øsningsfoslag eksamen H AST00 Aleksande Seland Decembe 6, 04 Oppgave Anta at en fjen stjene ha blitt obsevet ove et lengee tidsom (flee tusen å) og adien til stjena vise seg å væe konstant med tiden. Fokla med od (uten likninge, -3 setninge) hva dette fotelle oss om de fysiske foholdene inne i stjena. Sva: En konstant adius bety at det ikke skje noen stoe foandinge inne i stjenekjenen. Med ande od, vi ha hydostatisk likevekt ettesom tykket innenfa utjevne gavitasjonen innove + tykket ovenfa fo alle masselemente dm i stjena. Oppgave I denne oppgaven skal du beegne luminositeten til denne stjena som vi skal kalle stjene X (angi svaet i Watt). I tillegg til noen støelse bak, så få du følgende hjelp: Øvest i figu se du et bilde av stjene X tatt fa joda. Nedest i den samme figuen se du et bilde av den samme stjena tatt fa en omsonde som gå i bane undt Jupite. De to bildene ble tatt samtidig og de ble tatt på et tidspunkt da linja fa joda til Jupite e omtent vinkelett på linja fa joda til stjena (og Jupite til stjena). Avstanden mellom joda og Jupite på dette tidspunktet e 4 AU. Anta at stjene X e mye næmee oss enn alle de ande stjenene som du se på bildet. Stjena e en av de alle stekeste stjenene på himmelen. Du må også buke noen antakelse, spesifise hvilke.
Sva: Antakelse: Figue : Figu til oppgave En av de stekeste på himmelen vil si en tilsynelatende (appaent) magnitude. Kan buke paalakse siden vi anta at stjenene bak e mye lenge unna enn stjenen vi iakta. Demed e paallaksen fo disse mye minde enn fo stjenen vi se på, og vi kan se bot ifa dem. Unifom fluks fa stjena X.
Fomle: Fo små vinkle målt i adiane ha vi Videe ha vi at B d tan p dp d m M 5 log 0 0pc hvo m e tilsynelatende magnitude, M e absolutt magnitude og d e distansen. Til slutt tenge vi at F m m.5 log 0 F De m og m e magnitude sett fa ett og samme sted. tilsvaende fluksen obsevet på samme sted. F og F e den øsning: Desom vi anta unifom fluks, kan vi buke F 4 til å skive om siste fomel: /4 m m.5 log 0 /4 Idennefomelenem i magnituden obsevet i en gitt avstand i fa stjena, og dette vil da også væe adien i kuleskallet vi obsevee fluksen gjennom. Vi kan få desom vi velge å buke absolutte magnitude, da disse e definet som magnituden sett fa en avstand på 0pc. Velge vi å gjøe dette, så få vi at: M M.5 log 0 Videe e vi ute ette å edusee antall vaiable, så vi buke absolutt magnitude og luminositet fo sola, og sette defo M M og. Sette også M M X og X. X M X.5 log 0 + M 3
Da må finne ut hva M X e. Vi ha oppgitt stjenas tilsynelatende magnitude, samt nok info til å utføe paallaksebeegninge. B dp d B p hvo B AU og p 0.500 (se tegning). Fø vi kan buke fomelen, må vi gjøe om buesekundene til adiane: p 0.5 00 60 60 80 d AU 4 0.500 60 60 0.5 00 80 3600 80 3.3 0 6 AU pc 0665AU 3.3 0 6 AU 0665AU 5.99pc 6pc d 6pc Da ha vi at stjenas absolutte magnitude e gitt av d m X M X 5 log 0 0pc d M X m X 5 log 0 0pc 6pc 5 log 0 0pc 5 log 0 (.6) 0.0 Sette så dette inn i fomelen fo luminositet. M X.5 log 0 X 0.0.5 log 0 X + M +4.83 Isolee X X log 0 X 4.83 + 0.0.5 0.94 X 0.94 X 0.94 3.87 0 6 W 3.3 0 8 W 4
Altenativ løsning: /4 m m.5 log 0 /4 X m X m.5 log 0 m X m.5 X X log 0 X X X 0 (m X m )/(.5) X X 0(m X m )/(.5) X 3.87 0 6 W 3.3 06 AU 3.5 0 8 W (AU) 0 (+6.7)/(.5) Foskjell i svaene pga unøyaktighete i konstante bakest i boka. Buke man tilsynelatende magnitude på sola på 6.74, få man samme avundede sva f.eks. Jeg ha bukt paallakse fo å finne X og bukt AU svaet i den foige løsningen. Den offisielle fasiten buke 3.3 0 8 Wvideeiegninenesine,defogjø jeg det å fo å kvalitetssike egningen. Oppgave 3 I figu se du mottatt fluks fa stjena som funksjon av bølgelengde. Buk dette til å finne adien til stjena. Anta sot legeme. Hvis du ikke få til oppgaven buk soladien (som e feil sva) i ande oppgave hvo du tenge adien. Figue : Figu til oppgave 3 5
Sva: Antakelse: Sot legeme (gitt i teksten) Unifom fluks Fomle: Utegning: F T 4 maxt.9 0 3 mk F A uminositeten e den totale fluksen gjennom et kuleskall med adius. Desom vi legge dette kuleskallet på oveflaten til stjena få vi: Vi bytte ut F og få F 4 T 4 4 4 T 4 T.9 0 3 mk max ese av max fa gafen som 5nm 5 0 9 m. s T.9 0 3 mk 5 0 9 m 888.88K 900K 3.3 0 8 W 4 5.67 0 8 W/m K 4 (900K) 4.9 09 m.3 0 9 m itt spik fa offisielle fasiten, men jeg to det bae e snakk om en avundingsfeil. uminositeten e hentet fa foige oppgave, og svaet avundet bli det samme uavhengig av om man buke 3.3 elle 3.5 på luminositeten. Svaet desom man buke 3.5 bli.33 0 9 m.3 0 6 km. Oppgave 4 Anslå den totale massen til stjena. Anta hovedseiestjene. Hvis du ikke få til denne oppgaven skal du buke solmasse (som e feil sva) videe i oppgaven. 6
Sva: Antakelse: Hovedseiestjene (gitt i oppgaven) Anta at det e snakk om lav elle medium masse på hovedseien. Fomle: Fo hovedseiestjene med lav til medium masse ha vi: Utegning: / M 4 km 4 Vi tenge noen støelse vi kjenne fo å kvitte oss med k. Defovelgeviå buke vå kjæe sol siden dette e en stjene i samme masseklasse som vi anta at stjena vi se på e i. X km4 X km 4 X M 4 X M 4 s M X M 4 X 3.3 0 0 30 8 W kg 4 3.87 0 6 W 6 0 30 3M ande på samme sva uavhengig av om 3.3 elle 3.5 bukes i X. Oppgave 5 Anta at tettheten til stjena e den samme ovealt, og at stjena bestå av ideel gass. Anta i denne oppgaven (i senee oppgave skal du ikke buke denne antakelsen) at stjena bestå uteklukkende av hydogen. Buk infomasjonen fa oppgave til å vise at tempeatuen i sentum av stjena kan tilnæmes som T C m HGM kr de m H e hydogenmassen, M e massen til stjena og R e adien. Beegn også tallvedien fo tempeatuen i sentum av stjena. Hint: Du bø begynne med åfinneetuttykkfom(), den totale massen innenfo adien R fa sentum av stjena. Hvis du ikke få til denne oppgaven kan du buke T 7 0 6 Ki neste oppgave. 7
Sva: Antakelse: Unifom tetthet (oppgaveteksten) Ideell gass (oppgaveteksten) Utelukkende hydogen (oppgaveteksten) Hydostatisk likevekt (oppgave ) Hovedseiestjene (oppgave ) Fomle: Unifom tetthet: M V de M e den totale massen og V e det totale volumet. Hydostatisk likevekt: () d dt ()g() dp () d hvo g() G M() de P () e tykket i avstand, () e tettheteten i avstand og g() e gavitasjonelle akselleasjonen inn mot kjenen i avstand. Denne e bestemt av hvo mye masse som e innenfo en gitt adius. Degavitasjonellevikningene fa massen ove tas ikke med i betaktningen. Dette fodi all masse utenfo en avstand e fodelt i et kuleskall, og det kan vises at alle gavitasjonelle kefte fa dette kuleskallet, desom vi befinne oss innenfo, nulles ut. Ideell gass: P kt µm H de e tettheten, k e en konstant, T e tempeatu, µ e den midlee atommassen målt i m H.ogm H e hydogenmassen. Utegning: Siden vi ha unifom tetthet ha vi at M() V () de M() og V () e masse og volum i en kule med adius inne i stjena. Vi få M() V () 4 3 3 8
Videe ha vi hydostatisk likevekt, og siden alle elemente i stjena e i o, skje det ingen akselleasjon i noen etning og d dt 0.Vifåat dp () d ()g() Vi huske at vi ha unifom tetthet samt ideell gass, og få demed at dp () d d kt d µm H k dt µm H d G M() G 4 3 3 4 3 G Hvo jeg ha bukt på venste siden at det kun e tempeatuen som vaiee med adius. Til slutt få vi at dt d dt 4G µm H 3k 4G µm H d 3k Vi integee opp fa kjenen og ut til kanten av stjena. Anta at tempeatuen på oveflaten e 0 ifoholdtiltempeatuenikjenen. ˆ 0 T C dt T C 4G µm H 3k 4G µm H 3k ˆ R 0 d R Fo mange symbole, må kunne skive om en av disse. Jeg se i sluttfomelen at jeg skal ha M med, som e den totale massen. Jeg vet at M V M 4 3 R3 hvo jeg ha bukt den totale massen og hele adien til stjena. Dette kan jeg gjøe siden det e unifom tetthet. Sette jeg dette inn i uttykket ove lande jeg på T C GMµm H kr Til slutt obsevee jeg at µ siden vi bae ha hydogen (midlee atomvekt iantallm H ). Vi få T C m HGM kr Tilnæmet lik fodi vi gjode en foenkling i gensene i tempeatuintegalet. Q.E.D 9
Tallvedien til T C e: T C.676 0 7 6.673 0 6 0 30.38 0 3.3 0 9 (K) 8.6 0 6 K Svaet i fasiten e 0. 0 6 K, og det få man desom man buke. istedet fo.3 på adien. Oppgave 6 Gjø beegninge fo å anslå hvilken kjeneeaksjon som e domineende helt i sentum av stjena ved å buke svaet fa foegående oppgave. Du kan anta at stjena e foholdsvis nydannet og buke dette til å gjøe tilnæmelse. Anta at i univeset geneelt så bestå gass-skye nomalt av omtent 75% hydogen og 4% helium og i middel omking % av de tynge gunnstoffene. Fo å svae på oppgaven bø du beegne omtentlig enegipoduksjon fa to mulige kjeneeaksjone og sammenlikne hvilken som e støst. Sva: Antakelse: Nydannet stjene, ingediense: 75% hydogen, 5% helium % tynge gunnstoffe Hydogenfusjon og CNO-syklus. Fomle: Hydogenfusjon: CNO-syklus " pp " 0,pp X H T 4 6 hvo " 0,pp.08 0 Wm 3 /kg " CNO " 0,CNO X H X CNO T 0 6 hvo " 0,CNO 8.4 0 3 Wm 3 /kg hvo X H e andelen hydogen i stjenen som desimal, X CNO e andelen tynge gunnstoff i desimal og T 6 e tempeatuen i antall millione Kelvin. " 0 e en konstant som ta med blant annet effekten fa en enkelteaksjon. Vi huske fa tidligee at M V 6 0 30 kg 4 3 (.3 09 m) 3 0
Utegning: Vi foeta de to utegningene som det bli bedt om: " pp " 0,pp XH T 6 4.08 0 0.75 6 0 30 4 3 (.3 09 ) 3 8.64 5 0 5 W/kg " CNO " 0,CNO X H X CNO T6 0 8.4 0 3 6 0 30 0.75 0.0 4 3 (.3 09 ) 3 8.60 (W/kg) 0 4 W/kg CNO dominee! Svaene i offisielle fasiten oppnås ved å buke T 6 0. og R. 0 9,menkonklusjonenedensamme. Oppgave 7 Anta at det i en eksplosjon på oveflaten av stjena bli sendt ut en gassklump med masse 0 4 kg med hastighet 300 km/s ett opp fa oveflaten til stjena. Vi skal nå egne elativistisk fo å skje hva som skje med gassklumpen. I elativitetsteoien pleie vi å egne både tide, lengde og masse i mete siden det gjø at vi demed kan sette G og c. Beegn massen til stjena, samt hastigheten til gassklumpen ved å buke disse enhetene. Sva: Antakelse: Ingen spesielle Fomle: Enhetskonveteing: M m M kg G c De M m e massen i mete, M kg e massen i kg, G e gavitasjonskonstanten, og c e lysfaten. Utegning: Vi se at M m G c M kg
altså få vi: M X G c 6 0 30 6.673 0 (3.00 0 8 ) 4448.66 4449m Svaet i offisielle fasiten e 4447, antatastefeilhvo6.673hablittbyttetut med 6.67. Videe gjø vi faten dimensjonsløs ved å sette ny hastighet til Oppgave 8 v dimensjonsl/os v c 3 05 m/s 3 0 8 m/s 0 3 0.00 Ta hensyn til elativitetsteoien både fo gavitasjonsfelt og hastighet. Hvo langt ut fa oveflaten av stjena komme denne gassklumpen fø den falle ned igjen? Angi svaet i kilomete. Sva: Antakelse: Enegien e bevat En skallobsevatø obsevee gassklumpen innen et veldig kot tidsom, slik at obsevatøen oppleve et lokalt inetialsystem og kan opeee med spesiell elativitetsteoi. Ingen påvikning i Fomle: Enegi pe masse: etning. E m dt d de E e enegi, m e masse, M e den totale massen til objektet som kuve ommet. e avstanden fa massesenteet slik langtvekk-obsevatøen se den. oentz faktoen (kun fo spesiell elativitetsteoi): d dt () Tidsfoskjell mellom langt-vekk og skjell: t dt d t shell q
Utegning: Vi e ute ette maksimale avstanden fa stjena gassen nå. Med ande od, vi e ute ette adien til kuleskallet de gassen stoppe opp. Desvee vet vi ikke noe me om denne avstanden enn at faten e 0 i adiell etning i dette punktet. Vi må defo få inn skallobsevatøene inn i uttykket fo enegi fo i det hele tatt å kunne finne ut nå hastigheten e 0. E m dt d dt sh dt sh dt dt sh dt sh d Nå buke vi at fo et kot tidsom dt oppleve skallobsevatøene et lokalt inetialsystem, demed ha vi at dt sh /d / p vsh fo skallobsevatøene. Videe ha vi fa tidsfoskjell fomelen at dt/dt sh / p /. Sette vi dette inn i uttykket få vi: E m q p v sh E m E m q p v sh s v sh 3
Videe sette vi opp to skall, et ved oveflaten de faten e den vi egnet ut tidligee: v sh 0.00 og ett de gassen ha v 0.Videmedat: E E m oveflate m høyeste punkt s R voveflate max R v oveflate max max max! R voveflate! R voveflate 4449 4449 (m).3 0 9 0.00.5 0 9 m.5 0 6 km Svaet i fasiten oppnås ved å buke. istedet fo.3 fo R. Detatjegbuke 4449 istedet fo 4447 ha ikke noe stot utslag. Avstanden ove stjeneoveflaten vil da væe max R.5 0 6 km.3 0 6 km 0. 0 6 km Altså ca 00000km ove stjeneoveflaten. Oppgave 9 Ette en stund vil stjena folate hovedseien ( main sequence ). Fokla stjenas ovegang fa hovedseie til å bli sub giant, ta med: hva som e åsaken til at stjena folate hovedseien, hvodan stjena ende seg (tempeatu, luminositet, fohold i kjenen) og hvilke fysiske posesse som e åsaken til at stjena ende seg på denne måten. Buk maksimalt omking en halv til en side (avhengig av skiftstøelse). Sva: En stjene folate hovedseien nå hydogenet i kjenen e bukt opp. Kjeneeaksjonene, og demed enegipoduksjonen i sentum, slutte, demed falle tykket som ha oppettholdt hydostatisk likevekt. I sentum av stjena vinne gavitasjon, og stjena tekke seg sammen med den konsekvens at den vames kaftig 4
opp. Stålingen fa oppvamingen vame opp hydogengassen på utsiden av kjenen, og vi få hydogenfusjon i et skall på utsiden av kjenen. Enegipoduksjonen foegå nå i et støe volum enn fø, og demed øke nå luminositeten. Men stålingen fa dette skallet få stjena til å utvide seg. Demed bli oveflaten støe, og oveflatetempeatuen må gå ned siden enegien fodeles ove en støe oveflate. Oppgave 0 Vi skal nå studee den såkalte stjenevinden som e patikle som kontinuelig lekke ut fa oveflaten til stjena og føe til massetap. Vi skal buke en svæt foenklet modell. Skiv et datapogam (pseudo-kode) som simulee gass i en boks med sidelengde som e plasset helt på oveflaten av stjena. Anta at tettheten av gassen e gitt ved vaiabelen ho, tempeatuen e gitt ved vaiabelen T. Anta også ideel gass, at gassen e en hydogengass og at det e vakum ett på utsiden av oveflaten til stjena. Den ene siden av boksen epesentee oveflaten slik at hele boksen e inne i stjena mens det e vakum ett på utsiden av den siden av boksen som epesentee oveflaten. Skiv koden slik at den beegne det totale tapet av masse (i kg) pe sekund fa stjena, anta at massetapet e det samme ove hele oveflaten til stjena. Du kan stuktuee koden slik: (a) Beegn antall patikle i boksen. (b) Genee posisjonen til patiklene i boksen med en unifom sannsynlighetsfodeling. (c) Genee gasspatiklene i boksen med tilfeldige hastighete tukket fa en Gaussisk sannsynlighetsfodeling: de P (~v )P (v x )P (v y )P (v z ) P (v x ) ( ) (v e x )/( ) / de v x [, ] og tilsvaende fo v y og v z. P (v x ) e sannsynligheten fo at patikkelen ha en hastighet v x og tilsvaende fo P (v y ) og P (v z ). He må du buke Maxwell-Boltzmann fodelingsfunksjonen bak. (d) Buk så hvodan disse patiklene vil bevege seg i løpet av et kot tidsom deltat til å finne massetapet fa boksen pe tid. (e) Buk så massetapet fa boksen til å beegne massetapet fa stjena pe tid. Anta at det alleede e definet en funksjon Unifom(x) som tekke tilfeldige tall mellom 0 og x fa en unifom fodeling og en funksjon Nom(x,sigma) som tekke et tilfeldig tall fa en Gaussisk fodeling med middelvedi x og standad avvik. Mek: Nå du buke disse to funksjonene, så må du spesifisee hva vediene fo x og sigma e elle hvodan du beegne dem. 5
Sva: Vi buke Maxwell-Boltzman funksjonen fo å finne sigma i koden: P (~v )n nom (~v ) Da ha vi at m 3/ e mv /(kt ) kt m kt m kt m P (v x ) kt e mv og tilsvaende fo P (v y ) og P (v z ).Vihadaat 3 e m(v x +v y +v z )/(kt ) 3 e mv x /(kt ) e mv y /(kt ) e mv z /(kt ) m kt kt m kt m x /(kt ) Dette stemme oveens med begge stede sigma dukke opp og vi kan skive at P (v x ) p e v x /( ) Kode: ho T m k N ho/m*^3 sigma sqt(kt/m) pos aay(n,3) vel aay(n,3) %tetthet %tempeatu %lengde av boks %Hydogenmassen %Boltzmannkonstanten %Antall patikle i boks %Standadavviket i fodelingen %(x,y,z)-posisjone til patikle %(v_x,v_y,v_z)-hastighete til patikle fo i,n pos(i,0) Unifom() pos(i,) Unifom() pos(i,) Unifom() vel(i,0) Nom(0,sigma) %økke ove patikle %Tilfeldig x i boksen %Tilfeldig y i boksen %Tilfeldig z i boksen %Tilfeldig v_x 6
vel(i,) Nom(0,sigma) vel(i,) Nom(0,sigma) endfo %Tilfeldig v_y %Tilfeldig v_z %Definee oveflaten som planet x 0 deltat tot 0 %kot tidspeiode %antall patikle som slippe ut fo i,n %løkke ove patikle IF pos(i,0) < abs(vel(i,0)*deltat) AND vel(i,0)<0 THEN tot tot+ ENDIF endfo R %Stjeneadius dmdt tot*m*4*pi*r/^/deltat %massetap pe boks pe tid IF testen kan fostås ved at vi sjekke om avstanden fa planet x 0e minde enn det patiklen bevege seg iløpet av en peiode deltat. I tillegg sjekke vi om hastigheten e negativ, dvs, om den e på vei ut av stjena. 7