Eksempel på optimal risikodeling Hevdet forrige gang at i en kontrakt mellom en risikonøytral og en risikoavers person burde den risikonøytrale bære all risiko Kan illustrere dette i en enkel situasjon, uten noen prinsipal-agent-problemstilling Anta at de to skal dele rettighetene til en framtidig inntekt som kan ha to utfall, 32 eller 72 Sannsynlighet ½ for hvert av utfallene Den ene ønsker så høy forventet inntekt som mulig Den andre ønsker så høy forventet nytte som mulig, med en nyttefunksjon lik kvadratroten av inntekten Ikke klart hva det betyr å få negativ inntekt; derfor ser vi bare på delingsregler der begge får positiv inntekt Kunne dele likt; begge får halvparten, 16 eller 36 1 1 Forventet nytte er 4 + 6 = 5, forventet inntekt er 26 2 2 Mulig å øke forventet nytte for den risikoaverse uten å redusere forventet inntekt for den risikonøytrale: Hvis den risikoaverse får 26 uansett hva utfallet blir, vil forventet nytte bli større enn 5; begrunnelse: Forventet nytte ved å få 25 uansett utfall blir 5; øker dette med 1 uansett utfall, åpenbart bedre Den risikonøytrale får nå 32 26 = 6 i det dårlige utfallet, 72 26 = 46 i det gode utfallet; forventet inntekt er uendret lik 26, har ikke tapt på dette Rom for å forbedre for begge: 25½ til risikoavers,... 1
Skjult atferd og optimale insentiver Forrige gang: Svært enkle modeller med bare to mulige nivåer for agentens innsats I dag: Agenten kan velge innsatsnivå fritt Velg e som et hvilket som helst positivt tall Mer komplisert for prinsipalen å utforme kontrakten Ikke tilstrekkelig å sørge for det høye innsatsnivået Jo sterkere insentiv, jo høyere vil innsatsnivået bli Samtidig må agenten ha høyere kompensasjon for å bære høy risiko, jfr. deltakerbetingelsen Skal studere en spesifikk modell som gir oss en formel for den optimale kontrakten I dette kurset: Forutsetter ikke matematiske forkunnskaper (ut over første klasse, vgs) Vil derfor bare gi en delvis begrunnelse for løsningen Ufullstendig informasjon, optimal lineær kontrakt Endring fra forrige gang: Antar nå at resultatet z (f.eks. produsert mengd er summen av innsatsen e og ytre faktorer x, summen vil som før avhenge av begge deler Bare resultatet, ikke innsatsen, er verifiserbar Kontrakten kunne gi en komplisert sammenheng mellom z og agentens inntekt, w Forenkler og konsentrerer oss om kontrakter av typen w = α + βz, der α og β er to konstante tall Leter altså etter en optimal lineær kontrakt 2
Sannsynlighetsfordeling og forventning En sannsynlighetsfordeling er en beskrivelse av mulige utfall for en usikker (stokastisk) variabel og sannsynlighetene for at de ulike utfallene skal inntreffe Hvis det er uendelig mange mulige utfall (f.eks. alle mulige desimaltall mellom 0 og 1), gir det vanligvis ikke mening å gi hvert enkelt-utfall en positiv sannsynlighet, for da kan summen av sannsynlighetene bli uendelig I stedet: Sannsynlighet for utfall i intervaller, f.eks. intervallet mellom 0 og 0,25, intervallet mellom 0,25 og 0,5, osv. I den økonomiske modellen på forrige side er x (de ytre omstendighetene, støyen) den grunnleggende stokastiske variabelen, mens e ikke er usikker Siden resultatet er z = e + x, vil z også være stokastisk og ha en sannsynlighetsfordeling Siden betalingen er w = α + βz, vil w også være stokastisk og ha en sannsynlighetsfordeling (hvis ikke β = 0) For hver sannsynlighetsfordeling: Kan regne ut forventet verdi, som skrives E( ), f.eks. E(x), E(w) Definerte denne forrige gang: Veid gjennomsnitt av mulige utfall, med sannsynlighetene som vekter Litt mer komplisert når uendelig mange mulige utfall Regneregler: Hvis a og b er stokastiske, mens c er konstant, så er E(a+b) = E(a) + E(b), og E(ca) = ce(a) 3
Sannsynlighetsfordeling, forventning og varians Hittil: Har knyttet to tall til en sannsynlighetsfordeling Forventet utfall, også kalt forventning, et slags gjennomsnitt Forventet nytte, basert på at vi også kjenner en nyttefunksjon (i tillegg til sannsynlighetsfordelingen) Nå: Et tredje tall, varians Varians defineres ut fra sannsynlighetsfordelingen, uten å trekke inn noen nyttefunksjon Varians er et mål for usikkerheten, spredningen i utfall Mange tenkelige mål for spredning; kunne f.eks. tenke oss å se på forventet avvik fra forventningen Men dette er per definisjon lik null, siden positive og negative avvik akkurat vil oppveie hverandre når vi regner ut det veide gjennomsnittet E[x E(x)] Kunne tenke oss i stedet å se på forventet absoluttverdi av avvik, E[ x E(x) ]; et mulig mål for spredningen Lettere å regne med forventet avvik opphøyd i annen, E{[x E(x)] 2 }, som er definisjonen av variansen, var(x) For vårt formål nok å huske at dette er et mål for spredningen i en fordeling, der utfall langt fra E(x) teller mer ( fører til høyere varians ) hvis de har høy sannsynlighet Regneregler: Hvis a er stokastisk, mens c er konstant, så er var(c) = 0, var(c+a) = var(a), og var(ca) = c 2 var(a) 4
Forventet nytte, forventning varians Forventning og varians er to egenskaper ved mange slags sannsynlighetsfordelinger Ser nå på sannsynlighetsfordeling for inntekt, w Rimelig at folk foretrekker høy forventet inntekt framfor lav Hvis risikoaversjon: Vil foretrekke lav varians i inntekten framfor høy varians Kanskje preferansene bare avhenger av forventning og varians? Men forventet nytte avhenger også av nyttefunksjonen Alle individer har ikke like sterk risikoaversjon GH s. 119, nederst, hevder forventet nytte kan skrives som E(w) ½ r var(w) (Dette er en alternativ antakelse til E ( w), som vi har brukt tidliger (Denne antakelsen, s. 119, hos GH bygger egentlig på noen flere forutsetninger som han ikke nevner) (Nyttig for å forenkle modellen og finne en formel) Her er r en egenskap ved nyttefunksjonen, et tall som viser styrken av risikoaversjonen, koeffisienten for absolutt risikoaversjon Forskjell mellom ulike individers vurdering ligger i r En som er risikonøytral, har r lik null, og bryr seg dermed bare om forventningen, E(w) Jo større r, jo mer fradrag i forventet nytte pga. var(w) 5
Formel for optimal lineær kontrakt Trenger enda to forutsetninger for å komme fram til formel for hva slags kontrakt som er best for prinsipalen Forventet bruttoinntekt for prinsipalen er P(, en voksende funksjon av e Kostnaden for agenten ved å yte innsatsen e er C(, en voksende og konveks funksjon av e (En alternativ antakelse til det vi brukte tidligere, der kostnaden målt i nytteenheter var lik Konveks er det motsatte av konkav; betyr at jo større e blir, jo mer koster det å øke e ytterligere Prinsipalen ønsker høyest mulig P( E(w) Agenten ønsker høyest mulig E(w) ½ r var(w) C( Prinsipalen tilbyr først en kontrakt, {α, β} Agenten velger deretter å akseptere eller ikke; hvis aksept velger agenten deretter en innsats, e Begge kjenner sannsynlighetsfordelingen til x, sammenhengen z = e + x, og vet at betalingen vil bli w = α + βz Allerede når prinsipalen utformer kontraktstilbudet, vet prinsipalen at agenten kjenner til alt dette; prinsipalen vet også hva agentens alternative nyttenivå er, dvs. det agenten kan oppnå ved å avvise kontrakten; prinsipalen kjenner også størrelsen på r Prinsipalen kan derfor forutse agentens valg for ulike verdier av kontraktsparametrene {α, β} Dette er grunnlaget for prinsipalens tilbud av kontrakt 6
Løsningen for β Skal ikke forklare matematikken i løsningsmetoden Løsningen for parameteren β er følgende formel: β = 1+ r P'( var( x) C''( Her er P '( (den deriverte av P) et mål for hvor bratt P-funksjonen er; tillegget i P ved å øke e med en enhet Her er C ''( (den deriverte av C ') et mål for hvor krum C-funksjonen er; tillegget i C ' ved å øke e med en enhet Optimal β vil være større, jo større telleren er, men mindre, jo større nevneren er; altså: Høyere P '( gjør det gunstig med høyere β Tre forskjellige faktorer opptrer i nevneren: Høyere r, var(x) og/eller C ''( gjør det gunstig med lavere β Forklaringer: Høyere P '( betyr at det er viktigere for prinsipalen å få agenten til å yte mer, siden det har større effekt Høyere r betyr at det er uheldig å la agenten bære mer risiko (via høy β), siden agenten misliker det mer Høyere var(x) betyr at agenten utsettes for mer risiko via β enn om variansen hadde vært lavere C ''( har å gjøre med hvor sterkt agentens valg av e påvirker agentens nytte 7
Løsningen for α Prinsipalen velger β ved hjelp av formelen foran Har hittil ikke tatt hensyn til om agenten vil akseptere Den andre kontraktsparameteren, α, velges utelukkende ut fra deltakerbetingelsen Velger α slik at når agenten får vite {α, β}, vil agenten se at e kan velges slik at det så vidt er bedre (målt i forvente nytt å akseptere kontrakten enn å avvise den Siden så vidt er et upresis begrep, vil vi vanligvis være fornøyd med en løsning der deltakerbetingelsen holder nøyaktig, dvs. er oppfylt med likhet, ikke ulikhet Ikke mulig for agenten å velge e på noen annen måte som gir høyere forventet nytte Prinsipalen utnytter fordelen ved å ha første trekk fullt ut 8
Mer kompliserte situasjoner: Problem med målbarhet Så langt: Antok resultatet kunne måles Åpenbart ikke alltid enkelt Blant annet vanskeligere å måle kvalitet enn mengde Dessuten dyrt å måle i detalj, overvåke Mer kompliserte situasjoner: Flere dimensjoner Så langt: Antok agentens oppdrag var endimensjonalt Resultatet kunne måles som ett tall, ikke flere Men arbeidstakere har ofte mange oppgaver Og: En enkelt oppgave har ofte flere aspekter, f.eks. mengde og kvalitet Bør hver deloppgave, hvert aspekt, belønnes? Ja, hvis en oppgave måles og belønnes, bør alle andre også måles og belønnes (Beslektet med målbarhetsproblemet ovenfor) Alternativ: Gi opp insentivlønn fullstendig Begrunnelse: Ved å belønne bare noen deloppgaver, mens andre, viktige deloppgaver ikke kan måles eller belønnes, vil alt fokus bli rettet mot de som belønnes Enda sterkere teoretisk resultat: Må belønne hver deloppgave like sterkt (i en viss forstand) Kalles prinsippet om lik kompensasjon Ellers blir fokus vridd mot det som belønnes sterkest, og alle andre deloppgaver kan bli fullstendig neglisjert 9