11. AKSESYSTEM OG KOORDINATAR

Transkript

1 11. AKSESYSTEM OG KOORDINATAR Så godt som alle landkarta i Noreg vert utarbeidde i ein konform sylinderprojeksjon. I 1993 vart det vedteke å skifte datum frå det norske NGO systemet til EUREF89, og samstundes endre standard kartprojeksjon frå ein tangerande Gauss-Krüger projeksjon til UTM. Båe projeksjonane er basert på ein konform sylinderprojeksjon, striper av jordoverflata overført (projisert) til ei sylinderflate som vert "bretta ut" og utgjer kartplanet. Til skilnad frå Gauss-Krüger (NGO) nyttar UTM ein sylinder som er litt mindre enn ellipsoiden. Då får nokre område målestokk mindre enn 1 (forminska i kartet) og andre område forstørre. Dette saman med noko mindre krav til «feil» gjer at ein kan nytte færre og breiare striper i UTM-projeksjonen. Skalafeilen varierer frå at sentralmeridianen i kvar stripe er forminska med ein faktor på 4/ (Målestokk lik 0,9996), til ein maksfeil (ved ekvator) på ca. 1/1000 (Målestokk 1,001). I NGO systemet vil skala målestokk varierer frå 1.0 til ca. 1,0001 (10 cm/km). Dette vart sett på som ein så liten feil at ein kunne sjå bort frå den ved vanlege enkle rekningar med koordinatar. For å få minst mogeleg feil i det plane kartsystemet, nytta ein for Noreg i alt 8 sylindrar som tangerte langs ulike meridianar. I UTM systemet er det fire sylindrar som dekkjer Noreg, og Statens kartverk har vedteke å berre nytte tre av desse på norske kart/koordinatar. Begge projeksjonane og det nye lokale norske systemet NTM (NorskTransversalMercator) er skildra i kapittel 1. KOORDINATSYSTEMET NB! Ein nyttar i landmålinga omvend namnsetjing på koordinataksane i høve til matematikken X-akse mot nord og Y-akse mot aust. Koordinatsystemet har positiv omløpsretning med sola, og aksar som synt i fig I UTM kallar ein gjerne X for N- Northing og Y for E- Easting. Retning mot nord vert gitt verdet 0 null. KOORDINATAR I Noreg er det i dag tusentals koordinatgitte punkt. Når ein skal måle opp eit område, ynskjer ein oftast å knyte det til koordinatar slik at ein kan referere det til området ikring. Dette kan ein gjere ved å måle det inn i same koordinatsystem som er nytta i dei andre områda. Ved å nytte koordinatgitte punkt, triangel- eller polygonpunkt som utgangspunkt for våre målingar, får ein direkte knytt seg til NGO-systemet eller det koordinatsystemet som gittpunkta er fastlagt i. Koordinatrekning byggjer på enkle trigonometriske prinsipp, med nokre raffinerte kunstgrep for å få enkle løysingar. Serleg for landmålinga er nokre omgrep ein må kunne: Retningsvinkelen er vinkelen mellom ein parallell med X-aksen og ei line. Denne vert rekna positivt frå X-aksen og ligg i intervallet g ; og er gitt med den greske bokstaven ϕ. Koordinatane til eit punkt (X og Y) er lengda langs aksane frå origo til det punkt der normalane frå punktet treff aksane.

2 Koordinattilvekstar eller koordinatdifferansar er differansar i X- og Y-koordinatar mellom to punkt, vanlegvis nemt x og y. Polarkoordinatane til eit punkt i høve til origo eller i høve til eit anna punkt er retningsvinkel og avstand frå origo (evt. eit punkt) og til punktet (ϕ,s). Fig syner samanhengen mellom dei ulike storleikane Retningsvinkel: ϕ BA = ϕ AB g y AB (y B - y A ) tan ϕ AB = = x AB (x B - x A ) NB! Ved bruk av "P-R" tast på kalkulator gir forteikn på koordinat-tilvekstane rett kvadrant for den søkte vinkelen. Dvs. ein får rett storleik på vinkelen, men ver merksam på at fleire kalkulatorar nyttar vinklar på ±200 g i staden for g. Ein vinkel på -100 g tilsvarar såleis 300 g. Sidelengd: S AB = ( x AB 2 + y AB 2 ) x AB y AB S AB = = cosϕ AB sinϕ AB Koordinattilvekstar: x AB = S AB cosϕ AB y AB = S AB sinϕ AB Polarkoordinatane til B frå A: (ϕ AB,S AB ) Koordinatane til B: X B = X A + S AB cosϕ AB Y B = Y A + S AB sinϕ AB NB! S tyder her avstand i kartprojeksjonsplanet. Avstandar som er målt i marka må påførast kartprojeksjonskorreksjon (jfr. kap. 10). Dersom avstandar som er rekna ut på grunnlag av koordinatar, skal setjast ut i marka, må ein like eins korrigere desse, men korreksjonen får då omvendt forteikn.

3 Dersom ein har stilt opp i eit kjent (koordinatgitt) punkt (A), og målt retningar til eit anna kjent punkt (B), og eit eller fleire ukjende punkt (C), kan retningsvinkelen frå instrument-punktet til desse nypunkta finnast. Jfr. fig Gitt: (X,Y) A og (X,Y) B : Då er: S AB = ((X B - X A ) 2 + (Y B - Y A ) 2 ) ϕ AC = ϕ AB + α 400 g x B - x A og: ϕ AB = arccos( ) S AB y B - y A eller: ϕ AB = arcsin( ) S AB y B - y A eller: ϕ AB = arctg ( ) x B - x A Det siste uttrykket er det beste, då det gir rett kvadrant direkte. Retninga til B er målt til r 1 og til C - r 2, vinkelen mellom B og C er då: α = r 2 - r 1 Retningsvinkelen til C er dermed: ϕ AC = ϕ AB + α Men her ville ein etter figuren til ein vinkel i IVkvadrant leggje til ein vinkel som gjer at ein kjem over til I-kvadrant. Difor vert: På denne figuren kan ein òg sjå på samanhengen mellom ϕ AB og ϕ BA. Retningsvinklar til same line i motsett retning er 200 g ulike. Ein kunne difor òg finne retningsvinkelen ϕ AC ut frå ϕ BA. ϕ AC = ϕ BA + α g Ein legg her til 200 g, men dersom vinkelen då vert over 400 g, må ein trekkje frå 400 g for å få den korrekte retningsvinkelen. Ved utrekningar av retningsvinklar er det alltid ein føremon å ha ei orientert skisse, slik at ein kan kontrollere retningsvinklane etter kvart, og unngå ma. at dei vert 200 g feil. Det er og viktig å leggje inn kontrollar. Ved å rekne ut sidelengda S AB med Pytagoras, og retningsvinkelen med tangens, (arctgϕ = ( Y/ X)), kan ein kontrollere utrekninga med arcsin- eller arccos-uttrykket for retningsvinkelen.

4 12. TRIGONOMETRISK ENKELTPUNKTUTREKNING Fastlegging av koordinatar til punkt ved landmåling er gjer bruk av geometriske metodar som gjer at me ut frå målingar (observasjonar) av retningar (vinklar) og avstandar kan rekne kooridnatar. Målingane har i hovudsak to geometriske eigenskapar: Ved vinkelmåling måler me mellomm punkt med kjende koordinatar og til punkt med ukjende korodinatar. Måling mellom kjende punkt gjer at me kan finne kva retningsvinkel vår observasjon svarar til, og me kan deretter finne retningsvinkelen til ein annan observasoj På denne måten fastlegg me retninga til ei line i planet. Tilsvarande vert ein målt avstand mellom to punkt til eit geometrisk vilkår det eine punktet må ligge på ein sirkel omkring det andre, der radius i sirkelen er lik den målte avstanden. Frå kapitlet om vinkelmåling veit me at ved å måle frå eit gitt punkt til eit. FRAMSKJERING Ved framskjering legg ein fast koordinatane til eit punkt ved å finne retningsvinkelen til det nye punktet frå minst to kjende punkt. Dette kan ein gjere ved å stille opp teodolitten i to gitte punkt, og måle retningar til nypunktet og minst eit anna gitt punkt. Situasjonen i fig er den enklast tenkjelege. Her er A og B gitte punkt, medan nypunktet er P. Ved å måle vinklane α og β kan koordinatane til P finnast. Ein får retningsvinklane: ϕ AP = ϕ AB - α ϕ BP = ϕ BA + β I fig er det sikta til fleire gitte punkt i oppstillingspunkta A og B, men prinsippet for fastlegging av retningsvinklane er det same, men ein kan her nytte medelet av fleire gitte retnings-vinklar, og dermed til ei viss grad redusere verknaden av feil i målingane våre. I staden for vinklar er det her målt retningar, og ein finn vinklane ein treng som differanse mellom retningsverde. Ein startar med utrekning av retningsvinklane ϕ AC og ϕ AD, og finn deretter retnings-vinkelen AP: ϕ AP = (ϕ AC + (r 3 - r 2 ) + ϕ AD + (r 3 - r 1 ))/2 Ein nyttar her medeltalet av dei to retningsvinklane for sida AP som ein kan rekne ut. På grunn av små feil på retningsmålingane (r) vil desse to sjeldan stemme heilt, og medeltalet vil difor vere det mest sannsynlege verdet. For utrekning av retningsvinkelen BP nyttar ein same metoden, med retningsvinklane ϕ BA og ϕ BC og dei målte retningane r 4 - r 6.

5 KOORDINATREKNING AV FRAMSKJERING Frå fig kan ein frå gitte storleikar utleie: y AB ϕ AB = arctg ( ) x AB S AB = ( x AB 2 + y AB 2 ) ϕ AP = ϕ AB - α Polarkoordinatane til P i høve til A er gitt ved: (ϕ AP,S AP ), og sida kan finnast ved sinusproporsjonen: S AP S AB = sinβ sin(200-α-β) => S AP = S AB sinβ / sin(α+β) Dette etter regelen om at sinus til ein vinkel er lik sinus til komplementvinkelen. Dermed er polarkoordinatane kjende, og ein finn koordinatane til P: X P = X A + S AP cosϕ AP Y P = Y A + S AP sinϕ AP For å kontrollere resultatet reknar ein ved framskjering alltid koordinatane til nypunktet ut frå båe tilsiktingspunkta. Framgangsmåten vert den same ut frå punkt B. ANDRE METODAR Det finst fleire metodar for rekning av framskjering. Ei av desse gir koordinatane til punktet direkte. Ein stiller opp likningane: tgϕ AP = (Y P - Y A ) / (X P - X A ) tgϕ BP = (Y P - Y B ) / (X P - X B ) Her er det to ukjende, X P og Y P. Ein løyser ut Y P frå kvar av desse og får:

6 Y P = tgϕ AP (X P - X A ) + Y A Y P = tgϕ BP (X P - X B ) + Y B Ein set desse likningane lik kvarandre, og løyser ut X P : - (Y B - Y A ) + (X B tgϕ BP - X A tgϕ AP ) X P = tgϕ BP - tgϕ AP Deretter: Y P = Y A + y AP = Y A + x AP tgϕ AP Desse formlane er enkle å programmere på ein kalkulator. Dei er godt eigna når ein har tilsikta fleire gitte punkt, slik at retningsvinklane er rekna i ein separat transaksjon. Ein bør gjere utrekning av koordinatane til P frå båe tilsiktingspunkta for kontroll. Ein skal kome fram til same resultat anten ein går ut frå pkt. A eller B. SIDESKJERING kallar ein ei avvikande form for framskjering, avviket går ut på at ein i staden for å måle retningar (vinklar) i dei to gitte punkta, måler i eit gitt punkt og i nypunktet. Føresetnaden er at ein skal kome fram til ein figur som kan jamførast med framskjeringsfiguren, og metoden for utrekning er identisk. GRANNSEMDA VED FRAM- OG SIDESKJERING. Grannsemda til koordinatane på det ukjende punktet vert avgjort av: - Forma (geometrien) til trekanten som fastlegg punktet, eller meir presist, skjeringsvinkelen i nypunktet, og lengdene på sidene frå nypunktet til dei gitte punkta. - Grannsemda på observasjonane (vinkelmålingane) - Grannsemda til koordinatane i gittpunkta. For dei einskilde faktorane gjeld: - Feilen i punktfastlegginga vil vere proporsjonal med sidelengdene frå nypunktet når skjeringsvinkel og målegrannsemd er konstant. Det gjeld difor at sidelengdene ved framskjering vert haldne så korte som råd. - Den optimale skjeringsvinkelen i nypunktet er 123,6 g. Den gir det beste høvet mellom skjeringsvinkel og sidelengder. Skjeringsvinkelen bør vere så nær 120 g som råd, og vinklar utanfor intervallet g gir svært dårleg skjering, og dermed usikker fastlegging av koordinatane for nypunktet. - Feilen i punktfastlegginga er proporsjonal med medelfeilen på dei målte vinklane. Det tyder at di meir grannsamt ein måler vinklane di meir grannsamt vert nypunktet fastlagt. - Koordinatane til dei gitte punkta ser ein oftast på som feilfrie. Dette treng ikkje vere tilfelle, men ein har sjeldan høve til å kontrollere om koordinatane verkeleg er fri for feil.

7 TILBAKESKJERING Tilbakeskjering er ein metode for fastlegging av koordinatane til eit punkt ved vinkel- eller retningsmålingar i nypunktet til minst tre gitte punkt. I fig er A, B og C gitte punkt og α og β målte vinklar. Geometrisk er oppgåva å finne skjeringspunktet mellom to sirklar. Dette av di ein vinkel som skal spenne over ei korde (lik sida mellom to gitte punkt) vil ligge på ein sirkelperiferi som har radius gitt slik at sentralvinkelen som spenner over den same korda er dobbelt så stor. Sirklane kan konstruerast ved å reise midtnormalar på sidene AB og BC, og setje av vinklane 100-α i A og 100- β i B. Ein finn dermed sirkelsentra C1 og C2, som har sentralvinklar 2α og 2β som spenner over kordene AB og BC, og det søkte punktet P i skjeringa mellom sirklane. (fig. 12.6) Dersom dei to sirklane fell saman, er oppgåva ikkje mogeleg å løyse. Ein kallar denne sirkelen, som går gjennom dei tre gitte punkta, den farlege sirkelen. Dersom geometrien er slik at det vert to sirklar som nær fell saman, vert punktet dårleg fastlagt. For å få ei god løysing må nypunktet P ha ein viss avstand frå den farlege sirkelen. For å få kontroll på ei tilbakeskjering bør ein måle retning mot minst fire punkt - då kan ein rekne ut ei tilbakeskjering i fire ulike kombinasjonar. Med dei tilsikta punkta A,B,C og D kan ein rekne P frå kombinasjonane: A,B,C - A,B,D - A,C,D - B,C,D. Dersom alle målingar og koordinatar er feilfrie skal ein få same resultat av alle kombinasjonane, men i praksis vil det ikkje vere tilfellet. Ein bør difor vurdere geometrien til dei ulike kombinasjonane og nytte den geometrisk beste kombinasjonen dersom ein ikkje har tilgang til rekneprogram som kan nytte overskytande observasjonar til utjamning.

8 UTREKNING AV TILBAKESKJERING Det Collinske hjelpepunkt Denne metoden byggjer på at ein legg ein sirkel gjennom nypunktet P og dei ytre gittpunkta A og C -fig Ein lengjer lina PB til den skjer denne sirkelen og finn punktet Q - det Collinske hjelpepunktet. I trekanten ACQ kjenner ein vinklane <CAQ = β og <ACQ = α, desse er periferivinklar som spenner over same bogen som dei målte vinklane i P. Ein kan dermed finne Q ved framskjering frå A-C. Dermed kan ein og finne ϕ BQ, og denne er identisk med ϕ PB, etter som P ligg i lenginga av lina Q-B. Dermed kan retningsvinklane til P i ABP og BCP finnast, ein har: ϕ PA = ϕ PB - α ϕ PC = ϕ PB + β Dermed står det att å finne P ved framskjering, og ein reknar ut frå A og C då det gir den beste geometriske løysinga. Tilbakeskjeringa vert i denne metoden redusert til to framskjeringar, ei til Q, og ei til P. Ein einfeld reknekontroll kan ein få ved å rekne ut ϕ PB frå koordinatane og jamføre denne med den tidlegare utrekna ϕ BQ, desse skal vere identiske. Metoden med det Collinske hjelpepunktet gir eit direkte uttrykk for kor god den geometriske figuren ved tilbakeskjeringa er i form av avstanden BQ. Dersom denne avstanden er stor i høve til dei andre sidelengdene, vil P ligge i god avstand frå den fårlege sirkelen. DIREKTE METODE - etter Gleinsvik (frå P. Gleinsvik - Målelære II, NLH 1966)

9 Vinklane α og β er her målt i høve til utgangs-retninga P-A. Ein innfører eit hjelpekoordinatsystem X'Y' med origo i pkt. A, som er nullretning for retnings- (vinkel-) målingane i P. Aksane i hjelpesystemet er parallelle med dei i hovud-systemet. I hjelpeaksesystemet er: X' A = Y' A = 0, X' B = X B - X A Y' B = Y B -Y A osb. X' B og Y' B tilsvarar dermed x AB og y AB i hovudaksesystemet. Alle retningsvinklar er like i dei to systema. Ein kan uttrykkje dei observerte vinklane som ein differans av to retningsvinklar: α = ϕ PB - ϕ PA og β = ϕ PC - ϕ PA Ein tek tangens til dei to vinklane og nyttar uttrykket for tangens til ein differans av to vinklar: tgϕ PB - tgϕ PA tgϕ PC - tgϕ PA tg α = tg β = tgϕ PB tgϕ PA 1 + tgϕ PC tgϕ PA I desse likningane innfører ein verda frå hjelpeaksesystemet: Y' A - Y' P -Y' P Y' B - Y' P Y' C - Y' P tg ϕ PA = = tg ϕ PB = tg ϕ PC = X' A - X' P -X' P X' B - X' P X' C - X' P Ved å setje desse uttrykka inn i tangensuttrykka kan ein få eit likningssystem med berre X' P og Y' P som ukjende. Forenkla får likningane forma: X' P 2 + (Y' B ctgα - X' B ) X' P + Y' P 2 - (X' B ctgα + Y' B ) Y' P = 0 X' P 2 + (Y' C ctgβ - X' C ) X' P + Y' P 2 - (X' C ctgβ + Y' C ) Y' P = 0 Ein innfører uttrykka i parentesane som konstantar: a 1 = Y' B ctgα - X' B b 1 = - X' B ctgα - Y' B a 2 = Y' C ctgβ - X' C b 2 = - X' C ctgβ - Y' C Og løysinga for likningssystemet vert: a 1 b 2 - a 2 b 1 X' P = x AP = (b 1 - b 2 ) (a 1 - a 2 ) 2 + (b 1 - b 2 ) 2 a 1 b 2 - a 2 b 1 Y' P = x AP = (a 1 - a 2 ) (a 1 - a 2 ) 2 + (b 1 - b 2 ) 2 Denne metoden er kanskje den enklaste, særleg dersom ein nyttar ein kalkulator som har minne slik at dei ulike konstantane kan lagrast. Metoden er og nytta i skjemaet "beregning av tilbakeskjæring for P". jfr. fig VURDERING AV GRANNSEMDA VED TILBAKESKJERING Grannsemda til nypunktet sine koordinatar ved tilbakeskjering er liksom ved framskjering avhengig av både den geometriske figuren som fastlegg punktet, grannsemda til observasjonane og gittpunkta. Generelt gjeld at di kortare avstand det er mellom P og dei kjende punkta, di mindre feil vil det verte i P for dei same vinkelfeila. Det er og viktig at P ligg slik i høve til dei gitte punkta at det vert god avstand til den fårlege sirkelen. Ein kan og vurdere skjeringa mellom dei to sirklane synt i fig Skjeringsvinkelen mellom sirklane er eit direkte uttrykk for kor god geometrien i tilbake-skjeringa er. Dersom skjeringsvinkelen mellom dei to sirklane vert for liten vert P dårleg

10 fastlagt - det ideelle er om lag rett vinkel i skjeringa mellom sirklane. I fig er det synt fleire ulike tilbakeskjeringsfigurar. I tabell 12.1 er det stilt opp relative høve mellom grannsemda til ny-punktet for kombinasjonane, kombinasjon a) er sett lik 1. Figur a b c d e Punktmedelfeil 1,0 1,7 3,3 12,4 106,7 Tabell 12.1 Det er her gått ut frå at grannsemda på vinkelmålinga er den same for alle kombinasjonane. Vurdering av kombinasjonar ved tilbake-skjering er vanskeleg, og ein skal difor vere varsam med bruk av tilbakeskjering dersom eit viktig punkt skal målast inn, og ein ikkje er heilt sikker på at ein har ein god geometrisk figur. Eit alternativ er i tillegg til retningar å måle avstand til minst eit av dei gitte punkta. Dermed har ein sikra seg kontroll og overskytande målingar som kan nyttast til utjamning dersom ein har eit rekneprogram som kan utføre det.

11 PUNKTFASTLEGGINGAR MED AVSTANDSMÅLINGAR POLARMÅLINGAR Fastlegging av koordinatar til eit punkt ved polar innmåling er ei einfeld form for innmåling av punktet, og er i prinsippet den same som vert nytta ved tachymetrisk oppmåling. I fig er A og B gitte punkt, medan 1 er eit nypunkt som skal målast inn. Ein observerer vinkelen a og avstanden D A1 - desse vert kalla dei polare måla til 1. Det er naudsynt å gjere dei målingar som trengst for å redusere avstanden til horisontal avstand i høgd null. D - som er nytta er avstand i kartprojeksjonsplanet. Ein har: Gitt: (X,Y) A og (X,Y) B Målt: α og D A1 Søkt: (X,Y) 1 Ved at avstanden A-1 er gitt er ein av polarkoordinatane gitt, og ein treng finne retningsvinkelen ϕ A1. Frå gitte koordinatane reknar me: ϕ A1 = ϕ AB + α g X 1 = X A + D A1 cos ϕ A1 Y 1 = Y A + D A1 sin ϕ A1 Utrekning av koordinatane er såleis einfelt, men ei ulempe med denne metoden er at ein ikke får nokon rekne- eller målekontroll. Eit anna problem er at kartprojeksjonskorreksjonen ikkje kan påførast avstanden utan at koordinatane til endepunkta er kjent. Ein må difor gjere utrekninga to gonger, fyrst for å finne eit provisorisk y-verde for punkt 1, og med dette rekne ut korreksjon til kartplanet. Med dette korrigerte sideverdet kan endelege koordinatar reknast.

12 "FRAMSKJERING" MED AVSTANDAR - BOGESNITT Å kalle metoden framskjering er feil, men den byggjer på ein figur lik den som vert nytta ved framskjering. I staden for vinklar (retningar) vert det i staden målt avstandar mellom nypunktet og minst to gitte punkt. Figur illustrerer metoden. Ein har: Gitt: (X,Y) A og (X,Y) B Målt: D A og D B Søkt: (X,Y) 1 Ein startar utrekninga med å finne retningsvinkel og avstand for sida mellom dei gitte punkta. Deretter kan ein finne vinklane i trekanten etter som alle tre sidene er gitt. Ein nyttar cosinussetninga (den utvida Pytagoreiske) og har at: D A 2 + D AB 2 - D B 2 D B 2 = D A 2 + D AB 2-2 D A D AB cosα => α = arccos D A D AB Med den same setninga kan me finne dei andre vinklane i figuren: D 2 B + D 2 2 AB - D A D A β = arccos eller β = arcsin sin α 2 D B D AB D B Db 2 + D 2 2 A - D AB D AB γ = arccos eller γ = arcsin sin α 2 D A D B D B Kontroll på rekninga med vinkelsummen: α + β + γ = 200 g Ein må no rekne ut koordinatane til det ukjende punktet med ei framskjering. Denne målemetoden vert ofte kalla frioppstilling - i det ein kan stille opp i fri posisjon og knyte seg til gitte punkt. ANDRE PUNKTFASTLEGGINGAR MED AVSTANDAR Til fastlegging av to koordinatar til eit punkt trengst det to observasjonar. Det kan vere to vinklar, to avstandar eller ein vinkel og ein avstand. Berre fantasien set eigentleg grenser for korleis eit punkt kan målast inn. Ein bør og tenkje på korleis ein kan få fastlagt nypunkta med best mogeleg grannsemd. Når avstandsmålingar og retnings-/vinkelmålingar vert vurdert saman, skal ein ta omsyn til at uvissa ved retningsmålingar går på tvers av retninga, medan uvissa ved avstandsmålingar går langs retninga for den målte avstanden. Ein målt avstand fastlegg ein sirkel, og dersom ein måler to avstandar til eit punkt kan ein finne punktet som skjeringspunktet mellom to sirklar, men her kjem og skjeringsvinkelen mellom sirklane inn, den skal ikkje vere for liten eller stor då punktet ellers vert dårleg definert. Ein må og minnast at ved avstandsmåling må ein korrigere for kartprojeksjon på dei målte avstandane, og det krev kjende i det minste tilnærma Y-verde for endepunkta av avstanden. 12