201303 ECON2200 Obligatorisk Oppgave

201303 ECON2200 Obligatorisk Oppgave Oppgave 1 Vi deriverer i denne oppgaven de gitte funksjonene med hensyn på alle argumenter. a) b) c),, der d) deriveres med hensyn på både og. Vi kan benytte dee generelle uttrykket for å finne den deriverte, der. Side 1 av 19

e) Vi kan til slutt finne og for der og. Vi kan med andre orde løse for., der, der Side 2 av 19

Oppgave 2 Vi lar være gitt implisitt som en funksjon av gjennom ligningen og ønsker så å finne ved implisitt derivasjon., der Vi har med dette funnet ved implisitt derivasjon. Side 3 av 19

Oppgave 3 Vi ønsker så å maksimere under bibetingelsene. Vi benytter oss her av Lagranges metode. Deretter finner vi de stasjonære punktene for så å løse med hensyn på. Dette gir uttrykket som vi kan bruke for å finne ekstremverdiene. Vi tar utgangspunkt i bibetingelsene og setter inn for fra. Tilsvarende kan vi nå gjøre for. Fra dette har vi nå at at er maksimert under bibetingelsene ved og. Vi har likevel ikke bestemt hva som er minimums- og maksimumspunkt. Betrakter vi nå, kan vi veldig enkelt avgjøre hva som er minimum og maksimumspunkt under bibetingelsene. Gitt at våre variable kun har relle ledd og ingen imaginære ledd, altså, så ser vi her at vi får maksimumspunktene når enten både og er positive eller når de begge er negative. Med andre ord er maksimumspunktene innenfor bibetingelsene og. Minimumspunktene vil da være gitt som og. Side 4 av 19

Oppgave 4 En bedrift produserer to ulike varer i kvantum og. Kostnadene ved produksjonen er, mens inntektene er, der og er prisene på de to varene. Bedriftens profitt blir da. a) Vi ønsker så å finne førsteordensbetingelsen for profittmaksimum, gitt at bedriften produserer et positivt kvantum av begge varer. Vi gjør dette ved å partisiellderivere med hensyn på og som gir oss to uttrykk for førsteordensbetingelsen. der. Førsteordensbetingelsen vår er dermed der gir den deriverte av kostnadene ved produksjon med hensyn på. b) Deretter ser vi på hva som må kreves av kostnadsfunksjonen for at stasjonærpunktene skal være profittmaksimum (antar konveks kostnadsfunksjon). Vi betrakter da andreordensbetingelsen som sier at vi finner maksimum for konveks dersom og. Dette kan uttrykkes ved å substituere for der. og Det er dette som må kreves av kostnadsfunksjonen for at stasjonærpunktene skal være profittmaksimum. c) Vi antar videre at produksjonen av er gitt, og at bedriften bare kan velge. Vi kan også anta at for alle. Vi ønsker så å finne betingelsen for at skal være det profittmaksimerende valget. er her mariginalkostnaden, og vi kan fra dette trekke at dersom Side 5 av 19

så vil være det profittmaksimerende valget. Vi kan tolke dette som at profitten vil bli negativ for enhver produsert mengde større enn 0, slik at grensekostnaden for produktmengden er akkurat lik produktprisen. d) Vi antar så at det optimale kvantumet er strengt positiv, og ønsker å finne et uttrykk for som er et analytisk uttrykk for den effekten en produktprisøkning har på optimalt tilbudt kvantum. Vi tar nå utgangspunkt i førsteordensbetingelsen og deriverer denne med hensyn på produktprisen, når vi samtidig befinner oss på den stigende delen av grensekostnadskurven. Dette gir oss med positivt fortegn da vi fra førsteordensbetingelsen har at med. Vi kan trekke dette fra beslutningsregel 2 (Strøm og Vislie) som sier at det oppnås et profittmaksimum i et punkt på den stigende delen av grensekostnadskurven der grensekostnaden er lik den gitte produktprisen, dersom drift er lønnsomt. Altså er grensekostnaden stigende gjennom punktet, noe som medfører. Side 6 av 19

Oppgave 5 Funksjonen er gitt ved. a) Vi ønsker først å utlede et uttrykk for uten først å regne ut. Vi gjør dette som vist under. Argumentet må beholdes da vi betrakter et tredimensjonalt plan. b) Videre ønsker vi å løse maksimeringsproblemet og på denne måten finne. Vi benytter oss her av omhylningsteoremet og antar mens som ved utregning gir oss. Her er en maksimumsverdi som løser optimaliseringsproblemet. c) Fra det samme teoremet har vi også at slik at der vi har behandlet som en konstant - - og benyttet løsningen for i b) for å finne. Sammenligner vi nå svaret i denne del oppgaven og i oppgave a) ser vi at svarene er tilsvarende. I har vi uttrykt maksimumsverdien som, mens vi i har den uttrykt funksjonen som. Vi kan med andre ord si at som vi har vist gjennom denne oppgaven. Side 7 av 19

Oppgave 6 Vi betrakter så en bedrift som produserer en vare over en bestemt periode i mengde ved bruk av en produksjonsfaktor som vi kan oppfatte som antall arbeidstimer brukt i perioden. Denne faktorinnsatsen kaller vi for og antar at sammenhengen mellom og kan uttrykkes gjennom produktfunksjonen under der er en positiv konstant (produktivitetsparameter) og en konstant større enn null. a) Vi kan fra bestemme grenseproduktiviteten og gjennomsnittsproduktiviteten, samt beregne grenseelastisitenen. Vi har først at grenseproduktiviteten er gitt ved og videre at gjennomsnittsproduktiviteten er gitt som som vi kan bruke for å beregne grenseelastisiteten. Vi ser her at grenseproduktiviteten synker med, med andre ord hvis. Tilsvarende ser vi at gjennomsnittsproduktiviteten synker med dersom. b) Når det kommer til forløpet for produktsammenhengen vil størrelsen på bestemme forholdet mellom produksjon og faktorinnsats, hhv. og. Vi kan illustrere forløpet for produktfunksjonen for verdier av mindre enn én, lik én og større enn én på figur 6.1 på neste side. Vi ser fra figur 6.1 at vil gi et lineært forhold mellom og. vil gi et økende eksponentielt forhold, mens vil gi et avtakende eksponentielt forhold mellom og. Side 8 av 19

Figur 6.1: Forløpet for produktfunksjonen for verdier av én. mindre enn én, lik én og større enn c) Vi ønsker så å finne nødvendig innsats av arbeidskraft for en vilkårlig produktmengde. Dette gjøres ved å skrive om uttrykket til under. Denne faktorinnsatsfunksjonen vil ha forskjellige egenskaper for forskjellige. For vil uttrykket øke eksponentielt, for vil uttrykket være et lineært forhold mens vi for vil få en avtagende funksjon. Dette vises i figur 6.2 på neste side. Vi kan også påpeke at sammenhengen mellom faktorinnsatsfunksjonen og det opprinnelige uttrykket er at faktorinnsatsfunksjonen er den inverse av produktfunksjonen. Side 9 av 19

Figur 6.2: Egenskapene ved faktorfunksjonen vist for forskjellige og. Figuren viser med andre ord at faktorinnsatsfunksjonen er den inverse av produktfunksjonen. d) Vi lar videre prisen per arbeidstime være kroner og utleder så kostnadsfunksjonen med den antakelse at det ikke forekommer faste kostnader. Kostnadene vil dermed utgjøre faktorinnsatsen (antall arbeidstimer) multiplisert med prisen per arbeidstime som gir oss uttrykket. Vi har her satt inn for. Videre utleder vi grense- og gjennomsnittskostnad, hhv. og, for ulike verdier av. Side 10 av 19

, Fra dette har vi utledet at grensekostnaden er gitt ved mens gjennomsnittskostnaden er gitt ved. Vi ser at disse vil variere med forskjellige verdier av. e) Vi antar så at bedriften opptrer som prisfast kvantumstilpasser i alle markeder, og antar videre at det ferdige produktet kan selges til en gitt pris kroner per enhet av. Bedriftens mål vil fortsatt være profittmaksimering, og vi ønsker å gjøre rede for profittmaksimeringsproblemet for ulike verdier av, og spesifisere under hvilke betingelser pris lik grensekostnad vil gi den produksjonsbeslutningen som maksimerer overskuddet. Vi ser i figur 6.3 hvordan ulike verdier for virker inn på profittmaksimeringsproblemet. Figur 6.3: Førsteordensbetingelsen for profittmaksimum vist som forskjellige verdier av. for forskjellige I figur 6.3 over er plottet for funnet gjennom den deriverte av profittfunksjonen altså. Side 11 av 19

Dersom man løser førsteordensbetingelsen med hensyn på, så får en som er det figur 6.3 viser for forskjellige. Når det kommer til hvilke betingelser som skal gi den produksjonsbeslutningen som maksimerer overskuddet, så finnes det tre betingelser vi må forholde oss til. Den første er som sier at prisen per produserte enhet ikke må overstige den gjennomsnittlige enhetskostnaden. Dersom denne betingelsen ikke opprettholdes oppnår vi et tap per solgte enhet. Videre har vi førsteordensbetingelsen som definerer profittmaksimum, og til slutt andreordensbetingelsen for å sørge for at denne er tilfredstilt. og er de tre betingelsene som må overholdes dersom pris lik grensekostnad skal gi den produksjonsbeslutningen som maksimerer overskuddet. f) Vi antar videre at, og utleder så bedriftens tilbudsfunksjon for det ferdige produkt og etterspørselsfunksjon for arbeidstimer fra. Vi finner så at bedriftens tilbudsfunksjon er gitt ved mens vi finner etterspørselsfunksjonen for arbeidstimer ved å sette inn i. Vi har fra dette funnet både bedriftens tilbudsfunksjon for det ferdige produkt og etterspørselsfunksjon for arbeidstimer. Videre skal vi se på hvordan tilbud og etterspørsel varierer med en endring i hhv. og. Vi begynner med tilbudsfunksjonen. Side 12 av 19

Vi ser fra dette at tilbudsfunksjonen vokser med en endring i enhetsprisen, og avtar med en endring i prisen per arbeidstime. Tilsvarende kan vi gjøre for. Her ser vi at etterspørselsfunksjonen avtar med en endring i enhetsprisen, mens den vokser med en endring i prisen per arbeidstime. Vi ser til slutt på hvordan en produktivitestforbedring vil virke inn på bedriftens optimale beslutninger. Vi ser fra dette at en produktivitetsforbedring ikke vil ha noen virkning på antall arbeidstimer, men at produksjonen likevel vil øke. g) Vi kan i stedet for å gå veien om kostnadsfunksjonen, maksimere profitten for bedriften ved direkte valg av. Vi setter her inn i profittfunksjonen vår der vi antar at, og vi videre deriverer med hensyn på. Dersom vi nå løser uttrykket for, finner vi som er den arbeidsinnsatsen som skal til for å maksimere profitten. er da førsteordensbetingelsen vår, mens er andreordensbetingelsen. Side 13 av 19

Oppgave 7 I denne oppgaven betrakter vi en bedrift som produserer en vare i mengde arbeidskraft og energi, der produktfunksjonen er gitt ved ved hjelp av. Bedriften minimerer kostnadene for gitt produktmengde, til gitte priser på de to produksjonsfaktorene. Vi lar lønn per enhet arbeidskraft være og pris per enhet være. i) Det første vi ønsker å gjøre er å vise at produktfunksjonen har konstant skalautbytte. Konstanten betrakte elastisiteten som vi gjør først.. Dette kan vises på to måter. Den ene ved å Fra dette får vi at som viser at produktfunksjonen har konstant skalautbytte. Alternativt kan dette vises ved å legge til en faktor på både og. Fra ser vi at produktfunksjonen har konstant skalautbytte. Videre ønsker vi å utlede den marginale tekniske substitusjonsbrøk og vise at denne er avtakende. Fra dette har vi at den marginale tekniske substitusjonsbrøk er og avtagende da den vil synke med. Vi kan vise at denne er avtakende ved å derivere med hensyn på. Vi ser fra uttrykket at er avtagende. Side 14 av 19

ii) Videre ønsker vi å stille opp bedriftens kostnadsminimeringsproblem og utlede de betingene faktoretterspørselsfunksjonene og Her vil kostnadsminimeringsproblemet til bedriften være gitt ved der. Vi kan løse dette ved hjelp av Lagranges metode, og lar lagrangefunksjonene være gitt som Siden vi når antar at det finnes en indre løsningen, vil det finnes en konstant slik at den kostnadsminimerende faktorkombinasjonen finnes som stasjonærpunktene. Vi kan videre eliminere Lagrangemultiplikatoren som gir oss den marginale tekniske substititusjonsbrøk. Vi kan med og produksjonskravet utlede de betingede faktoretterspørselsfunksjonene og. Vi kan løse da vi har regnet ut i tidligere. Setter vi inn dette i produksjonsfunksjonen får vi som vi kan løse for. Tilsvarende setter vi inn og løser for. Vi har dermed funnet og. Videre kan vi illustrere løsningen for gitte priser i figur 7.1. Side 15 av 19

Figure 7.1: For gitt isokvant over. og gitte priser, kan løsningen illustreres som i figuren iii) Vi kan så utlede kostnadsfunksjonen, for så å bestemme grense- og gjennomsnittskostnad. Kostnadsfunksjonen,, vil nå være den minimerte verdien av samlede faktorutlegg. Videre har vi at grensekostnaden er der mens gjennomsnittskostnaden er gitt som. Vi ser her at. Gjennomsnittskostnaden vil dermed være lik grensekostnaden uavhengig av produksjonskalaen. Dette da kostnaden er lineær med tanke på produksjonsmengden. For å utdype dette kan vi skrive om for å vise den lineære sammenhengen. Side 16 av 19

iv) Til slutt ønsker vi å bruke egenskaper ved kostnadsfunksjonen til å belyse hvordan varierer med faktorprisene. Vi introduserte i forrige oppgave enhetskostnadsfunksjon,, og vi kan bruke denne videre for å belyse hvordan varierer med faktorprisene. Vi kan gjøre dette da er den deriverte kostnadsfunksjonen med hensyn på. Fra dette følger gjennom substitusjon, der vi ser at den andrederiverte er negativ da økt lønn vil føre til redusert bruk av arbeidskraft. Det vil videre følge at der energibruken økes for at samme produktmengde skal opprettholdes (jmf. figur 7.1). Dette følger direkte fra mulightene for substitusjon. Med andre ord kan vi forklare det som at det brukes mer av faktoren som blir relativt billigere. Side 17 av 19

Oppgave 8 Vi antar så at en konsument har preferanser over to varer av følgende type:, med som en konstant som viser et minimumsbehov for vare 1, og en positiv konstant. Vi lar prisene på de to varene være og, og antar at nominell inntekt er Vi ønsker å utlede tilpasningen ved hjelp av Lagranges metode og fastlegge etterspørselsfunksjonene for de to varene. og medfølgende bibetingelser. Løsningen på dette problemet kan representeres gjennom det vi kjenner som Hicks etterspørselsfunksjoner, og. Tilpasningen blir da Det vil fra dette være mulig å fastlegge etterspørselsfunksjonene for de to varene. Side 18 av 19

Kilder Sydsæter, Knut (2010). Matematisk analyse. Gyldendal Akademisk. Strøm, S. og Vislie, J. (2008). Økonomisk atferd, beslutninger og likevekt: En innføring i analytisk mikroøkonomi. Universitetsforlaget. Side 19 av 19