R - 0.09.4 - Løsningsskisser Algebra Oppgave Finn den eksplisitte formelen for n te ledd i tallfølgene: a), 4, 6, 8, 0,... b),, 5, 7, 9,... c), 4, 9, 6, 5,... d),, 4, 5 4, 6 5,... a) Vi ser at følgen med like-tallene har verdi lik det dobbelte av indeksen; l n n b) Følgen med ulike tall er en mindre enn liketallene, altså; u n n c) Alle tallene er kvadrattall; k n n d) Nevner lik indeks, teller en større; a n n n Kontroll av svar: Sett inn tall i formler og test om du får tallene i følgen. GGB på d): Følge[(n )/n,n,,0] gir svaret,, 4, 5 4, 6 5, 7 6, 8 7, 9 8, 0 9, 0 Oppgave Finn den rekursive formelen for tallfølgene: a),, 5, 7, 9,... b),, 9, 7, 8,... c), 4, 9, 6, 5,... d),, 6, 0, 5,... a) Differansen mellom leddene er d n a n a n, så vi har; u, u n u n (eller: u n u n ) b) Vi multipliserer hvert ledd med ; a, a n a n (eller: a n a n ) c) Differansene blir:, 5, 7, 9,..., altså ulike tall som starter med, så vi bruker n istedenfor n ; k, k n k n n (eller: k n k n n ) H-P Ulven av 5 r_0094_ls.tex
Kunne også regnet ut differansen som et uttrykk: d n k n k n n n n n n n d) Trekanttallene, har,, 4, 5,... som differanse, altså de naturlige tallene fra og oppover: d n n ; t, t n t n n (eller: t n t n n) Oppgavene a) og b), hvor uttrykket ikke avhenger av n, kan regnes ut med: f(x): x (legger til hver gang, leddet foran symboliseres med x.) IterasjonListe[f(x),,0] gir da:,, 5, 7, 9,,, 5, 7, 9, Tilsvarende for b): f(x): x (Multipliserer med hver gang.) IterasjonListe[f(x),,0] gir da:,, 9, 7, 8, 4, 79, 87, 656, 968, 59049 Oppgave En tallfølge har den eksplisitte formelen a n 4n for n te ledd. a) Finn de fem første leddene. b) Finn en rekursiv formel for tallfølgen. a) Setter inn og får: a n :, 5, 9,, 7,,... (GGB: a(n): 4 n- Følge[a(n),n,,0] gir {, 5, 9,, 7,, 5, 9,, 7 ) b) Ser at differansen er 4: a, a n a n 4 (GGB: a(n )-a(n) gir 4 ) Oppgave 4 En tallfølge har den eksplisitte formelen a n n n Regn ut for hånd: i a i. for n te ledd. i a i 0 8 9 6 5 6 6 Med GGB: a(n): (n ^-)/n Sum(a(n),n,,) gir da 5 6 Oppgav 5 Gitt figurtallene:, 4, 5, 6 4,..., en tallfølge som kan illustreres av figuren: H-P Ulven av 5 r_0094_ls.tex
Finn eksplisitt og rekursiv formel for n te ledd. Rektangeltall med høyde lik indeks og bredde som er større enn indeksen; a n n n Differansen: d i a n a n n n n n n n n n n n n n n n a, a n a n n GGB: a(n): n (n ) Følge[a(n),n,,0] gir:, 8, 5, 4, 5, 48, 6, 80, 99, 0 a(n )-a(n) gir: n Oppgave 6 Se på figuren under, der vi har tegnet rutemønstre der det alltid er svarte ruter i hjørnene: Tallfølgen:, 5,, 5,... skal representere antallet svarte ruter totalt i hver figur og indeksen n skal være antall svarte ruter langs nedre kant i hvert figur. a) Finn rekursiv formel for tallfølgen. b) Finn eksplisitt formel for n te ledd i tallfølgen. Differansene blir 4,8,,..., så vi gjetter på d n 4n og får; a, a n a n 4n n : rad med svart(, og 0 rader med 0) n : rader med, og rad med n : rader med, og rader med Mønsteret ser ut til å bli: Hver figur består av n rader med n svarte og n- rader med n- svarte, eller a n n n n n n n n GGB: a(n): n^ (n-)^ Følge[a(n),n,,0] gir da: a(n )-a(n) gir: 4n, 5,, 5, 4, 6, 85,, 45, 8 H-P Ulven av 5 r_0094_ls.tex
Oppgave 7 Vi ser på tallfølgen beskrevet av den eksplisitte formelen a n n ;, 4, 7, 0,, 6,... Vi lager tilsvarende rekke: S n 4 7 0 6... n som vi gjør om til: S n 4... n a) Vis at vi kan skrive: S n n... n b) Bruk a) til å vise at vi får S n n n a) Det er n enere totalt, en for hvert ledd i følgen, slik at vi kan skille ut n. Det som blir igjen, blir da:... n Setter vi utenfor får vi: S n n... n QED b) Summen av de n første naturlige tall er trekanttall nummer n, altså n n, slik at vi får: S n n n n n n n n n QED Med GGB: a(n): n- Sum(a(i),i,,n) gir da: n - n Oppgave 8 Gitt tallfølgen:, 6,, 0,... a) Forklar hvorfor vi har den eksplisitte formelen a n n n (Hint: Er det noen sammenheng mellom nevnerne og trekanttallene?) b) Vis at vi kan skrive om til: a n n n c) Tilsvarende rekke kan derfor alternativt skrives om til: S n 4 4 5... n n Forklar hvorfor summen av n ledd blir S n n d) Hva blir summen av 00 ledd? e) Hva vil skje med summen når n går mot uendelig? (Grenseverdien lim n n ) a) Følgen kan skrives:,,,,...,, da det er 6 0 n n trekanttallene som blir igjen etter at er faktorisert ut i nevnerne Altså har vi: a n n n n n b) Litt brøkregning gir: n n n n n n n n a n QED c) Vi ser at i første ledd går mot i andre ledd, og i andre ledd går mot i tredje ledd osv., slik at bare første ( ) og siste ( ) ledd står igjen; n H-P Ulven 4 av 5 r_0094_ls.tex
S n n n (Eller: S n n n n n ) QED d) S 00 0 00 00 0 0 0 0. 990 e) lim n, så summen går mot når det blir n uendelig mange ledd! Med GGB kan vi gjøre: a(n): /(n (n )) /n-/(n ) gir (som er lik ) n n n n S(n): Sum(a(i),i,,n) gir S(n) n (som er lik - ) n n Grenseverdi(S(n),inf) gir (inf betyr uendelig ( ) ) H-P Ulven 5 av 5 r_0094_ls.tex