tall:,, 3,... Rekke av oddetallee ka skrives + 3 + 5 + 7 +... + - der er et aturlig tall. Ka du fie e sum for rekke av oddetallee uttrykket ved? (atar her at er edelig, altså ikke e uedelig rekke av oddetall) Svar: 5
Dette er summe for e aritmetisk rekke a = a + a der første ledd er a = og siste ledd er a = + 3 + 5 + 7 +... + = + = = = (C) Copyright Espe B. Lagelad 06 MER OM ARTIKKELENS TEMA FINNES I EN BOK JEG HAR SKREVET: MATEMATIKKLEKSIKON FOR VIDEREGÅENDE SKOLE Her fier ma også alle adre emer ie de videregåede skoles matematikk. Mer iformasjo om boke fies uder hjemmeside her på Realfagshjøret. Bl.a. oversikt over kapitler og oe geerell omtale. Boke ka bestilles uder hjemmeside her på Realfagshjøret eller forlagets hjemmeside: www.forlag.tk COPYRIGHT-MERKNAD: All gjegivelse av artikkele på ettet eller ae måte er forbudt. Iholdet må ikke misbrukes i e skole- eller studie-sammeheg eller på ae måte som fusk, plagiat osv. Nedlastig er ku tillatt til persolig bruk. Kommersiell bruk av dee artikkele er selvsagt også ulovlig. Å lage leke til dette pdf-dokumetet eller realfagshjøret geerelt er tillatt for alle ekstere websider/hjemmesider. Med utak: Websider med rasistisk, porografisk eller på ae måte svært upassede ihold vil imidlertid bli bedt om å fjere e slik leke. 6