Oppgavesett med fasit

TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1

INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging.................................. 3 1.2 Hvordan lære matte................................... 3 2 Regnerekkefølge 4 2.1 Notater........................................... 4 2.2 Oppgaver.......................................... 4 3 Brøk, prosent, desimaltall 5 3.1 Notater........................................... 5 3.2 Oppgaver.......................................... 5 4 Likninger med en ukjent 6 4.1 Notater........................................... 6 4.2 Oppgaver.......................................... 6 5 Lineære funksjoner 7 5.1 Notater........................................... 7 5.2 Oppgaver.......................................... 7 6 Likningssett med to ukjente 8 6.1 Notater........................................... 8 6.2 Oppgaver.......................................... 8 7 Forenkling av uttrykk I 9 7.1 Notater........................................... 9 7.2 Oppgaver.......................................... 9 8 Forenkling av uttrykk II 10 8.1 Notater........................................... 10 8.2 Oppgaver.......................................... 10 9 Fasit 11 9.1 Fasit - Regnerekkefølge.................................. 11 9.2 Fasit - Brøk, prosent, desimaltall............................ 11 9.3 Fasit - Likninger med en ukjent............................. 11 9.4 Fasit - Lineære funksjoner................................ 12 9.5 Fasit - Likningssett med to ukjente........................... 12 9.6 Fasit - Forenkling av uttrykk I.............................. 13 9.7 Fasit - Forenkling av uttrykk II............................. 13 2

1 OM DETTE DOKUMENTET 1.1 FORMÅL OG OPPBYGGING Dette er en oppgavesamling med oppgaver til 10. klassinger, som jeg har laget i forbindelse med Ent3r-prosjektet. Her vil du finne treningsoppgaver med fasit. Jeg har prøvd å basere oppgavene på deler av pensum som dere vil møte igjen på videregående skole. Det er for det meste algebraoppgaver i heftet, jeg anbefaler at dere har god kontroll på oppgavene i boka før dere jobber med disse oppgavene. Jeg har prøvd å sortere temaene på en logisk måte, og oppgavene med stigende vanskelighetsgrad. 1.2 HVORDAN LÆRE MATTE 1. Sett av god tid til å jobbe med matte 2. Prøv å forstå oppgavene godt. Les tekstoppgavene flerne ganger, lag tegning. 3. Tenk over hvordan du har tenkt å komme frem til svaret 4. Skriv ryddig og pent, bruk gjerne stor plass på arket 5. Husk at det tar tid å lære matte, forståelse og oppgaveløsning er helt nødvendig. 3

2 REGNEREKKEFØLGE 2.1 NOTATER 1. Alltid paranteser først. 2. Deretter eksponenter. 3. Multiplikasjon, divisjon. 4. Addisjon, subtraksjon. 5. Jobb fra venstre mot høyre. Det kan være nyttig å huske dette som PEMDAS - Parantes, Eksponenter, Multiplikasjon/Divisjon, Addisjon/Subtraksjon. 2.2 OPPGAVER 1. a) 15 3 + 5 = b) 36 12 4 + 2 = c) 7 3 + 8 = 2. a) ( 1) 5 = b) ( 2) ( 3) = c) ( 2) ( 2) (1) = 3. a) 2 ( 2) 5 = b) 2 (3 5) = c) 5 (3 4) = 4. a) 3 (2 + 2) = b) 3 (3 + 2) = c) 2 (5 7) = 5. a) 2 (4 + 6) + 3 (3 6) = b) 2 ( 4 3) 5 (2 4) = 6. a) 2 2 2 ( 3 + 5) = b) 3 2 (2 3) + 2 3 5 = 4

3 BRØK, PROSENT, DESIMALTALL 3.1 NOTATER Når du regner med brøk, finnes det 4 hovedregler. Bortsett fra disse reglene bruker man regler om regnerekkefølge. Du må huske at: 1. Addisjon (pluss) - finn fellesnevner, adder tellerene. 2. Subtraksjon (minus) - finn fellesnevner, subtraher tellerene. 3. Multiplikasjon (gange) - gang teller med teller, og nevner med nevner. 4. Divisjon (deling) - snu den siste brøken, og multipliser. (Hvorfor?) Det finnes en sammenheng mellom brøk, prosent og desimaltall. Her er noen eksempler: 80% = 0,8 = 8 10 = 4 5 45% = 0,45 = 9 20 3.2 OPPGAVER 1. a) 1 2 + 1 2 = b) 1 4 + 2 16 = c) 2 5 + 1 3 = 2. a) 5 8 2 4 = b) 3 5 7 10 = c) 3 2 7 3 = 3. a) 1 2 2 = b) 2 3 1 4 = c) 1 π π = 4. a) 4 7 : 1 2 = b) 3 4 : 4 3 = c) 2 3 : 1 4 = 5. a) 1 2 ( 3 4 + 3 2 ) = b) 2 3 ( 10 5 1 2 ) = 6. Uttrykk tallene som brøk, prosent og desimaltall. a) 1 2 b) 1 4 c) 1 5 d) 0,33 e) 90% f) 1,75 g) 45% h) 1,1 i) 135% 5

4 LIKNINGER MED EN UKJENT 4.1 NOTATER En likning med en ukjent har en variabel, ofte kalt x. x er et ukjent tall, og vi løser likningen for å finne hvilket tall x representerer. Det ukjente tallet kan også kalles y, z, osv. Det har ikke noe å si hva vi kaller den ukjente. For å finne den ukjente, må vi: 1. Få den ukjente alene på en side av likningen. 2. Vi har lov til å gjøre samme operasjoner på hver side av likningen: a) Vi kan legge til tall og trekke fra tall på begge sider. b) Vi kan multiplisere og dele på begge sider. Her er et vanskelig eksempel: 8 + (5 x) 8 6 = 5 2 + 2 3 8 + 40 8x 6 = 10 + 8 8x = 10 + 8 + 6 8 40 8x = 24 x = 24 8 = 3 4.2 OPPGAVER 1. a) x = 13 6 b) 15 = y 3 c) 24 = 3 + x 8 2. a) z = 3 7 b) 30 = 6 y c) 56 = 2 3 x 3. a) 30 = 2 (10 + x) b) 20 = (y 5) 5 c) 36 = 6 (7 x) 4. a) 8 x = 2 b) y 4 = 7 c) 2 x = 6 2 : 6 4 5. a) 17 = (( 5) x) 3 b) 30 = x 2 + 5 c) 3y = 24 5y 6

5 LINEÆRE FUNKSJONER 5.1 NOTATER Det finnes mange typer funksjoner: eksponensielle, trigonometriske, logaritmiske, osv. Den beste måten å lære funksjoner på er å begynne med lineære funksjoner, disse er alltid på formen: y = Ax + B Der A og B er tall, og y og x er variabler. Når man tegner en lineær funksjon, vil den alltid se ut som en rett linje. A er stigningstaller, og B er krysningspunktet med y-aksen. Vi kan bruke lineære funksjoner til å modellere enkle problemstillinger. 5.2 OPPGAVER 1. Tegn funksjonen y = x + 2. Hva er y når x = 5? Løs grafisk og ved regning. 2. Tegn funksjonen y = 2x 4. Hva er X når y = 10? Løs grafisk og ved regning. 3. Tegn funksjonen y = 1 2 x 2. Hva er y når x = 12? Løs grafisk og ved regning. 4. Registrering i en ungdomsklubb koster 200kr, pluss 50kr per måned. Lag en funksjon som viser total kostnad, som en funksjon av måneder. (Hint= y er total kostnad, x er måneder) 5. En energiavtale koster 50 kroner å tegne, pluss 25 øre per kilowattime (kwh). Hva er total kostnad, som funksjon av kwh? Hva er total pris om man tegner avtalen, og bruker 200 kwh? 6. Ungdomsklubben i oppgave 4. bestemmer seg for å tilby 2 typer medlemskap: a) Registrering for 200 kroner, pluss 50 kroner per måned b) Gratis registrering, men 60 kroner per måned Du har tenkt å være medlem i 1 år, hva er billigst da? Hva er billigst om du har tenkt å være medlem i 2 år? 7. Tegn en rettvinklet trekant. Tenkt deg at det ene katetet er lik 5cm, og at det andre katetet kan endre lengde. Da vil også hypotenusen endre lengde. Kall hypotenusen for y, det fastsatte katetet for 5 og det siste katetet for x. Lag en funksjon som viser endring i y som funksjon av endring i x. Er funksjonen lineær? 7

6 LIKNINGSSETT MED TO UKJENTE 6.1 NOTATER For å kunne løse et matematisk problem trenger man like mange likninger og ukjente. Har man 2 ukjente verdier i en likning, kan denne ikke løses (men forholdene mellom de ukjente kan representeres som en funksjon). Har man derimot 2 ukjente verdier og 2 likninger, kan problemet løses. En god metode å løse likningssett på er innsettingsmetoden. Husk å alltid dobbelsjekke svaret ved å sette inn og sjekke om det stemmer. 6.2 OPPGAVER 1. Tegn likningssettet som 2 lineære funksjoner, løs grafisk og deretter med regning. I) y = x + 2 II) y = 2x 1 2. Tegn likningssettet som 2 lineære funksjoner, løs grafisk og deretter med regning. I) y = 2x 4 II) y = 12 2x 3. Tegn likningssettet som 2 lineære funksjoner, løs grafisk og deretter med regning. I) y = x 1 II) x = 4 + 2y 4. Løs likningssettet. I) 4x 6 = 5y II) 2y = x 5. Løs likningssettet. I) 3x + 6 = y II) (x + y)2 = 4 6. Løs likningssettet. I) 2x y = 6y II) 3x = 1 + 5y 7. En kiosk selger pølser og is. En familie kjøper 3 is og 2 pølser, og betaler til sammen 65 kroner. Den en annen familie kjøper 2 is og 2 pølser, og betaler til sammen 50 kroner. Hva koster en pølse? Hva koster en is? 8. For 5 år siden var Ola dobbelt så gammel som Per. I dag er Ola fem år eldre enn Per. Hvor gammel er Per og Ola i dag? 9. Du veier 5 epler og 2 appelsiner, og vekta viser 1,6kg. Deretter veier du 2 epler og 4 appelsiner, og vekta viser det samme. Hva veier eplene og appelsinene? 10. En ent3r-mentor gir deg et matematisk problem, der du har 3 ukjente verdier og 2 likninger. Kan dette problemet løses? 11. Kan dette problemet løses? Prøv og forklar hva du kom frem til. Hint: Still opp som lineære funksjoner og tegn funksjonene. I) y = 2x + 5 II) 4x = 2y 10 8

7 FORENKLING AV UTTRYKK I 7.1 NOTATER Når du skal forenkle uttrykkene nedenfor, er det viktig å: 1. Holde de ukjente separat, dvs hold a, a 2, b, b 2 og tallverdiene fra hverandre i utregningen. Du kan ikke trekke forskjellige uttrykk sammen. 2. Det er veldig lett å gjøre fortegnsfeil i noen av oppgavene. Tenk derfor nøye over fortegn, og bruk kunnskapene dine om regneregler. 3. Når du møter uttrykk som ser vanskelige ut, kan det vær lurt å dele opp uttrykkene litt, og løse de delvis. Deretter sette du de sammen. Bruk god plass i boka, og skriv stort og tydelig. Kunnskapene du tilegner deg her kan brukes til å forenkle alle uttrykk med ukjente verdier. Det har ikke noe å si om den ukjente er a, b, x eller y. En ukjent verdi er bare et tall, og behandles som et tall når du regner. 7.2 OPPGAVER 1. a) 3a + 2a b) 2a + 3a c) 3a 5a + 1a 2. a) 2(2 + a) b) 3(a + 1) c) 2( a + 2a) 3. a) 2a + 3a + a 2 + 2a 2 b) 3a 2 + 2a + 4a 2 a c) 2a 2 b 2a + 2b + a 2 4. a) 2a + 2(a 2) b) 2a 2 a(3 a) c) b 2 + 3(2 + b + b 2 ) 6 5. a) (a + 2)(a + 3) b) (a + b) 2 c) (a b)(a + b) + b 2 6. a) (2 a)(3 + b) + 2ab b) (1 + a)(b + 2) b(a + 1) c) (a + b) 2 (a b) 2 2(ab + 2) 9

8 FORENKLING AV UTTRYKK II 8.1 NOTATER Her må du kombinere dine kunnskaper om regneregler og brøk for å forenkle uttrykkene så mye som mulig. Det viktigste er å holde de ukjente adskilte. Her et et vanskelig eksempel: 2a(b 3a) 3 (2) 2a(b 3a) (2) 3 3(ab 2a2 ) 2 (3) 3(ab 2a2 ) (3) 2 4a(b 3a) 9(ab 2a 2 ) 6 4ab 12a 2 9ab + 18a 2 6 5ab + 6a 2 Dette kan vi forenkle videre om vi ønsker, et alternativt svar er: 6 a( 5 6 b + a) 8.2 OPPGAVER 1. a) 5a 3a b) 5a 7 2 a c) (13a 17a)2 + 8a 2. a) 2a + 3b 2(a + 2b) b) 7b + 8a + 2a b c) (a + b) 2 2ab 3. a) a2 a b) a2 b 3 a 2 b c) a2 b 3 c 2 ab 2 c 4. a) a a 2 b) a3 b 2 ab 4 c) z2 b 2 z 3 b 2 z 5. a) a 3 + a 6 b) a(2 a) 2 + a 4 c) 2(a 3) 1 + 3(a 1) 3 6. a) 2 a + 3 b b) 2a b b a c) 3(a+a2 ) a 7. a) b(a + b) b 2 b) 3a + 2(6 + 2a) 10 c) a(2 + 4) 2(a + 2a) 8. a) 3z + 2a 2(b z a) b) b(b + 1 2 b) b2 ( 6 3 1 2 ) c) (a + b)2 ab( a b + b a ) + 1 b 10

9 FASIT 9.1 FASIT - REGNEREKKEFØLGE 1. a) 17 b) 22 c) 2 2. a) 5 b) 6 c) 4 3. a) 20 b) 30 c) 60 4. a) 12 b) 15 c) 4 5. a) 29 b) 24 6. a) 0 b) 31 9.2 FASIT - BRØK, PROSENT, DESIMALTALL 1. a) 1 b) 6 16 = 3 8 c) 11 15 2. a) 1 8 b) 1 10 c) 5 6 3. a) 1 b) 2 12 = 1 6 c) 1 4. a) 8 7 b) 9 16 = 1 c) 8 3 5. a) 9 8 b) 1 6. a) 0,5 = 50% b) 0,25 = 25% c) 0,2 = 20% d) 33% = 1 3 e) 9 10 = 0,9 f) 175% = 7 4 g) 0,45 = 9 20 h) 110% = 11 10 i) 1,35 = 27 20 9.3 FASIT - LIKNINGER MED EN UKJENT 1. a) 7 b) 18 c) 29 2. a) 21 b) 5 c) 7 3. a) 5 b) 5 c) 1 4. a) 4 b) 28 c) 1 5. a) 4 b) x = 5eller x = ( 5) c) 3 11

9.4 FASIT - LINEÆRE FUNKSJONER 1. y = 7 2. x = 7 3. y = 4 4. y = 200 + 50x 5. y = 50 + 0,25x Løser for x = 200, og får y = 50 + 0,25(200) = 100 6. Funksjonen for a) er y = 200 + 50x Funksjonen for b) er y = 60x Etter 1 år gjelder: a) y = 200 + 50(12) = 800 b) y = 60(12) = 720 Det vil si at det er billigst med scenario b). Etter 2 år gjelder: a) y = 200 + 50(24) = 1400 b) y = 60(24) = 1440 Det vil si at det er billigst med scenario a). 7. y = 5 2 + x 2 Dette er ikke en lineær funksjon. 9.5 FASIT - LIKNINGSSETT MED TO UKJENTE 1. y = 5 og x = 3 2. y = 4 og x = 4 3. y = 3 og x = 2 4. y = 2 og x = 4 5. y = 0 og x = 2 6. y = 2 og x = 3 7. Is koster 15kr, pølse koster 10kr. 8. Ola er 15 år, Per er 10 år. 9. Epler veier 200 gram (0,2kg), appelsiner veier 300 gram (0,3kg). 10. Problemet kan ikke løses, fordi vi trenger 3 likninger for å løse et problem med 3 ukjente. 12

9.6 FASIT - FORENKLING AV UTTRYKK I 1. a) 5a b) a c) a 2. a) 4 + 2a b) 3a 3 c) 2a 3. a) 3a 2 + 5a b) a 2 + a c) 3a 2 2a + b 4. a) 4a 4 b) 3a 2 3a c) 4b 2 + 3b 5. a) a 2 + 5a + 6 b) a 2 + 2ab + b 2 c) a 2 6. a) ab + 2b 3a + 6 b) 2a + 2 c) 2ab 4 9.7 FASIT - FORENKLING AV UTTRYKK II 1. a) 2a b) 3 2 a c) 0 2. a) b b) 10a + 6b c) a 2 + b 2 3. a) a b) b 2 c) abc 4. a) 1 a b) a2 b 2 c) 1 5. a) a 2 b) 5a 2a2 4 c) 3a 7 6. a) 3a+2b ab b) 1 c) 3b+3ab+1 b eller 3 + 3a + 1 b 7. a) ab b) a + 2 c) 0 8. a) 4a 2b + 5z b) 0 c) 2ab 13