Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 6 Faglg kontakt under eksamen: Bo Lndqvst 73 59 35 20 EKSAMEN I FAG SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Mandag 13. august 2001 Td: 09:00 14:00 Tllatte hjelpemdler: Tabeller og formler statstkk (TAPIR). Statstske tabeller og formler (TAPIR). Karl Rottmann: Matematsk formelsamlng. Typegodkjent kalkulator med tomt mnne. Et gult ark (A5 med stempel fra nsttuttet) med egne formler og notater. Sensur: 1. september 2001 Oppgave 1 EHRENFEST-MODELLEN Den såkalte Ehrenfest-modellen kan bl.a. brukes som modell for varmeovergang mellom to solerte legemer av ulk temperatur. Legemenes temperaturer representeres da ved antall kuler to urner, som antas å nneholde tlsammen M kuler. Kulene antas å være nummerert 1; 2;::: ; M, der M er et endelg postvt heltall. Varmeovergangen mellom legemene modelleres ved at det hver tdsenhet trekkes tlfeldg ett av tallene1; 2;::: ; M og at kulen med dette nummer flyttes fra urnen der den befnner seg, tl den andre urnen. De enkelte treknnger av tallene 1; 2;::: ;M antas stokastsk uavhengge. Betrakt nå en bestemt av urnene. La X 0 betegne antall kuler denne urnen opprnnelg, og la X n betegne antall kuler urnen etter n treknnger. a) Gj r rede for at fx n ;n =0; 1; 2;:::g er en Markov-kjede med tlstandsrom f0; 1;::: ;Mg og med ett-stegs overgangssannsynlgheter 8 < for j = 1 M P j = 1 : for j = +1 M 0 ellers for alle ; j 2f0; 1;::: ;Mg.
SIF5072 Stokastske prosesser Sde 2 av 6 b) Hva vl det s at en Markov-kjede er rredusbel? Er Markov-kjeden fx n g denne oppgaven rredusbel? Er den aperodsk? Begrunn svarene. c) Fnn P 3 0j for alle j 2f0; 1;::: ;Mg. d) Vs ved regnng at (1) M M P ;+1 = +1 P +1; for 2f0; 1;::: ;M 1g Gj r kort rede for hva det vl s at en Markov-kjede fx n g er tds-reversbel. Forklar hvorfor v fra lkheten (1) kan konkludere at fx n g denneoppgaven er tds-reversbel. e) Fnn stasjonærfordelngen fß g for Markov-kjeden fx n g. Hvlken kjent fordelng er dette? Kan resultatet gs en ntutv forklarng? P M M Du kan bruke at =2 M. =0 f) Man nsker et uttrykk for forventet antall kuler urnen etter n treknnger, gtt at det opprnnelge antallet er, dvs. m n = E(X n jx 0 = ) Bevs formelen m n = M 2 +(1 2 M )n ( M 2 ) ( =0; 1;::: ;M; n =0; 1; 2;:::). Vnk: Utled f rst rekursjonsformelen m n+1 =1+(1 2 M )mn
SIF5072 Stokastske prosesser Sde 3 av 6 Oppgave 2 SIMULERING La Y være eksponensalfordelt med forventng 1, dvs. at Y har tetthet g(x) =e x ; x>0 a) Vs hvordan Y kan smuleres ved nversjonsmetoden ( The Inverse Transformaton Method ). La Z være en postv stokastsk varabel med tetthet f (x) = 2 p2ß e x2 =2 ; x>0 b) Vs hvordan Z kan smuleres ved forkastnngsmetoden ( Rejecton Method ) ved f rst å smulere Y som punkt (a). c) La X være standard normalfordelt, dvs. har forventnng 0 og varans 1. Vs at jxj har tetthet f (x) gtt ovenfor. Forklar hvordan du kan utvde smulerngsmetoden punkt (b) tl å smulere verder for X. Oppgave 3 BROWNSK BEVEGELSE La fb(t);t 0g være en standard Brownsk bevegelse ( Brownan moton ), dvs. at ff =1. a) Gtt at B(2) = 3, hva er sannsynlgheten for at B(1)» 1?
SIF5072 Stokastske prosesser Sde 4 av 6 Formelsamlng: Setnngen om total sannsynlghet og dobbelforventnng: La B 1 ;B 2 ;::: være parvs dsjunkte hendelser med P ([ 1 B =1 )=1. Da gjelder P (AjC) = =1 E[XjC] = =1 P (AjB C)P (B jc) E[XjB C]P (B jc) Forventnng for kke-negatve stokastske varable: Hvs X er dskret fordelt med mulge verder 0; 1; 2;::: er E[X] = Hvs X er kontnuerlg fordelt med P (X» 0) = 0 er Z 1 E[X] = 0 P (X >k): P (X >x) dx: Markovkjeder dskret td: Chapman-Kolmogorov lgnngene P (m+n) j = P (m) k P (n) kj : For transente tlstander, j og k er forventet td tlstand j gtt start tlstand, s j s j = ff j + X k P k s kj : For transente tlstander og j er sannsynlgheten for en eller annen gang å returnere tl tlstand j gtt start tlstand, f j f j =(s j ff j )=s jj :
SIF5072 Stokastske prosesser Sde 5 av 6 Posson-prosess: Ventetd tl n-te hendelse (n-te arrval tme), S n, har sannsynlghetstetthet f S n (t) = n t n 1 (n 1)! e t for t 0: Gtt at antall hendelser N (t) =n, såhars 1 ;S 2 ;::: ;S n smultantetthet f S1 ;S 2 ;::: ;SnjN (t) (s 1;s 2 ;::: ;s n jn) = n! t n for 0 <s 1 <s 2 <::: <s n» t: Markovkjeder kontnuerlg td: Chapman-Kolmogorov lgnngene Kolmogorov's forover-lgnnger Kolmogorov's bakover-lgnnger P j (t + s) = X Pj 0 (t) = k6=j X Pj 0 (t) = k6= P k (t)p kj (s): q kj P k (t) v j P j (t): q k P kj (t) v P j (t): Grensefordelng f dsels- og d dsprosesser: Grensefordelngen en f dsels- og d dsprosess med f dselsntensteter k > 0 for k = 0; 1; 2;::: og d dsntensteter μ 0 =0og μ k > 0 for k =1; 2;::: er P 0 = 1 P 1 k og P k = k P 0 for k =1; 2;::: der 0 =1 og k = 0 1 ::: k 1 μ 1 μ 2 ::: μ k for k =1; 2;:::
SIF5072 Stokastske prosesser Sde 6 av 6 K -teor: For gjennomsntlg antall kunder systemet, L, gjennomsntlg td systemet, W, gjennomsntlg antall kunder som betjenes, Z, betjenngstd, S, og arbed systemet, V, gjelder: L = a W: L q = a W q : Z = a E[S]: V = a E[SW Λ q ]+ ae[s 2 ]=2: Noen matematske rekker: nx a k = 1 an+1 1 a ; ka k = a (1 a) 2 ; nx n k a k b n k =(a + b) n ; a k k! = ea Dfferensallgnng: Dfferensallgnngen f 0 (t) +fff (t) =g(t) for t 0 med ntalbetngelse f (0) = a har l snng f (t) =ae fft + Z t 0 e ff(t s) g(s) ds