Stomachion. Kristian Ranestad. 10. Mars 2005

Transkript

1 10. Mars 2005

2 Et gammelt puslespill og et matematisk problem

3 Et gammelt puslespill Manuskriptet Arkimedes Palimpsest dukket opp på en auksjon hos Christie s i New York i Kjøperen som betalte to millioner dollar, overlot det til historikere og matematikere å lese og tolke manuskriptet. De fant omtalen av et puslespill med 14 brikker som kan settes sammen til et kvadrat. Det kalles eller Arkimedes kvadrat.

4

5 Brikkene er alle trekanter, firkanter eller femkanter og kan også settes sammen til andre figurer. Sånn sett ligner det på det kinesiske tangram, men det har altså flere brikker.

6 Et matematisk problem Gransking av det gamle manuskriptet viste at Arkimedes var opptatt av antall måter puslespillet kan legges på.

7 Dette illustrerer et skille mellom et matematisk problem og et kunstnerisk problem: Å finne antall måter brikkene kan settes sammen til et kvadrat er et matematisk problem, mens det å sette brikkene sammen til en vakker figur er et kunstnerisk problem.

8 Løsning på et kunstnerisk problem

9 Løsning på et matematisk problem Hvis en ikke tar hensyn til symmetri, så kan brikkene settes sammen til et kvadrat på utrolige forskjellige måter

10 Gitterpunkter En nøkkel til å analysere puslespillet er at når en deler kvadratet i et rutenett med ruter, så ligger hjørnene til alle mangekantene i gitterpunkter! Dette er ikke opplagt, så en kan lure på om det fins et enkelt bevis for at det må være sånn.

11 i rutenett

12 Med dette rutenettet er det nå mulig å finne lengdene til alle sidekantene til brikkene størrelsen til alle vinklene arealet til hver enkelt brikke ved hjelp av Pytagoras og trigonometri. Til å regne ut areal fins det også en morsom formel.

13 Pick s formel Georg Pick oppdaget på 1890-tallet en vakker formel for arealet til en mangekant med hjørner i gitterpunkter til et rutenett.

14 Pick s formel.en mangekant med hjørner i gitterpunkter til et rutenett har et areal A som er gitt av formelen A = I R 1 der I er antall gitterpunkter i det indre av mangekanten, mens R er antall gitterpunkter som ligger på randa av mangekanten.

15 Femkanten i figuren har 5 indre gitterpunkter, og 6 gitterpunkter på randa, så i følge formelen er arealet A = = 7 det vil si det samme som arealet til 7 ruter i rutenettet.

16 I kan vi nå finne arealet til hver enkelt mangekant:

17 17152? Et gammelt puslespill og et matematisk problem Hvordan finner en løsninger?

18 Symmetrier Først må en finne en løsning. Fra denne finner en lett 8 nye løsninger ved å rotere og speile hele kvadratet. Dermed er antallet redusert til =

19 Gode naboer Noen brikker, såkalte gode naboer, ligger sammen i alle løsningene. Hvorfor? Alle sidelengder er heltallige, multipler av 2 eller multipler av 5, unntatt sidekantene som er felles for disse gode naboene. Disse sidekantene har lengde 104, 17, og 13.

20 Fra A A C B C B

21 til

22 Ombyttinger Parvis like brikker kan byttes om.

23 Parvis like brikker Y Z X Z X Y

24 Utenom symmetrier og ombyttinger har vi dermed redusert antall løsninger til = 268 Opptellingen av løsninger herifra krever litt nøyere analyse. Vi begynner med å bygge rettvinklede trekanter:

25 Basistrekanter A C B D

26 Flere basistrekanter D 2 D 3 D 1 D

27 En basiskonfigurasjon

28 Antall basiskonfigurasjoner med de første fire basistrekantene er Først for rekkefølgen av trekanter fra nederst og oppover. Så må vi multiplisere med 2 fordi vi kan speile en av de to horisontale rektanglene. Til slutt må vi dividere med 2 fordi speiling om den horisontale midtlinja bytter en rekkefølge med den omvendte.

29 Fra basiskonfigurasjoner til nye løsninger Fra hver av de 24 basiskonfigurasjonene kan en finne nye løsninger med elementære trekk. Disse er alle speilinger i likebeinte trekanter eller trapeser.

30 Et elementært trekk A B B A

31 Et annet elementært trekk C D C D

32 Et tredje elementært trekk F E E F

33 Et fjerde elementært trekk A B C C B A

34 Løsninger fra basiskonfigurasjoner Elementre trekk utført på basiskonfigursjoner gir for hver av dem mellom 4 og 17 nye løsninger. I alt finner en på denne måten 266 løsninger. Vi mangler fortsatt løsninger. Disse kalles derfor = = 2 8

35 To eksepsjonelle løsninger

36 Referanser På norsk fins det en artikkel skrevet av Geir Ellingsrud: Den mest systematiske presentasjonen av løsninger finnes på fan/stomach/ Forøvrig finner en mye annet om dette puslespillet ved å søke på stomachion på internett.