5 Enhetslastmetoden. TKT4124 Mekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

Transkript

1 5 Enhetslastmetoden Innhold: Utledning av enhetslastmetoden Deformasjonsberegninger for fagverk, bjelker og rammer Beregning av deformasjoner pga temperaturendring Beregning av statisk ubestemte systemer ved bruk av deformasjonsbetraktninger og enhetslastmetoden itteratur: Irgens, Fasthetslære, kap. 1 Hibbeler, echanics of aterials, kap Cook & Young, Advanced echanics of aterials, kap TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

2 Utledning av enhetslastmetoden Energibevarelse: 1 1 Fu d W y W i F F/ u F/ Gradvis påføring (derfor faktor ½) av ytre last F gir opphav til deformasjon u, spenninger og tøyninger. Opplagerreaksjoner F/ gjør null arbeid (null forskyvning) Skal nå betrakte en totrinns lastprosess: irtuell last F settes på systemet. Ytre last F gir opphav til spenninger (samt deformasjon u og tøyninger ). F u ens F virker på systemet (og er konstant), påføres en kraft F. Ytre last F gir opphav til deformasjon u, spenninger og tøyninger. NB: Under den siste forskyvnings-/lastpåføringen (trinn ) er F uavhengig av u, og er uavhengig av. u og u forutsettes små og helt uavhengig av hverandre. F F u u TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

3 Utledning (forts) Benytter prinsippet om virtuelt arbeid (KP) i trinn : W y u Wi F F du d d u u F du F du d d d d u u F du ku du d d E d d F 1 1 Fu Fu d d For vår aktuelle forskyvningstilstand har vi: 1 1 Fu d To av de fire leddene i siste linje av arbeidsbetraktningen W W vil dermed kansellere hverandre, og vi sitter igjen med: y i Fu d Dette uttrykket er identisk med KP på side 4-1. Skal nå se nærmere på: alget av virtuell kraft F (side 5-4) Integralet d i det indre virtuelle arbeidet (sidene 5-5, 5-7 og 5-1) TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

4 alg av enhetslast irtuelle krefters prinsipp: Fu d etodikk: Setter på en enhetslast F 1 i det punktet vi ønsker å bestemme forskyvningen. NB: Enhetslasten F 1 er parallell med den ukjente forskyvningen. Evt.: Enhetsmoment 1 hvis vi skal beregne en vinkel. q?? FORSKYNINGS- TISTAND F 1 IRTUE ASTTISTAND 1 1 IRTUE ASTTISTAND Hvis vi ønsker å finne forskyvningen i midtsnitt, setter vi på en enhetslast F 1 i midtsnitt. Dette definerer da en lasttilstand som er kalt irtuell lasttilstand 1 i figuren ovenfor. Ytre virtuelt arbeid Fu er nå lik 1 =. Opplagerkreftene F /, som også er ytre krefter på bjelken (fritt-legemediagram!), gjør ikke arbeid. Tilsvarende: Ønsker vi å finne rotasjonsvinkelen ved venstre opplager, setter vi på et enhetsmoment 1, dvs irtuell lasttilstand. Ytre virtuelt arbeid er nå 1 =. TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

5 Indre virtuelt arbeid for staver og fagverk Staver: Har kun aksialkraft N, og staven får aksialdeformasjon d N N d Konstant A N N N dadx N dx A EA EA A Resultat: N 1 N dx EA Kinematisk kompatible ikevekt N/EA = N er tøyning pga aktuell belastning N/EA er relatert til (kinematisk kompatible) N er aksialkraft (N-diagram) pga aktuell belastning N er aksialkraft(diagram) pga enhetslast F 1 N er i likevekt med enhetslast F 1 Fagverk: Et fagverk er satt sammen av staver (dvs ledd i begge ender), og alle laster forutsettes å virke i knutepunktene. Resultat: Konstant aksialkraft N i hver stav, og ingen momenter eller skjærkrefter. Integralet kan dermed erstattes med en sum hvor stavlengden inngår. Deformasjonsberegning: 1 n staver N N EA Altså: Produktet N N EA summeres for alle stavene. TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

6 .4a Eksempel 5.1: Fagverk A C F F = 1 kn a = m E = 1 Pa A = 1 mm B a Bruk enhetslastmetoden til å bestemme: ertikalforskyvningen i ledd C. Horisontalforskyvningen i ledd C. ertikalforskyvningen i ledd B. Fasit: 45 Fa C (nedover), 8 EA 5 Fa CH (til høyre), 1 EA 1 Fa B 5 EA (nedover) TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

7 Indre virtuelt arbeid for bjelker og rammer Bjelker: Bøyedeformasjoner (pga ) er vanligvis dominerende. Aksial- og skjærdeformasjoner er som regel små. d z z dadx A Iy y d dx z da dx I y y A y I y Resultat: 1 y dx evt.: 1 y dx / y = 1/R = er krumning pga aktuell belastning / y er relatert til (kinematisk kompatible) er momentdiagrammet pga aktuell belastning er momentdiagram pga enhetslast F 1 er i likevekt med enhetslast F 1 Har antatt at og gir bøyning om y-aksen ( stivhet y ) Rammer: En ramme er satt sammen av bjelker (dvs konstruksjonselementer med tverrlast) og eventuelt en eller flere staver. Generelt vil det være både aksialkrefter N, skjærkrefter og momenter i en ramme. I bjelkene i rammen tar vi kun hensyn til bøyedeformasjoner pga så fremt ikke noe annet er spesifisert. I eventuelle staver, hvor N er eneste snittkraft ulik null, må aksialdeformasjonen tas med. TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

8 Eksempel 5.: Bjelke med variabel stivhet / / q En fritt opplagt bjelke har bøyestivhet i den venstre halvdelen av lengden, mens stivheten er i den høyre halvparten. Bestem nedbøyningen i midtsnitt. Bruk enhetslastmetoden. Fasit: 4 5 q midt 51 (nedover) TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

9 Elementærintegral dx inneholder produktet av to funksjoner x ( ) og x ( ) omentdiagram-funksjonen x ( ) er ofte firkantet (konstant), trekantet (lineær) eller en parabel (. grad) omentdiagram-funksjonen x ( ) er konstant eller lineær Siden et integral uttrykker areal, vil integralet dx være funksjon av og karakteristiske ordinatverdier for funksjonene x ( ) og x ( ) forutsatt konstant. Eksempel: To trekant-diagram ( x) 1 x x ( x) x x x x x 1 dx 1 dx dx 6 ignende kombinasjoner av ulike diagram finnes tabellert: dx i k ab Dette gir en mye enklere beregning enn med analytisk integrasjon. etoden kalles ofte for hurtigintegrasjon. TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

10 Elementærintegral (forts) Figur fra Stålkonstruksjoner Profiler og formler : TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

11 Eksempel 5.3: Bjelke med variabel stivhet / / q En fritt opplagt bjelke har bøyestivhet i den venstre halvdelen av lengden, mens stivheten er i den høyre halvparten. Bestem nedbøyningen i midtsnitt ved å benytte enhetslastmetoden og elementærintegral. Bestem dessuten rotasjonen (vinkeldreiningen) i venstre opplager. Fasit: 4 5 q midt q venstre 56 (nedover) (nedover) TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

12 Indre virtuelt arbeid generelt uttrykk Bøyedeformasjoner (pga ) er vanligvis dominerende i bjelker og rammer. en lastvirkningene N, og T vil, hvis de er tilstede, også gi bidrag til den totale deformasjonen ( selv om disse bidragene ofte er små). Totalt indre virtuelt arbeid er: d d d d d N N T T Fra før: N y NNd N dx og EA d y dx y Tøyningsenergi pga T og : 1 1 T T UT T T d T dx GI T T d T dx p GI p 1 1 z U d kzz dx GA z d k dx GA z z Resultat: N y T z d N dx y dx T dx zk z dx EA GI GA y p Uttrykket må utvides med ytterligere to ledd hvis det i tillegg er moment z om z-aksen eller skjærkraft y i y-retning. TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

13 Eksempel 5.4: Ramme q = 5 kn/m B C q 1 = 4 kn/m z 9. 4 m IPE 5.9 y 1.6 (a) A 9. m knm 48 kn 48 kn N (b) kn 88 knm Figur (a) viser en stålramme ABC utført i tverrsnitt IPE. Profilet er orientert slik at det bøyes om sterk akse (y-aksen). Rammen er påkjent av to fordelte laster q 1 og q. Rammens aksialkraft-, skjærkraft og momentdiagram er vist i figur (b). Stål: E = 1 Pa =.3 IPE: I y = mm 4 A = mm Beregn: ertikal- og horisontalforskyvningen i C. Ta kun hensyn til bøyedeformasjoner. Rotasjonen (vinkelen) i B. ertikalforskyvningen i C hvis aksial- og skjærdeformasjoner inkluderes. Fasit: 93 mm (nedover) 93,5 mm (til høyre),41 (m/ klokka) C CH 93,3 mm (nedover) inkl. aksial- og skjærdeformasjoner C B TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

14 Eksempel 5.5: Bjelke F q A B C Bjelken ABC har konstant bøyestivhet. Sett F = q. Bestem vertikalforskyvningen i punkt A og i midtsnitt mellom B og C. Ta kun hensyn til bøyedeformasjoner. Fasit: A midt 4 5 q q 4 (nedover) (oppover) TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

15 Deformasjon pga temperatur Når et materiale varmes opp, utvider det seg. På tilsvarende måte vil det trekke seg sammen ved avkjøling. Temperaturtøyning: T T T T kalles temperaturutvidelseskoeffisienten (~1-5 K -1 ). For et isotropt materiale er T den samme i alle retninger. I bjelker og staver, hvor lengden er mye større enn tverrsnittsdimensjonene, neglisjeres vanligvis tverrtøyninger pga temperatur. i skiller mellom to tilfeller av temperaturinduserte deformasjoner Uniform temperaturøkning, hvor hele staven/bjelken får samme endring i temperatur T u Komponenten forlenges i akseretning (kun aksialtøyninger). Temperaturgradient, med ulik T g på over- og undersiden Komponenten krummer seg (bøyning) fordi den ene siden ekspanderer, mens den motsatte siden trekker seg sammen. T u T g T u Uniform temperaturøkning T g Temperaturgradient En temperaturendring i en eller flere komponenter vil dermed påvirke dimensjonene til de aktuelle komponentene. Dette fører igjen til forskyvninger i hele konstruksjonen. Disse kan regnes ut med enhetslastmetoden. TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

16 Uniform temperaturøkning Uniform temperaturøkning gir lengdeendring av komponenten, dvs normaltøyninger. Dette er relatert til aksialkraft-bidraget i uttrykket for indre virtuelt arbeid: N, N tot Den virtuelle spenningen N skyldes enhetslasten F = 1, og N skal dermed være i likevekt med F. Tøyningen N, tot er den totale, reelle (aktuelle) tøyningen i komponenten. Her er det nå to kilder: 1) Staven tøyes pga aksialkraft: N N / EA (behandlet tidligere; se side 5-5) ) Staven tøyes pga temperatur: T T u Enhetslastmetoden for tilfellet med uniform temperaturøkning blir da: d N F N T Tu dx dx EA y T Aktuelle tøyninger Kinematisk kompatible ikevekt igningen kan evt utvides med ledd for skjærkraft og torsjon. Disse blir som på side 5-1, dvs ingen termisk tøyning inngår For en ubelastet konstruksjon (kun T ): F NT Tudx TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

17 .4a Eksempel 5.6: Fagverk T A C T T = 8 C a = m E = 1 Pa A = 1 mm T = K -1 B a Stavene AC og BC utsettes for en temperaturøkning T. Beregn vertikal- og horisontalforskyvningen i C. Fasit: 4,6 (oppover) C mm CH 1,9 mm (til høyre) TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

18 Temperaturgradient En temperaturgradient gir krumning av komponenten. Krumning er relatert til bøyningsbidraget i uttrykket for indre virtuelt arbeid: d dx Antagelser i den videre utledningen: Forutsetter konstant gradient over tverrsnittshøyden Dobbeltsymmetrisk tverrsnitt Hele komponenten (hele lengden) utsettes for det samme temperaturfeltet Den ene overflaten (f.eks oversiden) får temperaturøkning T, mens på andre overflaten reduseres temperaturen + g med Tg anligvis, f.eks i forbindelse med en brann, vil temperaturen øke på begge overflatene, men noe mer på den ene flaten. Den totale endringen i temperaturfeltet kan da splittes i to bidrag: En uniform temperaturøkning T u pluss en temperaturgradient T g y T 1 T u T g = + T Komponent Temperaturendring T1 T T1 T Bidrag til T : Tu og Tg TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

19 Temperaturgradient (forts) Krumning pga temperaturgradient: T TT h/ g T T h g T g T = T T g h Komponent Temperaturgradient Tøyning og krumning Krumningsbidraget pga temperatur skal adderes til krumningsbidraget pga bøyemoment i uttrykket for indre virtuelt arbeid: T Tg d dx y h T Enhetslastmetode med begge temperaturbidrag: N T Tg F N T Tu dx dx EA y h T T ( I tillegg kommer indre virtuelt arbeid pga skjær og torsjon, se side 5-1. en leddene med og T påvirkes ikke av T.) TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

20 Eksempel 5.7: Ramme med temperatur A B T T inne = T + T C h T 1 Rammen ABC er bærekonstruksjon i et lagerbygg. I utgangspunktet er temperaturen både inne og ute lik T. På grunn av et branntilløp stiger temperaturen inne i bygget til T + T. Høyre del av figuren viser hvordan temperaturen blir over tverrsnittet i rammen. Temperaturøkning på innsiden (av både AB og BC) er T 1 = T, og på utsiden av komponentene er temperaturøkningen T =.5 T. (Årsaken til at utsiden av rammen ikke har utendørs temperatur T er at varme ledes gjennom rammens tverrsnitt. Tilsvarende på innsiden.) Tverrsnittet i rammen har høyde h, og materialet har temperaturutvidelseskoeffisient T. Bestem horisontalforskyvningen av A og rotasjonen i C pga temperaturøkningen. Sett h = /. Fasit: 135 T (venstre) 8 AH T 163 C T T (mot klokka) 8 TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

21 Statisk ubestemte systemer Statisk bestemte system: Alle opplagerreaksjoner og indre krefter (lastvirkning i form av N-, -, - og T-diagram) kan beregnes med likevektsligningene (kraftlikevekt og momentlikevekt). Kriterium for statisk bestemthet av plane konstruksjoner: Fagverk: l = s + r (l = #ledd (knutepunkt), s = #staver, r = #reaksjonskrefter) Bjelker og rammer: 3k = u (k = #komponenter, u = #ukjente) Temperaturendringer eller avvik fra ideell geometri (under montasje, pga setning) gir ingen tvangskrefter i systemet. Statisk ubestemte system: Antall ukjente reaksjoner overskrider antall uavhengige likevektsligninger. Kan løses med forskjellige metoder: Direkte bruk av differensialligning w = q(x)/. Kun aktuelt for enkle bjelker. Kraftmetoden (superposisjonsmetoden). ager et statisk bestemt grunnsystem (SBG) ved å fjerne et tilstrekkelig antall ukjente. å beregne deformasjonen og etterpå forlange kompatibilitet der de ukjente er fjernet. Deformasjonsberegningen foregår f.eks ved bruk av elementærbjelker (ekanikk ) eller enhetslastmetoden (ekanikk 3). Forskyvningsmetoden. Spesialtilfelle av elementmetoden. Kommer i TKT418 KEK Beregn.met. Basis for alle numeriske beregningsprogram. I en statisk ubestemt konstruksjon vil det vanligvis oppstå tvangskrefter hvis den utsettes for temperaturendringer eller avvik fra ideell geometri. TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

22 Kraftmetoden etoden er basert på superposisjonsprinsippet og enhetslastmetoden, og illustreres med en tofeltsbjelke som eksempel. q Statisk bestemt grunnsystem (SBG) q q 8 q q Tofeltsbjelken i figuren til venstre er 1 gang statisk ubestemt. Bjelken gjøres om til et statisk bestemt grunnsystem (SBG) ved å fjerne høyre opplager. Forskyvningen i høyre ende pga den jevnt fordelte lasten q bestemmes med enhetslastmetoden: 1 ~ F = 1 ~ q1 1 q q1 q dx 4 1 q q Kommentar: SBG kan dannes på mange forskjellige måter. Fordelen med å ta bort det høyre opplageret er at diagrammet q får bidrag kun fra venstre felt. TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

23 Kraftmetoden (forts.) X X ~ F = 1 1 X X ~ X1 Statisk ubestemt kraft X Nå fjernes ytre last q fra SBG, og i stedet påføres den statisk ubestemte kraften X i høyre opplager. Forskyvningen pga X i høyre ende blir: 1 X X1 X dx 3 1 X X Kommentar: egg merke til at diagrammene X, X1og q1 alle har samme form. q Superposisjon 7 16 q 1 16 q X 1 16 q Tilfelle og summeres, og siden høyre opplager skal ha null netto forskyvning, kreves: q q 16 q q X X 16 Nå kan de tre øvrige lagerreaksjonene bestemmes med tre likevektsligninger, og totalt -diagram er: = q + X (X=q/16) TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

24 Eksempel 5.8: Statisk ubestemt bjelke F q A B C D Bjelken ABCD har konstant bøyestivhet. Sett F = q. Bestem opplagerreaksjonene til bjelken. Tegn moment- og skjærkraftdiagram. Regn ut vertikalforskyvningen i punkt A. Ta kun hensyn til bøyedeformasjoner i deformasjonsberegningen. Fasit: q 48 4 Cz q (nedover), A (nedover) Bz q (oppover), 7 Az q 8 4 (oppover) TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

25 Kraftmetoden generell prosedyre Beregningen på sidene 5- og 5-3 kan systematiseres. En essensiell observasjon er at de tre diagrammene X, X1og q1 er formlike (dog har q1 motsatt fortegn), og disse er kalt 1 nedenfor. Forskyvningene av høyre ende omdøpes til 1 og 11. idere kalles den statisk ubestemte kraften X 1, og denne settes i første omgang lik 1. q Null forskyvning av høyre opplegg: 1 1 dx q q 8 1 Totalt -diagram (superposisjon) er = + X 1 1 : Omskriver: X dx X 1 = dx X dx øsning: X1 11 q q q dx X dx TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

26 Generell prosedyre (forts.) Hittil: Konstruksjon som er 1 gang statisk ubestemt. For en konstruksjon som er n ganger statisk ubestemt må n bindinger fjernes for å få SBG, og kontinuitetskrav resulterer i n betingelser, dvs n ligninger med n ukjente X j : n X, i 1,,..., n i ij j j1 Hvor: ij dx N N i j i j EA dx Bøyedeformasjoner Eventuelle staver Kommentarer: I bjelker tar vi som regel kun hensyn til bøyedeformasjoner. Deformasjoner pga N og neglisjeres. I staver er N den eneste lastvirkning, siden staver kun har NN i j aksialkraft. Derfor er leddet dx aktuelt for konstruksjoner hvor det inngår staver, f.eks fagverk og EA enkeltstående staver i rammer. Den statisk ubestemte kraften X j kan være en kraft eller et moment. Eksempler: Kraft i opplager (side 5-5) Innspenningsmoment (Eksempel 5-1) Hjørnemoment Støttemoment Stavkraft (side 5-7) TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

27 Kraftmetoden med aksialdeformasjon Konstruksjon med stavkraft (Irgens, Eksempel.5) H / / q 8 q X 1 X 1 SBG N N 1 En fritt opplagt bjelke med jevnt fordelt last q er hengt opp i en stav i midtpunktet. Bjelken har bøyestivhet. Staven har aksialstivhet EA. SBG etableres ved å fjerne staven, og innføre stavkraften som ukjent X 1. Diagrammene og N ovenfor er hhv moment- og aksialkraftdiagram pga den jevnt fordelte lasten q. erk at N. Diagrammene 1 og N 1 ovenfor er hhv moment- og aksialkraftdiagram pga den statisk ubestemte kraften X 1 = q 5 q H 1 H X EA 48 EA Bøyedef. Aksialdef. 4 5 q H 48 EA Omskriver: X1 5 1 q 8 HI 1 48 aks stavkraft 3 A Faktor mellom og 1 Jo stivere staven er (høyere EA/H), jo høyere blir kraften i staven! Dette er vanlig i statisk ubestemte system: Stive komponenter får mer last. TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

28 Deformasjonsberegninger Forskyvninger (eller rotasjoner) i statisk ubestemte konstruksjoner beregnes i prinsippet på samme måte som for statisk bestemte system: En enhetslast (eller et enhetsmoment) påføres i det punktet vi er interessert i å bestemme deformasjonen. en det er to veier til målet: Den tungvinte, og den elegante. Tungvint beregning: Enhetslasten påføres det statisk ubestemte systemet. Konsekvens: å først løse det statisk ubestemte systemet mhp enhetslasten for å finne, og deretter bruke enhetslastmetoden for å finne forskyvningen (evt rotasjonen). Elegant beregning: Enhetslasten påføres det statisk bestemte grunnsystemet (SBG). omentdiagrammet lar seg dermed enkelt bestemme. I selve deformasjonsberegningen benyttes denne en (fra SBG) og momentdiagrammet som allerede er bestemt for det statisk ubestemte systemet. Hvorfor går det an å kombinere og fra to ulike system? Husk : 1 dx Kinematisk kompatible ikevekt Enhetslastmetoden forutsetter at F = 1 er i likevekt med. Disse er relatert til SBG. Deformasjonstilstanden definert ved og krumningen / er uavhengig av F og. Dermed kan og / relateres til det aktuelle, statisk ubestemte systemet, men og / må være kompatible, dvs samhørende. Og: Opplagerbetingelsene på SBG må være slik at kun F gjør arbeid over det aktuelle forskyvningsfeltet. TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

29 Deformasjonsberegninger (forts.) Eksempel: Tofelts bjelke tungvint beregning. q i ønsker å finne forskyvningen midt i det høyre feltet. - diagrammet pga q er bestemt på side 5-3. omentet i det venstre feltet kan med fordel splittes i en parabel og en trekant: = 49 q 51 q q q / / F=1 F = Nå regner vi omstendelig, og setter enhetslasten midt i høyre felt på det statisk ubestemte systemet. Dette systemet må da løses først, og vi velger samme SBG som tidligere (fjerner høyre opplager). -diagram og 1 er vist til venstre. i får: X 1 = X TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

30 Deformasjonsberegninger (forts.) Eksempel: Tofelts bjelke tungvint beregning (forts.). Det totale -diagrammet pga enhetslasten kalles, og fås ved å summere og 1 nederst på forrige side: = + X 1 1. Det er hensiktsmessig å la totaldiagrammet fremstå som denne summen, se høyre figur nedenfor. q 8 Nå gjenstår det å anvende enhetslastmetoden med diagrammene ovenfor: 1 dx q q q enstre felt: Parabel og differanse enstre felt: Trekant og differanse mellom to trekanter mellom to trekanter 1 13 q 1 1 q / 1 1 q / Hele høyre felt: enstre del av høyre felt: enstre del av høyre felt: Trekant og trekan t Trekant og trekan t Fir kant og trekan t ~ q Oppsummering: Arbeidskrevende strategi siden vi først må løse det statisk ubestemte systemet på nytt (nederst på forrige side), og deretter kombinere og som begge er relativt kompliserte. TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

31 Deformasjonsberegninger (forts.) Eksempel: Tofelts bjelke elegant beregning. q ~ F = 1 / / Nå utnyttes virtuelle krefters prinsipp fullt ut ved beregning av forskyvningen. SBG velges slik at kun enhets-lasten F = 1 gjør arbeid, se figur nr til venstre. Det er her lagt et momentfritt ledd over midtstøtten. Foruten enhetslasten F = 1 opptrer det to opplagerkrefter lik 1/, men disse gjør ikke noe arbeid siden det reelle forskyvningsfeltet er slik at det er null forskyvning i støttene. -diagrammet blir meget enkelt: q 8 q ~ Nå er det kun høyre felt som gir bidrag i arbeidsbetraktningen: 1 dx 1 1 q / 1 1 q / 1 1 q / enstre del av høyre felt: enstre del av høyre felt: Høy re del av høyre felt: Trekant og trekan t Fir kant og trekan t Trekant og trekan t q TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

32 Deformasjonsberegninger (forts.) Eksempel: Tofelts bjelke feilaktig forsøk på elegant beregning. q ~ F = 1 / / 1 Et annet SBG er vist i figur nr til venstre. Nå er det valgt en utkragerbjelke som er innspent i høyre ende, og det tilhørende innspenningsmomentet er 1 /. Dette momentet er problematisk i forhold til virtuelle krefters prinsipp, fordi produktet mellom 1 / og vinkelen må tas med på venstre side i arbeidsbetraktningen. q 8 q 16 1 ~ Hvis vi glemmer bidraget 1 på venstre side fås: 1 1 q / 1 q 1 dx og dette er fullstendig feil. Korrekt oppsett i dette tilfellet er: dx... q 768 men nå er det to ukjente på venstre side ( og ), og vi får dermed ikke ut den informasjonen vi ønsker (dvs isolere utbøyningen ). 4 TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

33 Eksempel 5.9: Statisk ubestemt ramme (Cook & Young, oppgave 4.7-3) En rektangulær ramme er påkjent av to krefter P som vist på figuren ovenfor. Bestem det elastiske momentdiagrammet. Neglisjer aksial- og skjærkraftdeformasjoner. Utnytt symmetrien i problemet. Hvor mye øker avstanden mellom de to punktene der kreftene P angriper? Bestem rammens bruddlast ved hjelp av en flyteleddbetraktning. Fasit: 3 Pb P, PB 4 4 TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

34 Kraftmetoden med temperatur øsningsstrategien skal illustreres med et eksempel: A B T D C / / / Konstruksjonen til venstre består av to utkragede bjelker AB og CD som er forbundet med en stav BC. (BC er en stav fordi den har ledd i begge ender og null tverrlast.) Systemet er én gang statisk ubestemt. (Ukjente er A x, A z, A, D x, D z, D og N BC.) i skal beregne kreftene som oppstår i konstruksjonen pga en temperaturøkning T i staven BC. Påfør T i et statisk bestemt grunnsystem (SBG) B C 1 / / 1 / Konstruksjonen gjøres statisk bestemt ved å fjerne staven BC. Nå som systemet er statisk bestemt, kan det deformere seg fritt pga T uten at det oppstår noen krefter. Siden staven varmes opp, vil den forlenge seg: 1 T Deformasjonen pga T i det statisk bestemte grunnsystemet betegnes 1 i tråd med vanlig praksis for beregning av statisk ubestemte system. Det nye nå er at belastningen (eller formelt: kilden for tøyninger) er temperatur, og ikke fordelte laster q eller punktlaster F. Siden staven med dette valget av SBG er skilt ut fra resten av systemet, er bjelkene upåvirket av temperaturøkningen. TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

35 Kraftmetoden med temperatur (forts.) Påfør statisk ubestemt kraft X 1 = 1 på SBG I henhold til vanlig løsningsprosedyre for statisk ubestemte system påføres den statisk ubestemte kraften X 1 = 1 (antar at det blir trykk i stav BC, se figur nedenfor), og den tilhørende deformasjonen 11 (= 11,B + 11,C ) beregnes: 11,B X 1 =1 X 1 =1 / 11,C dx 1 1 / TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

36 Kraftmetoden med temperatur (forts.) Kontinuitetskrav Den statisk ubestemte kraften X 1 må ha en slik størrelse at deformasjonene i trinn og er like store (merk at 1 og 11 begge øker avstand mellom B og C): T 1 4 T 1 X1 11 X (Beholdt positivt fortegn, dvs at antagelsen om trykk i staven i trinn er korrekt. Sjekk selv at utrykket er dimensjonskorrekt.) Opplagerkreftene blir: 4 T 3 T 3 A z 4 T Dz 3 (A z virker nedover, D z oppover) Innspenningsmomentene A og D fremgår av - diagrammet. TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

37 Kraftmetoden med temperatur generell prosedyre Generell deformasjonsberegning med både aksial- og bøyningsbidrag, jfr. side 5-19: Nj j 1ij Ni Tj dx i Tj dx EA Eksempelet (side 5-34 til 5-36) på nytt: T T T T Det velges samme SBG, og dette belastes med T i stav BC. Temperaturtøyningene T blir da lik T i BC, mens T er null i bjelkene AB og CD. En statisk ubestemt strekk-kraft X 1 = 1 i staven gir 1 - og N 1 - diagram som vist nedenfor. X 1 =1 X 1 =1 1 1 N N1 T dx 1 T dx X 4 T (Samme resultat som tidligere!) TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden

38 Eksempel 5.1: Ramme med temperatur A B T T inne = T + T C h T 1 Rammen ABC er bærekonstruksjon i et lagerbygg. I utgangspunktet er temperaturen både inne og ute lik T. På grunn av et branntilløp stiger temperaturen inne i bygget til T + T. Høyre del av figuren viser hvordan temperaturen blir over tverrsnittet i rammen. Temperaturøkning på innsiden (av både AB og BC) er T 1 = T, og på utsiden av komponentene er temperaturøkningen T =.5 T. Tverrsnittet i rammen har bøyestivhet og høyde h. Sett h = /. aterialet har temperaturutvidelseskoeffisient T. Rammen har glidelager i punkt A og fast innspenning i punkt C. Den er dermed 1 gang statisk ubestemt. Bestem opplagerreaksjonene i rammen pga temperaturøkningen. Tegn N-, - og -diagram. Regn dessuten ut horisontalforskyvningen i punkt A. 489 TT Fasit: Az (nedover) 8 C 489 T 9 (oppover) 8 8 T, z A T T TKT414 ekanikk 3, høst Enhetslastmetoden