Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 19. september 2011
Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med n ukjente x 1,..., x n som kan skrives: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m Vi vil finne alle løsninger (x 1,..., x n ). Ligningssystemet sies å være konsistent hvis det har minst én løsning og inkonsistent hvis det ikke har noen løsninger.
Eksempler Eksempel 1. Vi vil løse systemet: x 1 + 2x 2 = 5 2x 1 + 3x 2 = 4
Eksempler Eksempel 1. Vi vil løse systemet: Det er ekvivalent med systemet x 1 + 2x 2 = 5 2x 1 + 3x 2 = 4 + 2
Eksempler Eksempel 1. Vi vil løse systemet: Det er ekvivalent med systemet x 1 + 2x 2 = 5 2x 1 + 3x 2 = 4 + 2 x 1 + 2x 2 = 5 7x 2 = 14
Eksempler Eksempel 1. Vi vil løse systemet: Det er ekvivalent med systemet x 1 + 2x 2 = 5 2x 1 + 3x 2 = 4 + 2 x 1 + 2x 2 = 5 7x 2 = 14 Fra den nederste ligningen har vi x 2 = 2.
Eksempler Eksempel 1. Vi vil løse systemet: Det er ekvivalent med systemet x 1 + 2x 2 = 5 2x 1 + 3x 2 = 4 + 2 x 1 + 2x 2 = 5 7x 2 = 14 Fra den nederste ligningen har vi x 2 = 2. Så gir den første ligningen x 1 = 2x 2 5 = 4 5 = 1.
Eksempler Eksempel 1. Vi vil løse systemet: Det er ekvivalent med systemet x 1 + 2x 2 = 5 2x 1 + 3x 2 = 4 + 2 x 1 + 2x 2 = 5 7x 2 = 14 Fra den nederste ligningen har vi x 2 = 2. Så gir den første ligningen x 1 = 2x 2 5 = 4 5 = 1. Svar: x 1 = 2, x 2 = 1.
Eksempler Eksempel 2. 2x 1 x 2 + x 3 = 5 3x 1 + 2x 2 3x 3 = 4
Eksempler Eksempel 2. Eksempel 3. 2x 1 x 2 + x 3 = 5 3x 1 + 2x 2 3x 3 = 4 2x 1 x 2 = 5 4x 1 + 2x 2 = 4
Matriser Koeffisientmatrisen til ligningssystemet og høyresidevektoren er a 11 a 12... a 1n b 1 A = a 21 a 22... a 2n............, b = b 2.... a m1 a m2... a mn b m Totalmatrisen til ligningssystemet er [A b] = a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2............... a m1 a m2... a mn b m
Gausseliminasjon Vi løser ligningssystemet ved å omforme totalmatrisen til en enkel matrise ved hjelp av radoperasjoner.
Gausseliminasjon Vi løser ligningssystemet ved å omforme totalmatrisen til en enkel matrise ved hjelp av radoperasjoner. Løsninger til ligningssystemet blir ikke forandret ved radoperasjoner!
Gausseliminasjon Vi løser ligningssystemet ved å omforme totalmatrisen til en enkel matrise ved hjelp av radoperasjoner. Løsninger til ligningssystemet blir ikke forandret ved radoperasjoner! Hva er radoperasjoner?
Gausseliminasjon Vi løser ligningssystemet ved å omforme totalmatrisen til en enkel matrise ved hjelp av radoperasjoner. Løsninger til ligningssystemet blir ikke forandret ved radoperasjoner! Hva er radoperasjoner? Hva mener vi med en enkel matrise?
Elementære radoperasjoner i en matrise 1. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (R j + cr k )
Elementære radoperasjoner i en matrise 1. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (R j + cr k ) 2. Bytte om to rader (SWAP(R j, R k ) / R j R k )
Elementære radoperasjoner i en matrise 1. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (R j + cr k ) 2. Bytte om to rader (SWAP(R j, R k ) / R j R k ) 3. Multiplisere en rad med konstant c 0 (cr j )
Elementære radoperasjoner i en matrise 1. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (R j + cr k ) 2. Bytte om to rader (SWAP(R j, R k ) / R j R k ) 3. Multiplisere en rad med konstant c 0 (cr j ) Radekvivalente matriser To matriser kalles radekvivalente hvis en kan omformes til andre ved hjelp av elementære radoperasjoner.
Elementære radoperasjoner i en matrise 1. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (R j + cr k ) 2. Bytte om to rader (SWAP(R j, R k ) / R j R k ) 3. Multiplisere en rad med konstant c 0 (cr j ) Radekvivalente matriser To matriser kalles radekvivalente hvis en kan omformes til andre ved hjelp av elementære radoperasjoner. Teorem Dersom to ligningssystem har radekvivalente totalmatriser, så har ligningssystemene samme løsninger.
Echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet.
Echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet. En matrise kalles echelonmatrise hvis 1. Eventuelle nullrader står nederst. 2. Lederelementet i hver ikkenullrad står til høyre for lederelementer i raden over.
Echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet. En matrise kalles echelonmatrise hvis 1. Eventuelle nullrader står nederst. 2. Lederelementet i hver ikkenullrad står til høyre for lederelementer i raden over. Anta at totalmtrisen til et ligningssystem er en echelonmatrise. Hver kolonne untatt den siste tilsvarer til en ukjent.
Echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet. En matrise kalles echelonmatrise hvis 1. Eventuelle nullrader står nederst. 2. Lederelementet i hver ikkenullrad står til høyre for lederelementer i raden over. Anta at totalmtrisen til et ligningssystem er en echelonmatrise. Hver kolonne untatt den siste tilsvarer til en ukjent. En ukjent som tilsvarer til en kolonne med et lederelement kalles en ledende variabel. Andre ukjente kalles frie variabler.
Gausseliminasjon for ligningssystem Gausseliminasjon: 1. Omforme totalmatrisen a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2............... a m1 a m2... a mn b m til en echelonmatrise ved hjelp av elementære radoperasjoner. 2. Hvis echelonmatrisen inneholder en rad 0 0... 0 b med b 0 så har systemet ingen løsning. 3. Ellers kan vi løse systemet med tilbakesubstitusjon.
Redusert echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet.
Redusert echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet. En matrise kalles redusert echelonmatrise hvis 1. Eventuelle nullrader står nederst. 2. Lederelementet i hver ikkenullrad står til høyre for lederelementer i raden over. 3. Lederelementet i hver ikkenullrad er 1. 4. Hver lederelement er eneste element som ikke er lik 0 i sin kolonne.
Redusert echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet. En matrise kalles redusert echelonmatrise hvis 1. Eventuelle nullrader står nederst. 2. Lederelementet i hver ikkenullrad står til høyre for lederelementer i raden over. 3. Lederelementet i hver ikkenullrad er 1. 4. Hver lederelement er eneste element som ikke er lik 0 i sin kolonne. 1-2: Echelonmatrise 1-4: Redusert echelon matrise
Gauss-Jordaneliminasjon for ligningssystem Gausse-Jordaneliminasjon: 1. Omforme totalmatrisen a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2............... a m1 a m2... a mn b m til en redusert echelonmatrise ved hjelp av elementære radoperasjoner. 2. Hvis redusert echelonmatrisen inneholder en rad så har systemet ingen løsning. 0 0... 0 1 3. Ellers kan vi løse systemet med tilbakesubstitusjon.
Semesterprøve oppgaver, 2007 Oppgave Bestem redusert echelonform for matrisen 0 1 2 1 3 4 0 1 1 2 3 4 A : C : 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 7 6 0 1 2 1 0 0 1 1 B : D : 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0
Semesterprøve oppgaver, 2007 Oppgave Hvilken av matrisene er på redusert echelon form? 1 1 1 0 1 0 0 3 A : 0 1 0 0 B : 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 C : 1 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 D : 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
Semesterprøve oppgaver, 2007 Oppgave Hvilken av matrisene er på redusert echelon form? 1 1 1 0 1 0 0 3 A : 0 1 0 0 B : 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 C : 1 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 D : 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1