Andregradslikninger En andregradslikning har form ax bx c=0 hvor x er ukjent. Den enkelste er når b=0. Vi har då x =d hvor d = c a Denne likning kan løses med å ta rot. Eksempel 1. Vi løser x =11 Vi ønsker å finne ett tall x som ganger seg selv er 11. Et sådant tall er 11. Men så -11 er et sådant tall fordi (-11)(-11)=11. Løsningene blir så x=± 11=±11 Vi løser x =0 Men det kan jo ikke være annet tall enn null: x=0. Vi prøver å løse x = 11 Vi kan ikke finne ett sådant reellt tall fordi kvadrat blir alltid positiv eller null. Vi får ingen løsning. Generellt fås løsninger til x =d To løsninger x=± d hvis d>0 En løsning x=0 hvis d=0 Ingen løsning hvis d<0 Vi prøver nå å løse andregradslikninger av type: x =
Eksempel. Vi ønsker å løse x 3 =11 Tar vi rot fås x 3=± 11=±11 hvilket gir x= 3±11 Vi har så to røtter x=-14 x=8. Regner vi ut leddene i likning (hvilket jo ikke er fornuftig) flytter 11 til venstre side fås x 6x 9 11= x 6x 11=0 Så vi har så løst denne likning. Eksempel 3. Vi ønsker å løse x 4 =0 Vi får x+4=0 hvilket betyr x+4=0 Regner vi ut venstre ledd fås likning x 8x 16=0 hvilken vi så så løst. Eksempel 4. Vi ønsker å løse x 1 = 11 Men denne likning har ikke løsning dersom en kvadrat ikke kan bli ett negativt tall. Vi ser at vi kan løse alle likninger av typ x = Vi får x =± hvilket et detsamme som x= ± hvis 0 ingen reell løsning for negativ Hvis vi bruker kvadratsetningen kan denne likning så skrives på denne måte: x x = eller x x =0 hvilket er samme som x px q=0 hvor p=, q= Det betyr at = p/ = q= p q= p 4 q Løsning til x px q=0 blir så x= p ± p 4 q eller x= p± p 4q Den senere får vi fra den første gjennom å ta ½ ut av rot: p 4 q= p 4q 4 = p 4q = p 4q 4
Vi ønsker å se dette på konkret eksempel. Eksempel 5. Vi ønsker å løse x 4 x 3=0 Vi ønsker å bruke kvadratsetningen x x = x får å få alle ledd med x i en eneste kvadrat. V ønsker så at 4x= x hvilket gir = Vi får x 4x 3= x x 3= x 36=0 Nå har vi likning x =36 hvilken vi kan løse på tidligere måte: x =±6 gir x= -8 x = 4. Bruker vi formel direkte får vi så x= 4± 4 4 3 = 4± 144 = 4±1 vi får samme svar. Hvis vi ønsker å løse likning a x b x c=0 kan vi dele med a først (dersom a ikke er null for ikke ha likning av første grad) får x p x q=0 hvor p= b a q= c a Bruker vi dette i formel for løsning fås x= b± b 4ac a Vi har jo b b 4 a ± a c a = b a ± b 4ac a = b a ± 1 a b 4ac b 4ac = b 4ac hvilket er b 4ac a a a eller b 4ac a fordi a =a hvis a 0 a = a hvis a<0 Denne formel er god å bruke hvis det er vanskligt å dele med a.
Eksempel 6. Vi løser 18 x 3 x 14= Det er samme som 18 x 3 x 8=0 Formel gir x= 3 ± 3 4 18 8 18 = 3 ± 1600 = 3±40 36 36 hvilket gir x= 7 36 = x= 8 36 = 9 I andre fall kan det være enklere å først dele med a Eksempel 7. Vi løser Deler vi med 3 fås 3x 4x 1=0 x 8x 7=0 Bruker vi formel får vi nå x= 8± 8 4 7 = 8± 36 = 8±6 vi får x= 14 =7 x= =1 Eksempel 7a Vi løser x ax a 1=0 Formel gir a ± a 4 a 1 hvilket gir x=a-1 x=1. = a± a 4a 1 = a± a = a± a Alle likninger som etter forenkling kan skrives som ax bx c=0 er andregradslikninger kan løses på samme måte.
Eksempel 8. Vi løser 6x 5 5x 4 4x 3 3x = Etter forenkling fås liknking i eksempel 6. Vi har så samme løsninger. Eksempel 9. Vi løser 3 x 4 4 x 3 x =0 Hvis vi legger på felles nevner fås 3x x 4x x 4 3 x x 4 = 4x 8 x 4 7x 6 x 4 x x x x x 4 = 4 x x x x 4 =0 For løsning er det nødvendig at x 7x 6=0 Løser vi denne likning fås x=1 eller x=6 hvilke vi godkjenner dersom disse ikke gjør nevner null. Eksempel 10. Vi løser 3x 1 x x x = 8 x 4 Hvis vi legger på felles nevner fås 3x 1 x x x x 4 = 8 x 4 etter forenkling 5x 5x = 8 x 4 x 4 Vi løser 5x 5x =8 hvilket gir x= x= -1. Dersom x= gir nevner null godkjennes kun x= -1 Fra løsningsformel for ax bx c=0 kan vi finne når vi har løsninger eller ikke gjennom å studere uttrykk under rot b 4 ac vi får To løsninger hvis b 4 ac 0 En løsning b a hvis b 4 ac=0 Ingen løsning hvis b 4 ac 0
Eksempel 11. 3x 11x 1=0 ikke løsning fordi b 4 ac=11 4 3 1=11 1 0 5x 1x 3=0 har to løsninger fordi b 4 ac=1 4 5 3=144 60 0 5x 30 x 45=0 har løsning x= 30 10 =3 fordi b 4 ac=30 4 5 45=0 Hvis vi regner ut x x 1 x x fås x x 1 x x x 1 x hvilket gir p= x 1 x,q=x 1 x x x 1 x x =0 må vi ha x x 1 =0 eller x x =0 hvilket betyr at x 1 x er løsninger til x x 1 x x x 1 x Dette kan brukes for å faktorise andregradsuttrykk gjette løsninger. Eksempel 1. Vi ser på likning x 8x 7=0 fra eksempel 7. Faktorene i 7 kan kun være 1, 7, -1 eller -1. Dersom 1 7=7 -(1+7)=-8 kan vi gjette at 1 7 er løsninger. Nå kan man så faktorisere 3x 4x 1=3 x 1 x 7 Eksempel 13. Vi ønsker å faktorisere 18 x 3 x 8 fra likning i eksempel 6. Dersom løsningene var -/9 fås 18 x 3 x 8=18 x x 9 =18 x x 9 = x 9x Denne faktorisering kan brukes for å forkorte brøk Eksempel 14. Vi ønsker å forkorte x 4x 4 x 5x 6 Kvadratsetning gir x 4x 4= x x 5x 6=0 har løsningene x= x=3 hvorfor x 5x 6= x x 3 Forkorting gir x x 3
Eksempel 15. Vi ønsker å forkorte 3x 16x 1 10 13x 3x Løsningene til 3x 16x 1=0 er -6 /3. Løsningene til 10 13 x 3 x =0 er -5 /3 Vi får 3x 3 x 6 x 16x 1 10 13x 3x = 3 x 6 3 x 5 x = 3 x 5
Generellt om andregradsuttrykk En annen måte å se på andregradsuttrykk er å tenke seg en forskyvning i x. Hvis man syns at null ikke mer er hvor det normalt er blir mange ting lettere. Alle andregradsuttrykk kan skrives som ax d hvorfa man lett ser at minimum (maksimum) er d ved x=0 hvis a>0 (a<0) man kan lett regne ut når uttrykket er null finne når det er negativt eller positivt. Hva betyr så forskyvning? Vi kan tenke at vi bor i Arktikum hvor man ikke har plussgrader på temperatur. Hvis vi så syns at null er ved -0 blir det som vanlig. Hvis vi har -30 er det -10 grader hvis vi har -10 er det +10 fordi det er jo varmt. Vi har sambånd t=c+0, hvor c erf Celsius t er våres. ønsker vi å gå tilbake til Celsius kan vi løse bruke formel c=t-0. En forskyning betyr innføring av ny variabel u med sambånd x=u+ r hvor r er null for den ny variabel u u=x-r. Hvis r=-0 har vi x=u-0 u=x+0. Vi kan regne ut at u=0 hvis x=0, u=10 hvis x=100, u=-80 hvis x=-100. Eksempel. Vi gjør nå denne forskyvning på uttrykk x 4 x 3 i eksempel 5. Vi bruker x=u- hvilket betyr u=x+. Så vi har null ved x=- i den nye variabel. Regner vi fås x 4 x 3= u 4 u 3=u 4u 4 4u 8 3=u 36 Dette uttrykk i u er lett å inspektere. Vi har minimum -36 for u=0, uttrykket er negativt for -6<u<6 positivt for u>6 eller u<-6 null for u=6 eller u=-6. Hva blir det så i x. Dersom x=u- blir minimum for x=- uttrykket er negativt for -8<x<4, positivt for x>4 eller x<-8. Uttrykket blir null for x=-8 eller x=4 hvilket jo var løsningene til x 4 x 3=0 Vi ser så hvordan bruke dette for å analysere uttrykk ax bx c Vi forsøker å finne en forskyvning fra x=u+r. Vi beregner a u r b u r c=au aru ar bu br c=au ar b u ar br c=0 Dersom vi ønsker at ar+b=0 blir ar br c= a b a b b b c= a b a 4a b a c= 4ac b 4a Hele uttrykket blir så au d hvor d = 4ac b 4a
Vi ser at au d har ekstremum d for u =0 er negativt (positivt) for u 1 u u positivt (negativt) for u u 1 eller u u 1 hvis a>0 (a<0), hvor u 1 = d a = 4ac b u = d 4a a = 4ac b 4a hvis vi så forskyver for å få x må vi forskyve u 1 u med r= b a vi finner igjen uttrykk for løsning av andregradslikning. Eksempel 16. Vi ser på uttrykk 18 x 3 x 8=0 fra eksempel 6. Forskyvning blir b a = 3 18 = 8 9 d = 4ac b 4a = 4 18 8 3 4 18 = 8 4 18 3 = 00 8 9 9 uttrykket i u blir 18u 00 9 u 1 = 00 9 18 = 100 9 9 = 10 9 u = 10 9 Vi ser så at uttrykket har minimum ved -00/9 ved 8/9 er negativt mellom x= 8 10 = 9 9 x= 8 10 = 9 Vi ser igjen løsningene til andregradslikningen fra eksempel 6.
Sammendrag Andregradsuttrykk ax bx c=0 har minimum (maximum) d = 4ac b 4a ved x= b a hvis a>0 (a<0) Hvis ad <0 ( a d har ulike tegn) er det negativt (positivt) for x 1 x x positivt for x x 1 eller x x hvis a>0 (a<0) hvor x 1 = b a d a x = b a d a Hvis ad>0 ( a d har samme tegn) er uttrykket alltid positiv hvis a>0 alltid negativt hvis a<0 Hvis d=0 er uttrykket null for x= b a ellers positivt hvis a>0 negativt hvis a<0