Fagdag - S Kommentarer og oppsummering Oppgave - Tre grunnleggende aritmetiske følger og rekker De naturlige tallene: Det n-te leddet er rett og slett det samme som nummeret (indeksen) i rekken: (Kunne regnet ut dette som a n a d n n n n, men det er jo litt unødvendig...) Summen: S n a a n n n n n n Denne formelen er verdt å huske, da den ofte dukker opp i andre følger og rekker! Formelen gir de berømte trekanttallene (Se senere i oppgave );,3,6,0,5,,... a n n De ulike (odde) tallene: a n a d n n n n (også verdt å huske) S n a a n n n n n n n Summer avulike tall gir altså kvadrattallene,4,9,6,...! De like tallene: a n n (Vi ser direkte uten regning at de like tallene er det dobbelte av indeksen.) S n a a n n n n n n n n Oppgave - Bruk av geometriske figurer (Figurtall) Den første figuren viser summen av de ulike tallene 3 5 7... I figuren ser vi at S 4 4 4 4 6, da vi kan telle kulene ved å multiplisere "grunnlinjen" av 6 fd_kom.tex
med "høyden". 4 ledd gir altså 4, og dette gjelder generelt, så vi har S n n, akkurat som vi så i oppgave. Den andre figuren er en måte å illustrere summer av like tall: Vi ser her at S 4 4 6 8 5 4 (Antall bortover multiplisert med antall oppover.) Generelt har vi altså S n n n, da det er en mer enn indeksen n bortover og n oppover. Samme resultat som vi regnet ut i oppgave! Trekanttallene: Figuren viser, hvis man ser litt nøyere på den, at: 3 3 6 3 4 0 Altså er delsummene i 3 4 5... n... trekanttallene! Dermed har vi: 3 4... n n n (eller n n) Antall kuler i slike trekanter er altså gitt ved formelen n n når det er n kuler i hver side. Dette kan vi utnytte i andre figurtall! Rektangeltallene: av 6 fd_kom.tex
Her kan vi stable i rektangler: x, 3x, 4x3 osv. (Se også like tall i oppgave.) Formelen for n-te ledd blir derfor: a n n n n n (Altså er rektangeltallene summen av liketallene.) Kabeltallene: n : 3 4 5... n... a n : 7 9 37? 6?... Differanser: 6 8? 4? 30?... Hypotese: Differansene er 6,,8,4,30,36,4,...,6 n Da får vi en rekursiv formel: a a n a n 6 n For å få en eksplisitt formel kan vi dele opp i: Parallellogrammer, hvor antall kuler er produktet av antall kuler i to av sidene. (Se oppgaven med rektangeltall.) Trekanter, hvor antall kuler er n n. (Se oppgaven med trekanttallene!) Et eksempel på hvordan dette kan gjøres: (Du finner sikkert flere måter å gjøre det på!) 3 av 6 fd_kom.tex
a 3 er her sammensatt av 3 parallellogrammer med sider og 3 og en enkelt kule i midten, altså: 3 3 9 Generelt har vi derfor: a n 3 n n 3n 3n En annen måte: Her er rektanglene for n 3: 3 3 3 9 Generelt får vi derfor for n: a n n n n n n n n n n n n 3n 3n En geometrisk rekke:... 3 9 7 I figuren i boken ser vi at vi kan "vippe opp" den nederste trekanten for -rektangelet opp under 3 rektanglet for. Fortsetter vi slik oppover vil vi fylle ut den øverste halvdelen av hele kvadratet. 9 Altså må summen gå mot halvparten av arealet av kvadratet, altså! Oppgave 4 - Spill a) Litt prøving og feiling avdekker noen prinsipper/retningslinjer: Prøv å få hvit og svart annenhver gang under flyttingen Pass på å "følge på" for å holde annenhvergang-mønsteret 4 av 6 fd_kom.tex
Hvis man har problemer, kan det være lurt å starte med av hver farve, deretter av hver farve og se om man oppdager noe! Forenkling er et vanlig problemløsningstriks! Man bør oppdage at trengs henholdsvis 3, 8 og 5 flytt. b) Dette gir tabellen: n : 3 4 5... n... a n : 3 8 5 4... c) Differanser: 5,7,9,...,n,... (De ulike tallene er et like tall pluss/minus : n ) Rekursivt uttrykk: a 3 a n a n n d) Ved å sammenligne n raden og a n raden, oppdager man antagelig at hver a n er produktet av n rett over og n to plasser mot høyre i n raden, altså har vi: 3 3, 4 8,3 5 5,4 6 4,...,n n,... Så a n n n n n e) 00 brikker på hver side gir da a 00 00 0 000 flytt Oppgave 5: a) Vanlig brøkregning gir: n : a n : S n : 3 6 3 3 4 4 4 5 0 4 6 6 3 9 3 3 4 3 6 4 4 0 0 5 Vi ser antagelig mønsteret: a n n n og S n n n En annen interessant variant er ikke å trekke sammen brøkene for a n og summere direkte: S 4 3 3 4 4 5 3 3 4 4 5 0 0 0 5 4 5 Vi ser at siste brøken i forrige ledd og første brøken i neste ledd kansellerer hverandre, og kan derfor generalisere til: 5 av 6 fd_kom.tex
S n n n n n n Oppsummering Dette notatet er i seg selv en oppsummering av arbeidet, på et overordnet plan bør man ha merket seg at: Matematikk er ikke bare å sette inn i formler, men også å lage formler og strategier selv! Dette krever at man også trener seg opp i å bruke intuisjon, fantasi og kreativitet, gjetninger, prøving og feiling og uttesting av egne forslag og hypoteser! Tabeller, differanser og geometriske "kule"-figurer er til stor hjelp når man skal arbeide med følger og rekker! Anvendelser Kanskje ikke så lett for dere å se anvendelsene av oppgavene her, så jeg peker på noen muligheter: Kabeltvinning: Kabeltvinning selvfølgelig, kan være aktuelt å se på feks. vektøkning ift. antall kordeler. Kabler med optiske fibre, hvilke kabelstørrelser er aktuelle hvis vi skal lage kabler som har tilstrekkelig kapasitet til å overføre feks. internett-forbindelser vha. standardiserte delkabler. Spill: Problematikken er aktuell feks. hvis man skal regne ut hvor lang tid datamaskiner trenger på å analysere n trekk fremover i et spill, feks. sjakk og andre brikkespill. 6 av 6 fd_kom.tex