Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. Høgskole i Gjøvik Avdelig for igeiørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 2 I løpet av uke blir løsigsforslag lagt ut på emeside http://www.hig.o/toel/allmefag/emesider/rea2 Bestemt itegrasjo. Oppgave Reg ut følgede bestemte itegraler: a) 2 3x 2 +2x +dx b) 3 x 3 dx c) x dx d) π/2 si(t) dt e) dx f) +x2 /3 /6 9x 2 dx Oppgave 2 Fi arealee av områdee i plaet med følgede avgresiger: a) x akse, kurve gitt ved likige y =cos(x), melom x =ogx = π/2. b) x akse, kurve gitt ved y =si(x), mellom x =ogx =2π. Obs.: Arealet er ikke. Teg figur. c ) Kurvee gitt ved y = x 2 +2x ogy = 3x 2. d ) Kurvee gitt ved y = x 2 og y = x. Oppgave 3 a ) Reg ut itegralet b ) x 3 dx. Hvorda kue du ut fra et geometrisk resoemet forutsett dette resultatet. (Hit: Hva slags symmetri har grafe til f(x) =x 3.) Reg ut itegralee x dx og x dx. Hvorda kue du ut fra et geometrisk resoemet lett ha fuet det siste itegralet år du hadde reget ut det første?(hit: Hva slags symmetri har grafe til f(x) =x.)
2 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. Oppgave I dee oppgave skal dere fie tilærmigsverdi for +x dx 2 ved hjelp av Riemasummer. Det er aturlig å bruke kalkulator på dee oppgave, me hvis kalkulatore har ferdig fuksjo for årege ut dette itegralet som tilærmet desimaltall skal dee ikke brukes. a) La f(x) = +x.fif (x), og vis at f er avtagede på itervallet x. 2 b ) Del itervallet x opp i 5 like deler. Hva er x verdiee der f(x) harsittmiimumpå hvert ekelt itervall? Hva er x verdiee der f(x) harsittmaksimumpå hvert ekelt itervall? Hva er x verdiee i midtpuktet hvert ekelt itervall? Hva er bredde på hvert ekelt itervall? c) Reg ut udersumme 5 s 5 = f(x i )Δx i, i= der f(x i ) er miimumsverdie i hver av de 5 itervallee, mes Δx i er bredde på itervallee. Reg også utoversumme 5 S 5 = f(x i )Δx i, i= der f(x i ) er maksimumsverdie i hver av de 5 itervallee, mes Δx i er bredde på itervallee. Hva ka du (med sikkerhet) si om verdie på f(x) dx ut fra det du har reget ut så lagt? d) Reg så ut Riemasumme R 5 = f(x i )Δx i, e ) i= der du skal velge x i som midtpuktet i hvert av delitervallee. Dette er e tilærmigsverdi (oftest bedre e s 5 og S 5 )for f(x) dx. (Dee deloppgave ka droppes.) Hvis du behersker litt programmerig, f.eks. på kalkulatore eller i passede dataprogram (f.eks. Excel eller Maple) er det fort gjort å rege ut R 5. Gjør dette for å fie e bedre tilærmigsverdi for f(x) dx. Kommetar: I oppgave e reget du ut at dx = π. Detsomergjorthererdermed +x2 å rege ut e tilærmigsverdi for π. Meddesimalererπ 3.5926536. Når π skal reges ut, i tidligere tider for håd, me å som ege dataprogrammer, brukes tekikker som er variater (forbedriger) av dette eksemplet.
Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. 3 Oppgave 5 Fi - ute bruk av elektroiske hjelpemidler - e tilærmigsverdi for summe i= Hit: Riemasum ( ) ( ) ( ) ( ) i /2 3 9 π si π = π si 2 π + π si 2 π + + π si 2 π Oppgave 6 - Gjeomsitt Dee oppgave viser det første eksemplet på hvorda vi resoerer via Riemasum for åetablereeformel med itegral. I avedelser har slike modelleriger stor praktisk ytte. Gjeomsittsverdie y for tall y,y 2,...,y er vel kjet fra før? De er y = y + y 2 + + y = y + y 2 + + y = Herskalvisepågjeomsittsverdie (middelverdie) av e fuksjo y = f(x) overetitervall. For eksempel ka du teke på temperature i et målepukt som varierer som fuksjo av tide, og vi er iteressert i gjeomsittstemperature et døg. De ka for eksempel se ut som i figure til høyre: E mulighet er åmåle temperature med jeve mellomro, f.eks kl., 3, 5,...,23, som idikert på figure 2 og bruke gjeomsittet av disse måleverdiee som tilærmet tall for gjeomsittstemperature dette y døget. Vi skal å imidlertid teke oss kotiuerlige måliger, og at vi får tak på dee fuksjoe. Vi ka teke oss dette som at vi måler med stadig tettere mellomrom, og får dermed et øyaktigere og 8 6 2 øyaktigere aslag av gjeomsittstemperature i dette døget. 2 6 8 2 6 8 2 22 2 Gjeomsittstemperature målt på dee måte er dermed x y = f(x i ) i= der x i er måletidspuktee. Dette liker på e Riemasum, me er ikke helt riktig form da itervallbredde (tidsrommet mellom måligee), Δx i,ikkeer. De er derimot Δx i = b a,derb a er bredde på itervallet (i dette eksemplet 2 timer). Vi skriver derfor om summe litt for åfåi dette: y = i= f(x i ) b a b a = i= f(x i ) b a b a = b a l i= y i f(x i )Δx i der vi i siste omformig har satt de felles faktore /(b a) utefor summe, og erstattet b a med Δx i.nå er summe e Riemasum. Ved åla,sompåemåte blir åmåle uedelig mage gager, får vi på de ee side det som det er aturlig å defiere som gjeomsittsverdie av fuksjoe (temperature), og på de adre side per defiisjo blir det et itegral. i=
Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. a ) b ) Fullfør resoemetet, det vil si sett opp y, gjeomsittet av fuksjoe y, som e formel med et itegral. Reg ut gjeomsittstemperature et døg da temperature hadde fuksjo gitt ved ( π ) f(t) = 3cos 2 t.5 (som er de fuksjoe som er i figure). 5..9, Has Petter Horæs
Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. 5 Fasit, Bestemt itegrasjo. Oppgave a) b) c) d) 3 [ x 3 + x 2 + x ] 2 =(23 +2 2 +2) ( 3 + 2 +)= x 3 dx = [ ] 3 [ ] 3 2 x 2 = 2x 2 = 8 =8/8 = /9 2 [ ] x /2 dx = 2x /2 =2 2 =2 [ cos(t)] π/2 = cos(π/2) ( cos()) = += e) +x 2 dx =[arcta(x)] = (arcta() arcta()) Side ta(π/) = er arcta() = π/. Side ta() = er arcta() =, så ( π ) +x 2 dx = = π f) Viharat u 2 du =arcsi(u). Ved å erstatte u med 3x og bruke formele f(ax)dx = a F (ax) som ble etablert på forrige oppgavesett, fier vi følgede elemetære fuksjo: /3 /6 F (x) = 3 arcsi(3x) [ ] /3 dx = 9x 2 3 arcsi(3x) = /6 3 arcsi () ( ) 3 arcsi 2 Side si(π/2) = er arcsi() = π/2. Side si(π/6) = /2 erarcsi(/2) = π/6, så Oppgave 2 a) π/2 /3 /6 dx = 9x 2 3 π 2 3 π 6 = 3π π 8 cos(x) dx =[si(x)] π/2 =si(π/2) si() = = b) For x π er y, mes y forπ x 2π. Arealet er itegralet av absoluttverdie: A =[ si(x) ] x 2π =[si(x)] x π +[ si(x)]π x 2π =[ cos(x)] π [ cos(x)]2π π = π 9 =( cos(π) + cos() + cos(2π) cos(π)) =( ( ) + + ( )) =
6 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. c) x koordiate til skjærigspuktee fie ved likige x 2 +2x = 3x 2 x 2 + 2x 2= 2x 2 + x =. Dee har røtter ± 2 2 ( ) = ± 3,detvilsiforx = ogx =/2. Dette 2 2 blir itegrasjosgreesee, og i dette området er 3x 2 størst: A = /2 ( 3x 2 ) (x 2 +2x ) dx = [ ] /2 3 x3 x 2 +2x /2 x 2 2x +2)dx = = 3 8 + 3 ++2= 9 d ) Skjærig: x 2 = x, som kvadrert git x = x x x = x(x 3 ) =, med reelle røtter x =ogx =, som også passer i de opprielige likige. For x er x x 2,så Oppgave 3 a) b) A = ( 2 3 3/2 3 3 x 3 dx = [ 2 x /2 x 2 dx = 3 x3/2 3 x3 ) ( 2 3 3/2 ) 3 3 ] = x = 2 3 3 += 3 [ ] x = ( ) = = Grafe til f(x) er symmetrisk om origo, side f( x) =( x) 3 = x 3 = f(x). Det betyr at de dele som ligger til vestre for y akse har samme fasog, og dermed areal, me motsatt forteg av de dele som ligger til høyre for y akse. Disse uller derfor ut hveradre. [ ] x dx = 5 x5 = 5 5 5 5 = 5 = 5 [ ] x dx = 5 x5 = 5 5 5 ( )5 = 5 5 = 2 5 Grafe til f(x) er symmetrisk om y akse, side f( x) =( x) = x = f(x). Det betyr at de dele som ligger til vestre for y er lik de som ligger til høyre for y akse, bortsett fra at de er speilvete. Dermed har de samme areal, og arealet over hele området er det dobbelte av arealet over halvparte. Oppgave a ) Kjereregele, med ytre fuksjo f(u) = /u = u.daerf (u) = u 2 = /u 2. Kjere er u(x) =+x 2, med derivert u (x) =2x: f (x) = u 2 2x = 8x ( + x 2 ) 2 Nevere er alltid positiv, og tellere 8x forx slik at f (x) forx, og da sepsielt for <x<. Da f (x) er fuksjoe avtagede.
Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. 7 b ) c) Side fuksjoe er avtagede er miimumsverdie i høyre edepukt av delitervallee. Det vil si x =.2, x 2 =., x 3 =.6, x =.8 ogx 5 =. Av samme gru er maksimumsverdiee i vestre edepukt: x =,x 2 =.2, x 3 =., x =.6 ogx 5 =.8. Midtpuktee er x =., x 2 =.3, x 3 =.5, x =.7 ogx 5 =.9. Itervallbreddee Δx i =.2 for alle i. s 5 = +.2 2.2+ +. 2.2+ +.6 2.2+ +.8 2.2+.2 =2.93 +2 S 5 = + 2.2+ +.2 2.2+ +. 2.2+ +.6 2.2+.2 =3.3 +.82 Vi veit dermed sikkert at 2.93 < dx < 3.3 +x2 d) R 5 = +. 2.2+ +.3 2.2+ +.5 2.2+ +.7 2.2+.2 =3.5 +.92 Som du ser er dette e mye bedre tilærmig til π e s 5 og S 5. e) R 5 =3.63, som er korrekt tilærmig til π med desimaler. Oppgave 5 Ved å dele i itervallet fra til π i like store deler, blir midtpuktet av disse puktee på forme i /2 π,medi {, 2, 3,...,}. Vi ka derfor dae e Riemasum for π si(x) dx ved åvelgeδx i = π og x i ee som over. Riemasumme er da tilærmet lik itegralet, og vi har π ( ) i /2 si(x) dx si π π i= Vi har at π si(x) dx =[ cos(x)]π =2.Vedå multiplisere hvert ledd i summe, og dermed hele summe, med er Riemasumme de summe det spørres etter. Multipliserer derfor begge sider med og får π si(x) dx i= ( ) i /2 π si π i= ( ) i /2 π si π 2 Kommetar: Utregig av summe i Maple gir svaret 2.8288
8 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. Oppgave 6 a) Når vi har Riemasumme er det bare å bytte ut summeteget med itegrasjo over itervallet, x i med x og Δx i med dx så har vi itegrajosformele: b a i= f(x i )Δx i b a b a f(x) dx def = y b) y = 2 2 ( π ) 3cos 2 t.5 dt = 2 [ t 3 π/2 si ( π 2 t.5 )] 2 der vi har brukt formele cos(at + b) dt = a si(at + b) på det siste leddet. Setter i gresee og får y = (( 2 36 ( π )) ( 2 π si 2.5 36 ( π ))) 2 π si.5 2 = 2 ( 2 36 ) (si(2π.5) si(.5)) π Det ser kaskje ut som du treger kalulator, me merk at argumetee til de to siusleddee er like bortsett fra at første leddet er 2π, altså e periode, mer e i det adre. Dermed er de to siusee like, og ulles ut, så y = 2 = 2 Kommetarer: Fuksjoe i eksemplet sviger øyaktig like mye over grader på dagtid som de sviger uder på attetid dette døget, så derfor er gjeomsittstemperature øyaktig grader. Has Petter Horæs