Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For matrisen A er det definert tre underrom: radrommet ( the row space) kolonnerommet ( the column space) og nullrommet ( the nullspace) row(a) span (r r r r m ) R n col(a) span (c c c c n ) R m Null(A) R n som består av alle løsninger x R n til systemet Ax La oss samle diverse resultater fra 7 og 8 til et teorem: Teorem La A r r r s [ c c c n være en trappeformmatrise (redusert eller ikke-redusert) man får fra A ved hjelp av radoperasjoner (Gauss eller Gauss+Jordan spiller ingen rolle) a) (Th 7) span (r r r r s) span (r r r r m ) row(a) b) (Th 7) s-tuppelet (r r r r s) 77
er en basis for row(a) c) (Th 8 og Def 8) dim (span (c c c c n)) dim (col(a)) dim (row(a)) rank(a) s d) (Th + Th ) m-tuppelet (r r r r m ) utspenner hele R n s n e) (Th + Th ) m-tuppelet (r r r r m ) er lineært uavhengig s m f) (Th + Th ) m-tuppelet (r r r r m ) er en basis for R n s n m g) (Th 7 + Th 76) Anta at ledende enere i matrisen A har posisjoner ( j ) ( j ) ( j ) (s j s ) j < j < j < < j s Da er s-tuppelet ( c j c j c j c j s ) en basis for span (c c c c n) og s-tuppelet en basis for (c j c j c j c js ) span (c c c c n ) col(a) Se ellers Merknad nedenfor h) (Th + Th ) n-tuppelet (c c c c n ) utspenner hele R m s m i) (Th + Th ) n-tuppelet (c c c c n ) er lineært uavhengig s n j) (Th + Th ) n-tuppelet (c c c c n ) er en basis for R m s n m Merknad Det er ikke korrekt at span (c c c c n) col(a) selv om de to underrommene har samme dimensjon rank(a) La oss ta et oppsummerende eksempel: Eksempel m n 6: A r r [ c c c c c c 6 r 6 6 6 6 G J A s 78
La oss anvende Teorem : ab) Vektorene danner en basis for row(a) c) r [ r [ r [ dim (span (c c c c c c 6)) dim (col(a)) dim (row(a)) rank(a) def) -tuppelet (r r r ) er lineært uavhengig siden m s utspenner ikke hele R 6 (men utspenner row(a)!) siden s < 6 n og heller ikke er en basis for R 6 (men en basis for row(a)!) g) -tuppelet (c c c ) er en basis for men ikke for col (A)! -tuppelet er en basis for span (c c c c c c 6) col (A ) (c c c ) 6 span (c c c c c c 6 ) col(a) hij) 6-tuppelet (c c c c c c 6 ) er ikke lineært uavhengig siden s < 6 n utspenner hele R siden s m og er ikke en basis Løsningsrommet og løsningsmengden Ethvert system av lineære likninger kan skrives i matriseform Ax b 79
der A er en m n matrise x R n er en kolonnevektor av variabler og b R m er en kolonnevektor av konstanter: x b x x x b b b x n b m Mengden av alle løsninger x til systemet kalles løsningsmengden til systemet (the solution set of the system) Løsningsmengden kan være tom (ingen løsninger) Vi sier da at systemet er inkonsistent Hvis den ikke er tom sier vi at systemet er konsistent La oss samle forskjellige resultater i et teorem Notasjonene er de samme som i Teorem Men siden konstantene b i er involvert skal vi lage en utvidet (augmented) matrise og utføre radoperasjoner for den utvidede matrisen Det er også lurt å arbeide med vilkårlige (ikke konkrete) konstanter b i dvs den høyre kolonnen til matrisen skal bestå av symboler b i Vi utfører nå Gauss+Jordan og får et nytt system A x b der kolonnevekotoren b består av lineære kombinasjoner av de opprinnelige (vilkårlige!) konstantene b i Teorem a) Systemet A x b har den samme løsningsmengden som det opprinnelige systemet Ax b b) Systemene Ax og A x har samme løsningsrommet Null(A) c) (Def 8 Th 8) Nullity(A) : dim Null(A) n rank(a) d) (Ex 8) Nullrommet til A kan beskrives som x t g + t g + + t k g k der k Nullity(A) og t t t k er vilkårlige parametre (de frie variablene kan velges som slike parametre) e) (Th 7) Løsningsmengden til systemet Ax b er enten tom eller kan beskrives slik: x x + t g + t g + + t k g k der g i er vektorer fra d) og x er én (hvilken som helst) løsning til systemet Ax b f) (Th 7) Systemet Ax b er konsistent hvis og bare hvis b col(a) Hver løsning x til systemet Ax b gir en beskrivelse av b som en lineær kombinasjon av kolonnevektorer til matrisen A: b x c + x c + + x n c n 8
Omvendt envher slik beskrivelse gir en løsning x til systemet g) Det er ikke lett å sjekke betingelsen b col(a) Man kan få en annen (evt andre) betingelse(r) for at systemet Ax b er konsistent Betingelsene skal gis på formen a b + a b + + a m b m Uttrykkene a b + a b + + a m b m er faktisk leddene b s+ b s+ b m i det reduserte systemet Se Ex 6 6 og 86 A x b Et oppsummerende eksempel La oss anvende Teorem og Teorem Eksempel 6 Vi studerer matrisen A A 6 og likningen der x x x x x x Ax b r r r r b [ c c c c c La oss lage den utvidede ( augmented) matrise og redusere matrisen ved hjelp av radoperasjoner: b b 6 b G J b b b b b + b b b + b b b b b der A r r r r [ c c c c c 8
Bruker Teorem først: ab) -tuppelet er en basis for c) (r r ) ([ [ ) span (r r r r ) row(a) row(a ) span (r r r r ) dim (span (c c c c c )) dim (col(a)) dim (row(a)) rank(a) def) -tuppelet (r r r r ) utspenner ikke hele R siden s < er lineært avhengig siden s < og er ikke en basis for R Tuppelet er ikke en basis for row(a) heller g) -tuppelet er en basis for men ikke for col(a)! -tuppelet er en basis for (c c ) span (c c c c c ) col(a ) (c c ) span (c c c c c ) col(a) col(a ) hij) -tuppelet (c c c c c ) utspenner ikke hele R siden s < er lineært avhengig siden s < Tuppelet er ikke en basis for col(a) heller Anvender nå Teorem : aeg) Systemet A x b har samme løsningsmengde som det opprinnelige systemet Ax b Systemet er konsistent hvis og bare hvis { b b b + b b b + b La oss anta at betingelsene er oppfylt og løse systemet Det er tre frie variabler 8
x x x Betegner dem som s t u Løsningene blir da x s x x x x b t + u b b + t u t b b b + x u b b b + s + t + u bcd) Nullrommet Null(A) Null(A ) har dimensjon og består av vektorer rank(a) x sg + tg + ug der s t u er vilkårlige parametre -tuppelet (g g g ) er en basis for nullrommet f) b col(a) Systemet er konsistent { b b b + b b b + b s + t t t x + sg + tg + ug Hvis betingelsene er tilfredsstilt er b en lineær kombinasjon av c c c c c : b x c + x c + x c + x c + x c ( ) s + b t + u + ( b b + t u ) Siden -tuppelet (c c ) er en basis for col(a) kan b bli beskrevet entydig som en lineær kombinasjon b βc + γc + t + u u u + u 6 8
Koeffi sientene β og γ får man ved å sette s t u : b ( ) ( b c + b ) ( ) b c b [b (cc ) [ b b b ( + b b ) 8
Eksempler fra Ch 7 i boka Eksempel (Ex 7) A [ b b [ [ b + b 8 b + b En basis for col (A) R : G rank (A) ([ [ ) En basis for row (A): [ [b G b + b b + b H (r r r ) ([ rank (A) [ 8 ) La Når c row (A)? c [ c c c [ [ c row (A) c c + c 8 [ c c c 8 c? [ c c c Betingelsen er: c 8 c c c + 8 c + c [ c c c 8 [c H [ c c 8
En basis for Null (A): x t er en fri variabel x t x 8 t t x t F N ullity (A) 8 8 La Når d Null (A)? d d Null (A) d d d d d 8 d 8 d d Betingelsene er: [ d + d d 8 d [d F [d [ 8 d d d [ c 8 c c c + 8 c + c [ c c c 8 [c H [ c c 86
Eksempel (Ex 7) A 6 6 8 8 b 6 b b 6 8 8 b b b + b b b + 7 b 7 6 b 6 b 6 b 6 6 6 b b + b En basis for col (A) R : b col (A) G rank (A) 8 b b + b [ b b b b [b G b b + b b b + 7 b 6 b 6 b 6 b 6 6 7 6 b b b b En basis for row (A): H (r r r ) ([ [ [ ) rank (A) La c [ c c c c c c 6 87
Når c row (A)? c row (A) c c [ + c [ + c6 [ [ c c c c + c c c 6? [ c c c c c c 6 Betingelsen er: [ c + c c c + c c + c [ [ c c c c c c 6 [ [c H [ c c c 6 (ikke pensum) r r + r En annen basis for row (A) er H (r r r ) P H H 7 6 6 6 En basis for Null (A): x s x t x u er frie variabler x x x x x x 6 s t u s t t u s + t + u F N ullity (A) 88
La d d d d d d d 6 Når d Null (A)? d Null (A) d d +d +d d d d d d d d Betingelsene er: d + d + d + d d + d d 6 d d d d d d 6 [d F d d d 89