16. TRANSFORMASJONAR Ein transformasjon er ein overgong frå eit koordinatsystem til eit anna koordinatsystem og datum. Ordet har vore nytta om fleire ulike typar overgangar, men slik det er definert i Statens kartverk sin standard «Koordinatbaserte referansesystem» er det knytt til empirisk formelutvikling mellom koordinatsystem med ulike datum. Det kan vere både mellom same type koordinatsystem til dømes rettvinkla xykoordinatar med ulik origo, eller mellom ulike typar koordinatsystem. Overgang mellom system innanfor same datum, dvs. omrekning med bruk av eksakte formlar vert definert som «konvertering». Dette kan vere til dømes frå geosentriske til geodetiske koordinatar, eller frå geodetiske til kartplan («avbilding til kartplan»). I dette kapitlet er fokus på dei heilt enkle overgangane mellom to koordinatsystem i same plan, men med ulik origo, orientering og målestokk. Slike enkle transformasjonar kan nyttast for overføring av lokale koordinatar til eit meir omfattande (større) system. IDENTITETSTRANSFORMASJON Den enklaste forma for transformasjon er eit identisk bilete av ein figur (ein sverm av punkt) i to ulike koordinatsystem. Figurane skal med andre ord vere identiske i dei to systema, men dei kan dreiast og flyttast i høve til origo i koordinatsystemet. Fig. 16.1 syner ei slik endring av koordinatsystem. Ein kjenner punktet sine koordinatar i det merka (frå-) X',Y' systemet, og vil finne dei i det nye (til) X,Y systemet. Ein ser frå fig. 16.1 at origo er flytta lengdene C x og C y og dreiinga mellom dei to systema er vinkelen A. Ein del hjelpestorleikar er innført på figuren med enkle trigonometriske funksjonar med utgangspunkt i dei merka koordinatane og dreiingsvinkelen. Ein kan ved enkel summering av hjelpestorleikane finne koordinatane i det umerka systemet: Fig. 16.1 Identitetstransformasjon X P = X' P cos A - Y' P sin A + C x Y P = X' P sin A + Y' P cos A + C y Dei to likningane inneheld tre ukjende; dreiingsvinkelen A og flyttingane C x og C y. Desse storleikane vil oftast ikkje vere kjende, men me vil i staden kjenne nokre punkt sine koordinatar i båe systema. Dersom ein har to punkt som er kjende i båe systema, kan ein løyse ut dei ukjende parametrane (A, cx og cy). Etter at ein har funne desse parametrane kan alle andre punkt transformerast til det nye systemet. Eksempel: Eit område er kartlagt ved bruk av rettvinkelmetoden, eit punkt i kvar ende av målelina er målt inn, og har koordinatar i landsnettet. Ein vil finne koordinatane til punkta som er fastlagt ved rettvinkelmetoda, i hovudsystemet. Dei er fastlagt i eit system som har origo i eine endepunktet, og X akse langs målelina, eksempelvis kan koordinatane (i målelinesystemet) vere: Punkt 1:(100,100) og Punkt 2:(100,317.35) Koordinatane til dei same punkta er i landsnettet fastlagt til: 1:(212678.34,52997.41) (x,y) og 2:(212840.40,53142.24). Dei ukjende parametrane kan no løysast ut ved eliminasjon:
X1-likninga: 212678.34 = 100 cos A - 100 sin A + C x (I) X2-likninga: 212840.40 = 100 cos A - 317.35 sin A + C x (II) Eliminerer cos A og C x ved å trekkje II frå I. I - II : -162.06 = -100 sin A -(- 317.35)sin A => -162.06 = sin A (-100 + 317.35) => sin A = -162.06/217.35 = -0.745617 => A = 346.4309 g Deretter kan ein finne C x og C y C x frå I : C x = 212678.34-100 cos A + 100 sin A => C x = 212537.14 C y : 53142.24 = 100 sin A + 317.35 cos A + C y => C y = 53142.24-100 sin A - 317.35 cos A => C y = 53005.33 Ein ser her at ein berre trong to korresponderande X-koordinatar og ein Y-koordinat for å finne dei ukjende. Dette stemmer og med at det var tre ukjende. Ofte forenklar ein skrivemåten for transformasjonslikningane. Ein kan setje: a = cos A = 0.666374 og b = sin A = -0.745618 Transformasjonslikningane vert då: X = a X' - b Y' + C x og Y = b X' + a Y' + C y Dersom ein lagrar koeffisientane i minnet på ein kalkulator er det no raskt gjort å transformere fleire punkt i området. Eit vilkårleg punkt (177.35,81.78) får til dømes koordinatane: X = 0.666374 177.35 - (-0.745618) 81.78 + 212537.14 = 212716.30 Y = -0.745618 177.35 + 0.666374 81.78 + 53005.33 = 52927.59 **** KONFORM TRANSFORMASJON (ofte kalla Helmerttransformasjon) er ei utviding av identitetstransformasjonen ved at det vert innført ulik målestokk mellom dei to systema. Det vil seie at punktfiguren er likeforma, men kan vere dreia, flytta og endra i målestokk i det nye systemet. Ein kan nytte figuren frå identitetstransformasjon, og tenkje oss at før omrekninga vert koordinatane i utgangssystemet (det merka) endra med ein målestokksfaktor m. Ein får såleis transformasjonslikningane: X P = X' P m cos A - Y' P m sin A + C x Y P = X' P m sin A + Y' P m cos A + C y No er talet på ukjende auka til fire, slik at ein treng to komplette korresponderande koordinatar i dei to systema for å finne transformasjonsparametrane. Den enklaste måten å utføre dette på er å finne retningsvinkel og avstand mellom dei to (samsvarande) punkta i båe system, og deretter utleie dreiing og målestokk: Finn: ϕ' AB og S' AB (retningsvinkel og avstand) i det merka systemet Og ϕ AB og S AB (retningsvinkel og avstand) i det umerka systemet då er: A = ϕ AB - ϕ' AB og m = S AB / S' AB Ein dreg ofte saman ledda i transformasjonen slik at ein skriv transformasjonsformelen på den enklare forma: X P = X' P a - Y' P b + C x Y P = X' P b + Y' P a + C y der a = m cos A og b = m sin A
Helmerttransformasjonar er særleg nytta i fotogrammetrien der ein kan overføre modellkoordinatar (målt i eit maskinsystem) til terreng-koordinatar ved hjelp av passpunkt. I gamle analoge instrument er absoluttorientering i instrumentet ein mekanisk helmerttransformasjon der ein ved hjelp av dreiing og flytting av folien roterer og flyttar systemet, og ved hjelp av basisjustering kan ein endre målestokken i modellen (utgangssystemet) til det mekaniske overføringshøvet mellom modell og bord høver. TRANSFORMASJONAR MELLOM PUNKT I ULIKE PLAN Dersom punkta i dei to systema ligg i ulike plan, er tilfellet langt vanskelegare. Det er til dømes tilfellet ved overgong frå norske Gauss Krüger- til UTM-koordinatar. Desse to systema har ulike projeksjonsplan med ulike akseplasseringar. Enkle transformasjonar som føreset felles plan kan dermed ikkje nyttast. For å rekne om koordinatar mellom to slike system må ein gå vegen om geografiske koordinatar eller eit anna koordinatsystem som representerer eit punkt på den krumme flata. Frå desse koordinatane kan ein så rekne seg til det nye systemet. Dette er for å få eit strengt korrekt resultat, men slike omrekningar er arbeidskrevjande med mindre ein har ferdige datamaskinprogram som kan gjere dei. Ved NGO er det i staden utvikla ein tilnærma transformasjon som dekkjer overgongen GK til UTM og omvendt. Koeffisientar og omtale av desse formlane finst i "Kart og Plan" nr. 1 1982 side 23 (av Jan Danielsen, NGO). Der er og skildra korleis ein kan rekne seg via geografiske koordinatar. Som nemnt over er ikkje Helmert-transformasjon eigna til slike oppgåver når systema ligg i ulike plan. Det kan likevel i nokre tilfelle vere aktuelt å nytte ein slik transformasjon når det ikkje vert stilt serskilde krav til resultatet. Ein skal difor sjå på eit eksempel der feila som ein får kjem klårt fram: Utgangspunktet er eit UTM- og eit Gauss-Krügersystem med aksar to grader (ca. 40 km) frå kvarandre. Ein firkanta figur med 5 km side er gitt i båe systema, punkt 1-4, jfr. fig. 16.2. Gitte UTM koordinatar Gitte GK-koordinatar N E X Y 1 8700000 600000 200831.449 54960.621 2 8700000 605000 200660.473 59959.258 3 8705000 600000 205830.100 55131.611 4 8705000 605000 205659.097 60130.248 Fig. 16.2 UTM og GK system. Ein nyttar punkt 1 og 4 som grunnlag for utrekning av transformasjons-parametrane: I UTM-systemet: ϕ 1,4 = 50; I GK-systemet : ϕ 1,4 = 52,17685; S 1,4 = 7071.068 m S 1,4 = 7073.2757 m Dermed er dreiing og målestokk når ein set GK-systemet som merka: A = ϕ 1,4 - ϕ' 1,4 = 50-52,17685;; = -2.17685 g (397,82315 g) m = S 1,4 / S 1,4 = 7071.068 / 7073.2757 = 0.999687888 Ein finn parametrane a og b: a = m cos A = 0.99910349 b = m sin A = -.03417655 Frå punkt 1 løyser ein ut translasjonane: 8700000 = a 200831.449 - b 54960.621 + C x
=> C x = 8497470.234 Dermed kan dei andre punkta transformerast: 600000 = b 200831.449 + a 54960.621 + C y => C y = 551952.379 N E DN DN Punkt 2: 8700000.013 604999.999 avvik: 0.013 m 0.001 m Punkt 3: 8705000.014 600000.000 avvik: 0.014 m 0.000 m Dersom ikkje kravet til resultatet er spesielt strengt, kan ein med andre ord nytte ein Helmerttransformasjon til ein slik overgong dersom ein ikkje kan løyse oppgåva på ein meir eksakt måte. Konvertering - Overgong frå ein UTM-akse til ein annan Rekning mellom ulike UTM soner kan gjerast med eksakte formlar, men ein må gjere rekninga ved å konvertere den aktuelle UTM-koordinaten til geodetisk, og deretter frå geodetiske koordinatar til den nye UTM-sonen. Dette er relativt tunge rekningar om det skal gjerast med kalkulator (men lett match for ein datamaskin). Eit alternativ kan vere å gjere det direkte med ein konform transformasjon. Det er enkelt men ikkje feilfritt. Eksempelet under illustrerer dette med transformasjon frå UTM-akse 15 (sone 33), til akse 27 (sone 35), (på Svalbard). UTM-sone 33 (15 ) UTM-sone 35 (27 ) N E N E 1 8750000 625000 8751093.544 364392.286 2 8750000 630000 8750073.479 369287.218 3 8755000 625000 8755988.528 365412.451 4 8755000 630000 8754968.312 370307.335 5 8752500 627500 8753030.966 367349.823 Det er gitt punkt i eit 5 kilometers kvadrat pluss midtpunktet. Ein reknar transformasjonsparametrar som i førre eksempelet frå punkt 1 og 3: A = ϕ 1,3 - ϕ' 1,3 = 13.07946-0 = 13.07946 g m = S 1,3 / S 1,3 = 5000.0892 / 5000.000 = 1.0000178 Dermed: a = m cos A = 0.97898640 b = m sin A = 0.20401300 C x = X - m cos A X' + m sin A Y' = 312470.669 C y = Y - b X' - a Y' = - 2032587.965 Transformerte punkt: Avvik (mm) N E N E 3 8755988.476 365412.351 52 100 4 8754968.411 370307.283 99 52 5 8753030.977 367349.785 11 38 Reknegrannsemda er her svært kritisk, det krevst mange signifikante siffer. Eksempelet syner og at for små område der kravet til grannsemd er lågt kan ei slik metode nyttast til overgongen mellom to system, men det bør gjerast med varsemd. Transformasjonar frå GK til UTM (eller motsett) eller konvertering mellom UTM aksar bør gjerast med særskilde program. Det vanlege er å rekne om dei plane koordinatane til geografiske koordinatar på ellipsoiden, og desse til rettvinkla koordinatar i det nye kartplanet.
BRUK AV PROGRAMSYSTEM TIL TRANSFORMASJONAR Dersom ein skal ha utført transformasjonar til dømes mellom ulike aksesystem finst det ei rad datamaskinprogram som kan gjere dette. Ein kan difor ofte finne nett det programsystemet ein treng. Slike program kan og ofte utføre ein affin transformasjon som er ein transformasjon som til ei viss grad endrar forma på det transformerte biletet. Transformasjonen har ulik målestokk langs X og Y aksen og kan innehalde andregradsledd. Dette er ein transformasjon som kan vere godt eigna i spesielle tilfelle, men ein må vere varsam av di den kan gi uheldige utslag. Eit aktuelt bruksområde for ein affin transformasjon er digitalisering på digitaliseringsbord. Dersom ein skal digitalisere eit papirkart, kan dette ha ulik krymping i ulike retningar, og ved å nytte ein affin transformasjon kan ein til ei viss grad kompensere for denne krympinga. Vilkåret for å nytte ein slik transformasjon er at ein har fleire punkt gitt i båe system, og dei kan ikkje ligge på ei line. Dei system som nyttar affin transformasjon gjer vanlegvis ei utrekning av parametrane med utjamning, slik at ein kan nytte fleire gitte punkt enn det som trengst for å rekne ut parametrane. Dermed får ein betre kontroll på at ein ikkje har gjort noko fundamentalt gale.