UNIVERITETET I AGDER Gimstad E K A M E N O P P G A V E : FAG: MA-9 Matematikk ÆRER: Pe enik ogstad Klasse: Dato:.6. Eksamenstid fa-til: 9.. Eksamensoppgaven bestå av følgende Antall side: 5 inkl. foside vedlegg Antall oppgave: Antall vedlegg: Tillatte hjelpemidle e: Kalkulato ogstad: Fomle MA-9 augan: Fomle og tabelle Ikke tillatt å skive i fomelsamlingene KANDIDATEN MÅ EV KONTROERE AT OPPGAVEETTET ER FUTENDIG
MA-9 Odinæ Eksamen Vå Oppg n Poeng a b c d e a b c d e f g a b a b --------------------- um 8 Poengene vise vekt-fodelingen fo de enkelte del-spøsmålene. Ved kaaktesetting vektlegges selvfølgelig i tillegg en total-vudeing bl.a. en vudeing av i hvilken gad kandidaten ha kunnskape innenfo de ulike omådene gitt i oppgave-settet. YKKE TI!
. Vi ha en patikkel som bevege seg langs følgende kuve i ommet paameteen t e he tiden se fig.: [ cos tsin t t] [ ] t t Fig. a Bestem hastighetsvektoen og akseleasjonsvektoen som funksjon av paameteen tiden t. Bestem deette hastighetsvektoen og akseleasjonsvektoen i punktet -/ på kuven. b Bestem enhetstangentvektoen som funksjon av paameteen tiden t. Bestem deette enhetstangentvektoen i punktet -/ på kuven. c Bestem lengden av kuven. d Anta nå at vi lage en fsisk bane som følge kuven og at massetettheten δ massen p lengde-enhet av denne banen som funksjon av og e gitt ved: δ Massetettheten massen p lengde-enhet av denne banen e altså fo hvet punkt på banen gitt ved absoluttvedien av punktets -koodinat. I denne oppgaven tenge du ikke tenke på enhete men som eksempel på konketiseing med enhete kan vi tenke oss at - - og -koodinatene e målt i mete og at massetettheten δ e målt i kilogam p mete. Bestem massen av denne banen. e a oss nå omdefinee kuven til å væe en kuve i -planet gitt ved en omdefineing av -vekto se fig.: [ costsin t] [ ] t t Fig. Bestem vha Geens teoem næmee bestemt Geens fomel fo aeal aealet av omådet avgenset av kuven definet i denne oppgaven e og det ette linjestkket som gå fa punktet - til punktet.
. Vi ha gitt legemet T begenset av paaboloideflaten gitt ved og planet Vi la kuven væe kuven som femkomme som skjæing mellom den gitte paaboloideflaten og det gitte planet. Vi la flaten væe den lukkede oveflaten av legemet T. Vi la flaten væe den plane flaten på toppen av legemet T. Vi la flaten væe den kumme delen av flaten dvs den delen av flaten som utgjøes av paaboloideflaten. Videe ha vi gitt vektofeltet F [ ] a Tegn en skisse av legemet T. b Beegn volumet av legemet T. c Bestem divegens og cul til det gitte vektofeltet. d Bestem ved diekte beegning uten buk av tokes teoem følgende kuveintegal: F d hvo den lukkede kuven gjennomløpes i etning mot klokka sett ovenfa nedove langs -aksen. e Bestem kuveintegalet i d men denne gang vha tokes teoem. f Bestem fluksen av det gitte vektofeltet ut av den lukkede flaten. g Bestem fluksen av det gitte vektofeltet ut av flaten. a Bestem den geneelle løsningen av følgende patielle diffeensialligning: 6 b Bestem den løsningen av den patielle diffeensialligningen i a som oppflle følgende tilleggsbetingelse:
. Vi ha en steng med lengde cm som e festet i begge ende både ved og. Vi da midten av stengen en høde h cm ut fa likevektstillingen slik at stengens posisjon f som funksjon av ved tiden t e gitt ved se fig.: h f h Fig. Alle punkte på stengen ha stathastighet null ved tiden t. Diffeensialligningen som beskive posisjonen som funksjon av og t e gitt ved: a t < < t > hvo konstanten a e bølgehastigheten på stengen. I denne oppgaven settes bølgehastigheten a til. cm/s. Dette bet at i denne oppgaven settes h og a. Tilleggsbetingelsene til denne diffeensialligningen e gitt ved: t.t f t Venste endepunkt på stengen e hele tiden festet til aksen øe endepunkt på stengen e hele tiden festet til aksen tatposisjonen ved t til hvet punkt på stengen e gitt ved funksjonen f tathastigheten ved t til hvet punkt på stengen e lik null a Utvid f til å bli smmetisk om oigo med peiode og bestem Fouie-sinusekken til f uttkt ved vaiablene og h. Til bestemmelse av denne Fouie-ekken kan følgende benttes: / n n n sin d sin d sin n / b Bestem stengens bølgeutslag t som funksjon av posisjonen og tiden t uttkt ved vaiablene a og h. Bestem deette bølgeutslaget i posisjon cm ved tiden t sekunde ta med ledd i ekken ved denne beegningen.
. [ cos tsin t t] [ ] t t a astighetsvekto som funksjon av tiden t: v t t [ 8sin t8cost ] Akseleasjonsvekto som funksjon av tiden t: a t vt [ 6cost 6sin t] Punktet -/ svae til t / astighetsvekto i punktet -/: v 8sin 8cos [ 8sin 8cos] [ -8] Akseleasjonsvekto i punktet -/: a 6cos 6sin [ 6cos 8sin ] [ 6] b Enhetstangentvekto i punktet -/: vt Tt vt T [ 8sin t8cos t] vt [ 8sin t8cos t] v v [ 8 ] 8sin t 8cos t 6sin t 6sin t c engden av kuven : ds ds dt vt dt t dt dt dt dt [ t] dt d Massen av kuven : ds M dm δds δ dt δ v t dt δ t dt dt sintdt -sintdt sintdt [- - - - - ] [ ] δ dt sintdt 8 δdt sint dt [- cost] [ cost] e Aeal av omådet omsluttet av kuven -aksen og kuven : t [ cos tsin t] t [ ] t cos t t sin t d sin t cos t : beskevet ved -vekto :linjestkket på -aksen d på. A A da d d d d 8 6 8cos t sin tdt 8 cos t cos tsin t cos tdt cos tsin t cos tdt
. a b Volumet V av legemet T: [ ] [ ] d d d d dd dd dd da da dda dv V D A A A T
c F [ ] Divegens til vektofeltet: divf F ul til vektofeltet: culf F [ ] [ ] i [ ] [ ] j k d Kuven femkomme som skjæing mellom paaboloideflaten og planet Pojeksjonen ned i -planet av kuven e defo gitt ved En glatt paameteiseing av kuven e defo gitt ved: t t [ costsin ] eav få vi: d t [ sin tcost ]dt F Ft [ ] [ sin t cos t ] [ sin tcos t] Ft dt [ sin tcos t] [ sin tcos t] dt sin cos tdt cos cos t cos tdt cos t dt t sin tdt Kuveintegalet langs den lukkede kuven e nå gitt ved: t t cost F d cos t dt dt cost dt t sin t e Kuveintegalet langs den lukkede kuven vha tokes teoem: Vi bentte he at flaten ha kuven som and. En enhetsnomal i positiv etning ut av denne flaten e gitt ved []. I uttkket fo cul til F-vekto kan vi bentte at i planet. F d culf nd F nd t [ ] [ ] d d Vi se at vi ha oveensstemmelse i beegning av kuveintegalet med og uten tokes teoem. t
f iden flaten e lukket kan vi bentte Gauss teoem ved beegning av fluks ut av denne flaten. T T T T dv dv FdV divfdv nd F g Fluksen ut av flaten : [ ] [ ] d d d nd F Fluksen ut av flaten :. a Den geneelle løsningen av den patielle diffeensialligningen: 6 6 6 G G d F d F d F d d Dette e den geneelle løsningen inneholde to vilkålige uavhengige funksjone he kalt G og av den gitte patielle diffeensial-ligningen uten tilleggs-betingelse. b Med tilleggs-betingelsene få vi videe: G G G
. a Fouie-sinusekken til f: f A n f n / h n sin d n n An sin n f sin d n An sin n / h n sin d 8h n n 8h sin sin n n h n n 8h n sin sin n n n 8h sin sin n n odd n n n sin b Bølgeutslaget t som funksjon av posisjonen og tiden t: t nat n 8h cos sin n nat n 8h sin cos sin n An n n n odd n n nat n cos sin Med henholdsvis og 5 ledd i ekken få vi følgende bølgeutslag i cm i posisjonen 5 cm ved tiden t sekunde:.. N N 5 ledd i ekken 5 ledd i ekken