Newons loer i o og re dimensjoner 3..4 Innleering: på papir på ekspedisjonskonore: bruk forsiden elekronisk på froner én pdf fil nan på førse side egenerklæring med signaur innleeringsboks på ekspedisjon en gang i løpe a semesere korrigere oppgaer leeres ilbake i en annen boks på ekspedisjon FYS-MEK 3..4
Beegelse i re dimensjoner Beegelsen er karakeriser ed posisjon, hasighe og akselerasjon. Vi må bruker ekorer: posisjon: r iˆ y z kˆ hasighe: akselerasjon: dr d dy dz iˆ kˆ iˆ y d d d d z kˆ d d d y dz a iˆ kˆ a iˆ ay a d d d d z kˆ hasighe: far: kraf akselerasjon NL inegrasjon hasighe, posisjon FYS-MEK 3..4
Fri-legeme diagram i 3 dimensjoner Tegn e fri-legeme diagram for den øerse ballen. sysem: øre ballen omgielse: nedre ballen, kare konakpunker konakkrefer: normalkraf fra egg på ball normalkraf fra nedre ball på øre ball langrekkende kraf: graiasjon sysem er i ro: Fe Nw Nb G ma N b N w G FYS-MEK 3..4 3
hp://pingo.upb.de/ access number:78 En kjede fese il bilen holder bilen i ro på den friksjonsfrie rampen inkel. Rampen uøer en normalkraf på bilen. Hor sor er normalkrafen N i forhold il eken W a bilen? N W N W sin N W cos N W an N T N T W N T W W cos sin W FYS-MEK 3..4 4
hp://pingo.upb.de/ access number:78 E slagskip skyer samidig o skudd mo fiendeskip. Iniialfaren er de samme for begge skudd, men inklene mo horison er forskjellige. Granaene følger de parabolske banene is. Hilke skip blir ruffe førs? skip A skip B skipene blir ruffe samidig FYS-MEK 3..4 5
Skrå kas E prosjekil skyes u fra bakkeniå med far og inkelen mo horisonale. sysem: prosjekil omgielse: luf koordinasysem: horisonal, y erikal iniialbeingelser: r cos iˆ sin konakkrefer: lufmosand langrekkende kraf graiasjon nyig å egne hasighesekoren i fri-legeme diagram. ikke bland ekorer for hasighe og kraf! Hasighesekoren må ikke berøre syseme. FYS-MEK 3..4 6
Forenkel modell: i ser bor fra lufmosanden: Vi inkludere lufmosanden senere. graiasjon er konsan på jordoerflaen: F D G mg y ĵ î Newons andre lo: F G mg ˆ ne j ma Fne a g m i komponener: a a y g kas uen lufmosand: ingen akselerasjon i rening FYS-MEK 3..4 7
akselerasjon: a g iniialbeingelse: cos iˆ sin hasighe: a d g ˆ j d g g cos i sin g På komponenform: y cos sin g konsan hasighe sørre for små inkel men skip A ligger mye nærmere... FYS-MEK 3..4 8
FYS-MEK 3..4 9 hasighe: r r på komponenform: sin cos g y j g ˆ iniialbeingelse: j g j i j g r r ˆ ˆ sin ˆ cos ˆ j g d j g d r r ˆ ˆ posisjon:
hp://pingo.upb.de/ access number:78 E slagskip skyer samidig o skudd mo fiendeskip. Iniialfaren er de samme for begge skudd, men inklene mo horison er forskjellige. Granaene følger de parabolske banene is. Hilke skip blir ruffe førs? skip A skip B skipene blir ruffe samidig FYS-MEK 3..4
posisjon som funksjon a iden: y cos sin g skipe skyer ed id = prosjekile reffer ed id : y sin g sin g sin g iden er korere for små inkel skip B blir ruffe førs. FYS-MEK 3..4
Vi har bruk oppskrifen: finn iniialbeingelser idenifiser krefer, løs beegelsesligninger... rygg meode, sikker å finne sare Argumenasjon som renger li erfaring: beegelsen i og y rening er koble fra herandre parabolsk bane er symmerisk: de ar like lang id å komme opp som ned jo høyere den maksimale høyden jo lengre id ar de å falle ned FYS-MEK 3..4
hp://pingo.upb.de/ access number:78 Hilken inkel bør du elge for å skye lengs mulig? Tas inn inkelen i grader. FYS-MEK 3..4 3
Vinkelen med horisonale for å skye lengs mulig: kulen reffer bakken ed iden : sin g komponen a posisjon ed id : cos sin cos g i derierer for å finne maksimum: d d cos sin g cos sin an 45 Prosjekile kommer lengs med =45. FYS-MEK 3..4 4
Vis a prosjekile beeger seg på en parabelbane. bane som funksjon a iden. r cos iˆ sin g for å se a banen er en parabel: urykk erikalkomponenen y som funksjon a horisonalkomponenen cos y sin g cos y sin cos g cos y an g cos a b FYS-MEK 3..4 5
FYS-MEK 3..4 6 Numerisk løsning fra definisjonen: a lim for små idsseg : a a i Malab: for hasighe: r r r r Euler meode Euler-Cromer meode r r i Malab:
Numerisk løsning FYS-MEK 3..4 7
[ 3 35 4 45 5 55 6 7 8] Som forene kommer prosjekile lengs når i elger 45. Prosjekile kommer like lang ed og 9 : sin cos g men iden er forskjellig FYS-MEK 3..4 8
hp://pingo.upb.de/ access number:78 Hilken inkel bør du elge for å komme lengs mulig his du kaser en ball fra ake a en bygning? Vi ser forsa bor fra lufmosand. > 45 = 45 < 45 FYS-MEK 3..4 9
Kommer prosjekile også lengs med 45 his i skyer fra en høyde h >? De er anskelig å regne u analyisk: finn id når: y h sin g sin g sin g h g cos og så må i finne maksimum... De er le å gjøre numerisk: FYS-MEK 3..4
His du skyer fra en høyde h oer bakken: r r h iniialbeingelser: y m m/s [ 3 35 4 45 5 55 6 7 8] Vi kan finne den maksimale lengden ed ariasjon a : ma ma 35.4 57.39 m FYS-MEK 3..4
Skrå kas med lufmosand Vi har allerede diskuer o modeller for iskøs kraf: lineær lufmosand: for små hasighe: F k his luf beer seg med hasighe F k w w w F F w F w FYS-MEK 3..4
kadraisk lufmosand: for sørre hasighe: F D his luf beer seg med hasighe w F D w w eksempler hor i kan bruke kadraisk lufmosand: sku a en kanonkule ballkas bil, og, fly... eksempler hor i kan bruke lineær iskøs kraf: fallskjermhopp grus i anne... FYS-MEK 3..4 3
Skrå kas med lufmosand Fri-legeme diagram: NL: F F ne ne a F D ma F m ne G D mg D m g spesialfall: r r h ˆ j endimensjonal, ball faller ned med graiasjon, bremse a lufmosanden y G F D Lufmosandskrafen øker med hasighe il den blir like sor som graiasjonskrafen: F ne D mg akselerasjonen blir null og D ballen oppnår erminalhasighe: ay T g m meode for å finne lufmosandskoeffisien: måling a erminalhasighe D mg T FYS-MEK 3..4 4
skrå kas uen lufmosand: a g komponener: a d d a y d y d g dekoble beegelse: a ahenger ikke a y eller y a y ahenger ikke a eller D skrå kas med lufmosand: a g hor m y komponener: a d d D m y a y d y d D m y y g koble beegelse: a a, a a, y y y y i kan ikke løse beegelsesligningen for her komponen separa, i må løse beegelsesligninger for og y rening samidig de gjører i bes numerisk FYS-MEK 3..4 5
Numerisk løsning for skrå kas med lufmosand F ne F ne F D ma G D mg funksjon norma beregner lengden il ekoren A norma = sqrdoa,a FYS-MEK 3..4 6
Numerisk løsning for skrå kas med lufmosand FYS-MEK 3..4 7
Resula D =.49 kg/m D = kg/m iniialbeingelser: h m m/s 35 prosjekile beeger seg ikke lenger på en parabolsk bane ikke anskelig å implemenere lufmosanden numerisk, men analyisk løsning blir mege kompliser. ha beyr lufmosand for den bese inkelen? FYS-MEK 3..4 8
[5 5 3 35 4 45 5 55] ma ma 6.5 34.4 m obs: Vi har funne bese inkelen for gi iniialbeingelser og parameer: h,, D! FYS-MEK 3..4 9
Hilken inkel burde jeg bruke for å kase lengs fra Prekesolen? Samme iniialhasighe og lufmosand, men h = 6 m. [ 3] ma ma.4 47.98 m His høyden er sor må du bruke en mindre inkel for å komme lengs. På sluen faller ballen ned erikal oer en iss høyde er ma konsan. Den enese måe å kase lenger er å øke. FYS-MEK 3..4 3