Statikk og likevekt. Elastisitetsteori

Transkript

1 Statikk og likevekt Elastisitetsteori YS-MEK

2 man tir ons tor fre uke forelesning: likevekt innlev. oblig 9 innlev. oblig gruppe: gravitasjon+likevekt forelesning: elastisitetsteori datalab forelesning: spes. relativitet forelesning: spes. relativitet forelesning: repetisjon gruppe: gravitasjon+likevekt Himmelfart gruppe: gravitasjon+likevekt datalab gruppe: spes. relativitet gruppe: spes. relativitet gruppe: spes. relativitet gruppe: repetisjon ingen forelesning gruppe: repetisjon gruppe: repetisjon ingen forelesning orakel 0-4 Ø394 ingen forelesning orakel -4 V39 ingen forelesning EKSAMEN

3 Eksamen: Tirsdag, 3. Juni, 9:00 3:00 Tillatte hjelpemidler: Øgrim og Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller* Angell, Lian, Øgrim: ysiske størrelser og enheter: Navn og symboler* Rottmann: Matematisk formelsamling* Elektronisk kalkulator av godkjent type. * ikke nødvendig ormelark er del av oppgaveteksten. Tidligere eksamensoppgaver: YS-MEK

4 Eksempel: stige O N begge sider må begynne å skli samtidlig det skjer hvis N N retning: N og N y G N y retning: N G 0 G N N N N G cos kraftmoment: N sin cos 0 N G tan 0 N G N G N tan tan tan G G hvis vinkelen er mindre begynner stigen å skli (uavhengig av vekten til stigen) hvis tan min min YS-MEK

5 access number:78 En kiste står på et skråplan. Massesenteret er markert med et punkt. I hvilken av de fire tilfeller velter kisten (hvis i det hele tatt)?. A. B 3. C 4. D 5. alle er stabilt YS-MEK

6 Eksempel: kiste på skråplan b En homogen kiste med masse m, bredde b og høyde h står på et skråplan med vinkel α. Hva er betingelser for likevekt? krefter på kisten: gravitasjon G retning: f mg sin α = 0 y retning: N mg cos α = 0 normalkraft N friksjon f y G N O c h f kraftmoment om O: Nc + h mg sin α b mg cos α = 0 c + h tan α b = 0 c = betingelse (b h tan α) kisten kan enten skli eller velte hvis den velter er O den eneste kontaktpunkt og c = 0 for at kisten velter: tan α = b h YS-MEK

7 Eksempel: kiste på skråplan b f mgsin kisten begynner å skli hvis: kritisk vinkel: N mg cos f N c ( b h tan) mgsin mg cos tan G N O c h f samtidlig må være: c 0 h b tan ellers har kisten allerede veltet kisten begynner å velte hvis: c 0 kritisk vinkel: b h tan samtidlig må være: f N tan ellers har kisten allerede sklidd eksempel: 0. 5 b 0. 4 kisten sklir ved a crit arctan( ). 8 h b 0.6 kisten velter ved acrit arctan 6. 6 h YS-MEK

8 Elastisitetsteori Hvordan blir faste stoffer deformert når de påvirkes av krefter? Vi har så langt modellert deformasjoner med fjærkrefter: k YS-MEK

9 bjelke i likevekt: vi tenker oss en imaginær snittflate vi tenker oss en snittflate på en atomær skala YS-MEK

10 vekselvirkningspotensialet mellom atomer ser typisk ut som dette: r 0 U / U 0 Taylorutvikling om minimumspunktet r 0 : U( r) U( r0 ) U( r0 )( r r0 ) U ( r0 )( r r0 )... for et minimumspunkt er: U( r 0 ) 0 vi definerer: k U r ) ( 0 r / r 0 Lennard-Jones potensial r0 r0 U( r) U0 r r 6 U( r) U( r r 0 ) k( r 0) du d ( r) U( r ) k( r r dr dr 0 0) k ( r r ) 0 fjærkraft YS-MEK

11 kubisk krystall kraft mellom to atomer i retning: f k( ) 0 kraft på en snittflate med areal k( ) N N 0 y z A N y l N z l A k l l k l Hookes lov A spenning l tøyning E l k Elastisitetsmodul Youngs modul enhet: N m Pa YS-MEK

12 Elastisitetsmodul eksempler: stål 0 Pa = 00 GPa = 00 kn/mm bly 9 GPa silikon 0.05 GPa Eksempel Et lodd på kg henger i en ståltråd med mm diameter og lengden m. Hva er forlengelsen av tråden? spenning: A mg kg 9.8 m/s r (50 ) m 7 Pa E L L E Pa m Pa m 6.5 m YS-MEK

13 access number:78 To staver, en med lengde L og en med lengde L/ er laget av samme type stål og har samme diameter. En kraft anvendes i hver ende av stavene som vist. Sammenliknet med staven med lengde L har staven med lengde L/ Lengde L Lengde L/. Større spenning og større tøyning. Samme spenning og større tøyning 3. Samme spenning og mindre tøyning 4. Mindre spenning og samme tøyning 5. Samme spenning og samme tøyning E E A L Hookes lov A spenning samme kraft, samme diameter samme spenning E er en materialegenskap samme tøyning L tøyning YS-MEK

14 tøyning i retning: E tøyning i y retning: y y y E tverrkontraksjonstall Poissons tall volumendring: V ( )( y y)( z z) yz V V y ( z) ( y) z ( ) yz y y z z ( ) volum er konstant for de fleste materialer YS-MEK

15 noen materialer har negativ Poissons tall YS-MEK

16 Spennings-tøyningskurve plastisk deformasjon sammentrekning elastisk deformasjon brudd Hookes lov: E YS-MEK

17 Skjærdeformasjon normalspenning: A E skjærspenning: y A y G y G: skjærmodul skjærmodulen G er relatert til elastisitetsmodulen E og tverrkontraksjonstallet for isotrope materialer: G E ( ) YS-MEK

18 Vridning to motsatte kraftmomenter T vrir en tråd om en vinkel φ torsjonsmodul: D r T relatert til skjærdeformasjon D GR r l 4 G: skjærmodul YS-MEK