NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for konstruksjonsteknikk Faglig kontakt under eksamen: Førsteamanuensis Arne Aalberg 73 59 46 24 Førsteamanuensis Aase Gavina Reyes 73 59 45 24 EKSAMEN I EMNE TKT4116 MEKANIKK 1 Torsdag 4. juni 2009 Kl 09.00 13.00 Hjelpemidler (kode C): Irgens: Formelsamling mekanikk. Bestemt, enkel kalkulator. Settet består av i alt 14 ark. Legg vekt på å levere en ryddig besvarelse med tydelige skisser og systematisk redegjørelse for hva som beregnes. Gjør egne, begrunnede antagelser hvis noen deler av oppgaveteksten synes ufullstendig. Lever besvarelsen med arkene tydelig nummerert og sortert. I besvarelsen skal oppgaven ligge i stigende rekkefølge: Oppgave 1, Oppgave 2, Oppgave 3 og Oppgave 4. OBS: Oppgaven har totalt 10 sider vedlegg hvor du skal besvare deler av oppgavesettet, og levere som del av din besvarelse. Sjekkliste for innlevering: Oppgave Vedlegg Sidenummerering i din innlevering Oppgave 1 Vedlegg 1-3 Side 1-3 Oppgave 2 Vedlegg 4-7 Side 4-7 Oppgave 3 Vedlegg 8-10 Side 8-10 Oppgave 4 Lykke til! Side 1 av 14
OPPGAVE 1 (20 %) Hele oppgave 1 skal besvares direkte på Vedleggene 1 3. Lever arkene som side 1-3 av din besvarelse. Ytterligere ark tilhørende denne oppgaven vil ikke bli vurdert. 5 m 5 m 5 m 5 m A B C 5 m D E F 20 kn 30 kn G Figur 1 Fagverk med to punktlaster. Fagverket i figuren ovenfor har 11 staver og 7 knutepunkter, og er statisk bestemt. a) Bruk arket i Vedlegg 1: Tegn på opplagerkreftene og beregn deres størrelse (før inn beregning direkte på Vedlegg 1). b) Bruk arket i Vedlegg 2: Tegn opp hvordan du vil snitte fagverket for å bestemme stavkraften i stav BC, BF og EF ved hjelp av snittmetoden (tegn ryddig, og angi tydelig kreftenes retning). Regn ut disse stavkreftene, og angi om det er strekk eller trykk i stavene. c) Bruk arket i Vedlegg 3: Benytt knutepunktsmetoden til å beregne stavkraften i stav AB og AD. Tegn figur, og før inn utregningen. Angi om det er strekk eller trykk i stavene. d) Bruk arket i Vedlegg 3: Fagverket, med de gitte lastene, har overflødige staver. Det kan forenkles ved at man fjerner minst en stav og ett knutepunkt. Fagverket skal fortsatt være statisk bestemt. Tegn en skisse som viser fagverket i forenklet utgave (du skal ikke endre geometrien til noen deler, kun fjerne stav(er)/knutepunkt(er)! Side 2 av 14
OPPGAVE 2 (25 %) Hele oppgave 2 skal besvares direkte på Vedleggene 4 7. Lever arkene som side 4-7 av din besvarelse. Ytterligere ark tilhørende denne oppgaven vil ikke bli vurdert. P=4 kn H=5 kn A B q=3 kn/m 3 m C D E 6 m 2 m 2 m Figur 2 Utkraget ramme (ABCDE) med laster. En ramme (utkraget bjelke, ABCDE) er innspent i punkt A, og har mål som vist i figuren ovenfor. Rammen er belastet med konsentrerte laster (P og H), og en jevnt fordelt vertikallast (q) som virker over en begrenset lengde (2 m). a) Tegn fritt-legeme-diagram (FLD) for rammen, og bestem opplagerreaksjonene til rammen. Tegningen og beregningene skal føres på Vedlegg 4. b) Beregn og tegn lastvirkningsdiagrammene for rammen (N-, V- og M-diagram). Beregningene skal føres på Vedlegg 5 og Vedlegg 6. Detaljtegning av diagrammene føres direkte på figurene i Vedlegg 7. Husk størrelser og virkningssymboler, og at M- diagrammet tegnes på strekksiden. OPPGAVE 3 (30 %) Denne oppgaven består av flere småoppgaver av forskjellig art. Oppgavene er vist på Vedlegg 8-10. I enkelte av oppgavene skal det skrives inn tallsvar, i andre skal det krysses av rett svaralternativ, eller fullføres en tegning. Kun Vedleggene 8-10 skal leveres som besvarelse på denne oppgaven. Rett svar gir poeng, mens ubesvart oppgave eller galt svar gir null poeng. NB: Merk at denne oppgaven består av forskjellige typer spørsmål. Har du vanskeligheter med en oppgave bør du gå videre og løse de andre, før du eventuelt bruker ledig tid til slutt på det du synes er vanskelig. Disponer tiden du har tilgjengelig, husk at 30 % av eksamenstiden tilsvarer ca 1 time og 15 minutter arbeid. Side 3 av 14
OPPGAVE 4 (25 %) q=3 kn/m P=30 kn t=20 mm z z 160 mm A 4 m B 1 m C 3 m D 160 mm Figur 4a Bjelke med belastning Figur 4b Bjelkens tverrsnitt Besvarelse av denne oppgaven leverer du på vanlige eksamensark. Bjelken i figur 4a er belastet med både en jevnt fordelt last q og en punktlast P. a) Beregn opplagerkreftene i bjelkens opplagerpunkt A og D. b) Beregn verdien for bøyemomentet i bjelken i punkt C. Avgjør om dette er det største bøyemomentet som forekommer langs bjelken. Hvis du finner at det har større verdi et annet sted avgjør i såfall hvor og momentets størrelse. c) Bruk formlene for deformasjon av enkle bjelker i formelsamlingen, og vis at nedbøyningen u B i bjelkens midtpunkt B er: u B 5 ql 39 PL 384 EI 2048 EI 4 3 d) Bjelken er laget av stål. Tverrsnittet er et kvadratisk hulprofil, som vist i figur 4b. Bjelken bøyes om z-aksen. Elastisitetsmodulen for stål er E=210 000 N/mm 2. Beregn 2. arealmoment for bjelken, og benytt videre formelen fra oppgave c) til å beregne nedbøyningen u B. Angi nedbøyning i mm. e) Beregn den største aksialspenningen (bøyespenningen) som opptrer i bjelken. Tegn fordelingen av spenningen over tverrsnittet, og vis hvor i tverrsnittet det er trykk og hvor det er strekk. (Hvis du ikke har lyktes med de foregående oppgavene kan du vise hvordan du vil regne ut nedbøyning og bøyespenningen for disse oppkonstruerte verdiene: 2. arealmoment I z = 8010 6 mm 4 og moment M = 90 knm.) Side 4 av 14
Vedlegg 1 Side: 1 Oppgave 1a), Tegn på opplagerkreftene: A B C D E F 20 kn 30 kn G Oppgave 1a), Her skal du føre din beregning av opplagerkrefter: Side 5 av 14
Vedlegg 2 Side: 2 Oppgave 1b), Tegn opp hvordan du vil snitte fagverket for å bestemme stavkraften i stav BC, BF og EF ved hjelp av snittmetoden (tegn ryddig, og angi tydelig kreftenes retning): Oppgave 1b), Her skal du føre utregningen av stavkreftene BC, BF og EF, funnet ved snittmetoden: Side 6 av 14
Vedlegg 3 Side: 3 Oppgave 1c), Benytt knutepunktsmetoden til å beregne stavkraften i stav AB og AD. Tegn figur her: Oppgave 1c), Benytt knutepunktsmetoden til å beregne stavkraften i stav AB og AD. Før utregningen her: Oppgave 1d), Tegn opp fagverket i en forenklet utgave her: Side 7 av 14
Vedlegg 4 Oppgave 2a), Tegn fritt-legeme-diagram (FLD) for rammen her: Side: 4 Oppgave 2a), Her skal du føre din beregning av opplagerreaksjonene: Side 8 av 14
Vedlegg 5 Oppgave 2b), Beregn N-, V- og M-diagram for rammen her: Side: 5 Side 9 av 14
Vedlegg 6 Mer plass for å besvare oppgave 2b: Side: 6 Side 10 av 14
Vedlegg 7 Oppgave 2b), Tegn N-, V- og M-diagram for rammen her: Tegn aksialkraftdiagram (N): Side: 7 Tegn skjærkraftdiagram (V): Tegn momentdiagram (M): Side 11 av 14
Vedlegg 8 Oppgave 3a) q=4 kn/m 2 G=20 kn 2 m Side: 8 Et legeme (rektangulært prisme) har mål 1m 1m 2m. Belastningen er sidelast q og tyngde G. Avgjør om legemet velter eller ikke. Sett kryss ved riktig alternativ: Velter Velter ikke Balanserer akkurat Oppgave 3b) Gjør fagverket i figuren statisk bestemt. Tegn direkte på figuren til venstre. Oppgave 3c P u(x) Nedbøyningsfunksjonen for en utkragerbjelke med punktlast er gitt ved 3 2 3 PL x x ux ( ) C1 C2 6EI L L x L Beregn verdiene for C 1 og C 2 i nedbøyningsfunksjonen C1 C2 Oppgave 3d A Figuren viser en massiv bjelke med snittkrefter N og M. Bjelke A Tverrsnitt A-A: b=50 mm, h=100 mm N=120 kn M=3 knm c Kryss av om aksialspenningen i tverrsnittets punkt c er: Positiv (strekk) Negativ (trykk) og bestem tallverdi for aksialspenningen i tverrsnittets pkt c: N/mm 2 Side 12 av 14
Vedlegg 9 Oppgave 3e) Side: 9 Figuren viser et statisk bestemt fagverk. Kryss av om stavkraften i stav AB er: A 45 o 45 o B Positiv (strekk): Negativ (trykk): C 20 kn og bestem tallverdi for stavkraften i stav AB: S AB = kn Oppgave 3f) 2 knm Figuren viser et stivt rammehjørne, med snittkrefter der fire bjelker møtes. Bjelkene ligger i samme plan. 2 knm 3 knm M Kryss av om retningen for momentet M er som tegnet motsatt retning og bestem tallverdi for momentet M: M = knm Oppgave 3g) 5kN 30 o 60 o F 5 3 kn Figuren viser et fagverksknutepunkt (to stavkrefter og en ytre last F). Beregn verdien til lasten F: F = kn Oppgave 3h) Figuren viser en bjelke med momentfritt ledd. Avgjør om bjelken er (sett kryss) Statisk bestemt Statisk underbestemt Statisk ubestemt Avgjør også hvorvidt (sett kryss) Bjelken er stabil Bjelken er ustabil Side 13 av 14
Vedlegg 10 Oppgave 3i) 2 m A x A y 4 m 2 m 20 knm 20 knm B y Side: 10 Figuren viser en statisk bestemt konstruksjon. Kryss av om retningen for opplagerkraften B y er som tegnet motsatt retning og bestem tallverdi for opplagerkraften B y : B y = kn Oppgave 3j) L 0 =4 m En stav er 4 m lang. F Bestem kraften F som skal til for å forlenge staven 6 mm. Stavtverrsnitt b=50mm, h=100mm Stål E=210 000 N/mm 2 6 mm Kraften F er: F = kn Oppgave 3k) L 0 =6000 mm L=6012 mm Stavtverrsnitt d=100mm Stål E=210 000 N/mm 2 5 1 1,2 10 K, =0,3 Oppgave 3 l) D A S Høyde h=4 m z C Figuren viser en stav med opprinnelig lengde 6000 mm. Bestem temperaturøkningen som skal til for å forlenge staven til 6012 mm: ΔT = En sirkulær skive holdes i likevekt av en kraft S. Skiven veier 1000 N. Tre like lange tau holder skiven. Festepunktene er plassert med lik innbyrdes avstand langs skivens omkrets. Bestem strekkraften i tau AD. K x B y Kraften i tau AD er: S AD = N Diameter d=6 m Side 14 av 14