desimalsystem Matematisk verktøy for læring av: Grunnleggende begreper plass antall retning funksjon forandring vekt verdi Fagbegreper metrisk system desimaltall desimaler desimalkomma mil km meter tonn kilo hekto gram deka liter desi centi millli kroner og øre c o n c e p t u a l l e a r n i n 3g
DESIMALSYSTEMET Består av: Tosidig temalinjal med flyttbart desimalkomma, veiledningshefte med begrepsforklaringer og oppgaver. Læringsmål: Målet med M3 er: - å øke elevens forståelse for regning med hele tall og desimaler - å øke elevens forståelse av desimalkommaet og dets betydning i omgjøringer innenfor det metriske systemet. - å øke elevens forståelse av omregninger innenfor en enhet, f.eks. fra millimeter til km. - å gi elevene et solid grunnlag for videre læring i praktisk regning. M3 er laget for å synliggjøre: - det metriske systemet i forhold til titallssystemet, sifferplasser og desimaler. - at flytting av komma endrer benevnelsen innenfor en enhet. - at ved å multiplisere med 10, flyttes komma en sifferplass til høyre, og ved å dividere med 10, flyttes komma en sifferplass mot venstre. Gjennom bruk av M3 skal: - eleven lære alle benevnelser (faguttrykk) innenfor det metriske system. - eleven bli i stand til å gjøre omregninger innenfor det metriske systemet. - eleven forstå hvorfor det må multipliseres med 10 for å få en mindre benevnelse innenfor en enhet, og hvorfor det må divideres med 10 for å få en høyere benevnelse innenfor enheten. M3 gir elevene mulighet til å praktisere regning innenfor mål (liter og meter), mengde (kilo) og mynt (kroner). M3 er et læringsverktøy som gir visuell støtte for hukommelsen, der det matematiske språket med tilhørende symboler, ennå ikke er automatisert. i:see har til nå laget en serie på fire ulike temalinjaler som forklarer og synliggjør de mest grunnleggende begrepene i matematikk, opp til videregående skole. Denne veiledningen er skrevet til lærere, samt til foreldre som vil hjelpe sine barn. Vi håper at M3 vil stimulere og fremme læringsprosessen. Lykke til! For mer informasjon om i:see s produkter, se www.i-see.no M3 - Desimalsystemet er et designbeskyttet produkt fra i:see Conceptual learning. Det gis ikke tillatelse til å kopiere produktet eller veiledning uten spesiell avtale med i:see Conceptual learning DA. Copyright i:see Conceptual learning 2006 2
HVORDAN BRUKE TEMALINJALEN M3 For å få best læreutbytte ved bruk av M3, må eleven beherske det matematiske språket tilstrekkelig. De bør derfor ha god forståelse av begrepene siffer, plass, antall, symbol, tierovergang, veksle, antall i en gruppe, regneretning, rekkefølge, større enn og mindre enn. Dersom eleven er usikker på hva disse ordene betyr, anbefales M1 Siffer og tierovergang til repetisjon av begrepene. Dersom eleven ikke forstår hva ordene desimaltall og titallssystem, eller ikke forstår hva antallene million, milliard, billion, billiard betyr, anbefaler vi bruk av temalinjalen M2 - Siffer og desimaltall, til repetisjon av begrepene. i:see anser det som viktig at eleven forstår både hva ordene betyr og at de blir i stand til å tenke ved hjelp av dem. Det matematiske språket er vanskelig, og det er ikke bestandig eleven forstår hvilken matematisk operasjon som knytter seg til ordet. Eks: å multiplisere som betyr å gange, finne produkter av to eller flere tall. På side 9 i dette heftet er det begrepsgjennomgang av de begrepene som knytter seg til temaene på M3. Tips: Desimaltall er et tall(symbol) med ett eller flere sifre til venstre for desimalkommaet. Dette anviser hele tall. Til høyre for desimalkomma, er det en eller flere sifferplasser for ti-, hundre- og tusendeler av et helt tall. Tallet 29,234 har fem sifre. Ofte blir eleven i oppgaver, bedt om å oppgi svaret med et bestemt antall desimaler. Desimaler er det samme som sifre til høyre etter komma. Tallet 29,234 har tre desimaler. Side A: På denne siden har M3 et flyttbart komma, med sifferplassene fra (10 000) titusenplassen til (1) enerplassen, samt tidels-, hundredels- og tusendels-plassene. Øverst har alle sifferplassene benevnelser som knytter seg til fagordenes betydning innenfor det metriske system. 3
Tips: Les en benevnelse på den øverste linje på linjalen. Hopp over benevnelsene i det metriske systemet, og gå direkte til nederste linje innenfor en og samme sifferplass. Eks.: Les deka på øverste linje, hopp over dam, dal, 10kg og 10kr., og finn hva deka betyr ved å lese antall enheter på nederste linje. Deka betyr 10. I 1 dam er det 10 m, og i 1dal er det 10 l. Oppgave: Hva betyr hekto- (h)? Eleven sette fingeren på hekto på øverste linje og lese fagordet for denne sifferplassen. Eleven flytter fingeren til nederste linje i samme sifferplass og leser tallet som står der. Eleven svarer at hekto betyr 100. Videre gjør eleven rede for at i 1hl er 100 l. La eleven oppdage at øverste linje angir fagordene innenfor det metriske systemet, og at nederste linje angir antall enheter innenfor de ulike benevnelsene. Mellom øverste og nederste linje følger det fire linjer for de ulike metriske fagordene meter (m), liter (l), kilogram (kg) og krone (kr), med sine ulike benevnelser i forhold til sifferplassene. Oppgave: Be eleven sette fingren på en av linjene for de metriske fagordene. Be eleven følge den vannrette linjen til sifferets enerplass, og les hvilket av de metriske systemene det er snakk om. Eks.: Fingeren står på tonn. Følg linjen til enerplassen og les hvilken enhet som har tonn. Der står det kg. Be eleven gå tilbake til utgangspunktet (tonn), og gå så loddrett ned til den nederste linjen, der antall enheter står. Be eleven lese fagordet (tonn) og tallet på nederste linje (1000). Hva betyr fagordet som eleven pekte på? Riktig svar: Det er 1000kg i 1 tonn. Det flyttbare kommaet. Når eleven har lært fagordene slik at hun/han vet at f.eks. tonn betyr 1000 (se begrepsgjennomgang s.10), centi betyr hundre-deler osv., kan eleven bruke kommaet direkte. Eleven leser den fagbenevnelsen som står i samme sifferplass som kommaet. Eks.: Kommaet står i tonn-sifferet. Eleven leser 0,001 tonn. Kommaet står i kg-sifferet. Eleven leser 1000 kg De hvite feltene på M3 Her kan eleven skrive direkte på linjalen med vanlig blyant og viske ut med vanlig viskelær. 4
Oppgave: Be eleven gjøre 1m om til dm. Kommaet plasseres til høyre i enerplassen. Be eleven flytte kommaet til dm- plassen ved å plassere det til høyre i tidelsplassen. Be eleven lese tallet ved å starte fra enerplassen. Tallet skal ha tre sifre. Hvilket tallsymboler skal da stå i tidels- og hundredelsplassene? Hvor mange desimaler har tallet? La eleven skrive direkte på linjalen. Riktig svar: De tomme sifferplassene får tallsymbolet 0. 1m omgjort til dm blir 10dm. Svaret skulle ha tre sifre. Da blir svaret 10,0. Tallet 10,0 har en desimal. La eleven forklare hvorfor de tomme sifferplassene får tallsymbolet 0. Se på pilene og symbolet for multiplikasjon. Ved omgjøringen fra 1m til 10 dm, ble kommaet flyttet en plass til høyre. Sett opp regnestykket 1 10 og se om eleven får samme svar. Om elevene har problemer med å forstå at de må gange for å gå fra meter til dm, kan dette konkretiseres ved å bruke et metermål. I en meter er antallet deler en. En hel meter som ikke er delt opp i dm, cm eller mm, utgjør én del. Når de finner dm, er antallet deler 10. Bruk desimeterstaver slik at eleven ser at det blir 10 deler og at det da er logisk at det ganges. Når vi skal gå fra dm til m, må vi dele. 10 Ti tideler = 10 : 10 = 1. Antallet 10 dm blir 10 omgjort til 1m. Konkretiser dette på flere måter helt til eleven har dannet det abstrakte begrepet. Bruk liter- og dl-mål, en euro og ti cent o.l. Det er piler oppe og nede i de hvite feltene. Pilene viser at vi må dividere med 10 for hver sifferplass vi flytter komma mot venstre, når vi vil gjøre om til en større enhet. 1m gjort om til mil, finner vi ved å flytte kommaet fire sifre til venstre, til titusenplassen og leser tallet fra mil- plassen. 1m gjort om til mil viser da 0,0001mil, dvs 1:10 :10 : 10 :10 = 0,0001mil. Å gjøre om innenfor en enhet, gjør du ved å flytte komma. Side B På denne siden defineres begrepene mil, tonn, kilogram (kg), hekto (hg), desi (d), deka (da), centi (c) og milli (m). 5
Oppgaver: Gjør om: 15 dl til liter. 600 g til kg 0,70 liter til dl 0,750kg til g Hva betyr hekto? Hva betyr hg? Hva betyr mm? Hva betyr dam? Hva betyr cl? Hvorfor må vi multiplisere med 10 når vi vil gjøre om til en mindre enhet? Hvorfor må vi dividere med 10 når vi vil gjøre om til en større enhet? Hva får vi når vi flytter komma en plass mot høyre fra kg? BEGREPSANALYSE Begrepsanalysen foregår i fire trinn. Par assosiasjon (PA) (par forbindelse). Læreren eller en forelder finner to linjallenger på 1dm, den ene med avmerkede cm, den andre uten. Det er viktig at lærer/forelder først viser linjallengdene hver for seg, navngir dem ved å si: dette er en dm. Deretter vises linjallengdene sammen, og det presiseres at begge måler 1 dm. Deretter utstyres eleven med en linjallengde som måler 1 dm. Selektiv assosiasjon (SA) (en utvalgt likhet). Eleven skal nå finne- og måle gjenstander de mener måler 1 dm. Ved å spørre seg selv om de gjenstandene de har målt, måler 1 dm, må de bruke linjallengden de har fått utlevert. Assosiasjonslæring av begrepet, knyttet til taleferdighet, gir begrepsrelevante erfaringer. Måler de forskjellige gjenstandene de har funnet fram til, 1 dm? Hver for seg skal eleven vurdere om det stemmer. Selektiv diskriminering (SD) (forskjellsoppdagelse). Her er dialogen mellom lærer/forelder og eleven(e) viktig. Om nødvendig må linjallengden 1 dm demonstreres på nytt. Gjennom diskusjon skal eleven komme fram til om hans/hennes vurdering var riktig. De gjenstandene som gjennom måling og diskusjonen viser seg ikke å være 1 dm, diskrimineres ut og skal bli igjen i denne boksen. Resten skal legges i generaliseringsboksen. 6
Selektiv generalisering (SG) (oppdagelse av delvise likheter). Gå gjennom alle enkelteksemplene som er samlet her. Hva er alle gjenstandene i generaliseringsboksen like i? Hva har de til felles som gjør at de tilhører kategorien 1dm? Ved å bytte ut begrepet f.eks 1 dm med et annet begrep, kan de aller fleste begrep analyseres på denne måte. En slik analyse kan være viktig i forhold til begrepsavklaring, jf (SA) i begrepsanalysen. 1 PAR ASSOSIASJON (PA) Lærer/forelder finner to linjallengder som måler 1 dm, en med cm og en uten. 2 SELEKTIV ASSOSIASJON (SA) Eleven finner- og måler gjenstander de mener er 1 dm. 3 SELEKTIV DISTRIMINERING (SD) Forslagene vurderes. Eventuelle gjenstander som måler under eller over 1 dm, blir igjen her. De som måler nøyaktig 1 dm flytes til SG. 4 SELEKTIV GENERALISERING (SG) Alle gjenstandene i denne boksen har det til felles at de måler 1dm.
GRUNNLEGGENDE BEGREPER: FARGE FORM linjeform: rettlinjet - bueformet - vinkelformet flateform: trekantede - firkantede - runde romform: trekantede - firkantede - runde STILLING vannrett - loddrett - skrå STØRRELSE lengde - høyde - bredde - dybde PLASS i rekke av hendelser - rekkefølge - først - sist ANTALL antall deler - et hele - deler av et hele MØNSTER RETNING omfatter bevegelse FUNKSJON brukes til STOFF art - egenskaper LEVENDE/IKKE LEVENDE LYD språklyd OVERFLATE TEMPERATUR SMAK sur - søtt - salt - bitter LUKT TID FORANDRING FART VEKT KRAFT tyngdekraft - elektromagnetisk kraft - trykk VERDI pengeverdi - affeksjonsverdi - rett/galt-vurderinger KJØNN hannkjønn - hunnkjønn - intetkjønn BEGREPSGJENNOMGANG Desimal: (kortord av desimaltall; fra latin, av decimus TIENDE ). Siffer etter komma i en desimalbrøk (tiende betyr tidel, se nedenfor)). Desimaler er sifre etter desimalkomma. - regne ut svaret med to desimaler - brøk, brøk der nevneren er en potens av ti, og der telleren blir skrevet etter komma. - 7/10 skrives 0,7 som desimalbrøk - 67/100 skrives 0,67 som desimalbrøk - 1/1000 skrives som 0,001 som desimalbrøk - komma, komma foran telleren i en desimalbrøk - tall, 1) desimalbrøk 2) desimal - vekt, vekt der loddene veier 1/10, 1/100 osv av gjenstanden som skal veies Desimalsystem: målesystem for mynt, mål og vekt der hver enhet inneholder ti enheter av nærmeste mindre enhet - i 1 liter er det 10dl - i 1dl er det 10cl - i 1cl er det 10ml Komma: (gresk, DEL AV SETNING, av koptein HOGGE AV ) lite skilletegn (,) som brukes i skrift og desimaltall. 8
Hele tall, et helt tall som angir et antall, f.eks. 2, kardinaltall. Kardinaltall: naturlige tall Naturlige tall: tallene 0, 1, 2, 3, 4 osv er naturlige tall Ordinaltall: ordinale (av latin ordo REKKEFØLGE ) ordenstall. 1., 2., 3. osv er ordenstall. Den 3. er nr. 3 i en rekke. Den 3. januar betyr den tredje dagen i januar. Potens er egentlig presens partisipp av det latinske verbet posse, å kunne. Det ble også brukt substantivisk og adjektivisk i betydningen som har kraft, er sterk, mektig, innflytelsesrik. Vårt substantiv kommer imidlertid av avledningen potentia, som betyr makt, kraft, innflytelse. Dette ordet er trolig en oversettelse av det greske substantivet dynamis, som oldtidens greske matematikere brukte om det vi kaller andrepotens eller kvadrat. I matematikk: produkt av et antall like faktorer (opphøyd) i fjerde potens (skrevet 3 4 ) Metrisk: (fra gresk, av metron) som gjelder, tilhører eller er regnet ut etter metersystemet. Meter kommer via fransk métre av det greske substantivet metron, som betyr mål, størrelse, lengde, versemål. Det har gitt navn både til metersystemet som ble utviklet i Frankrike på slutten av 1700-tallet, og til grunnenheten i lengdemål. Liter kommer av fransk litre som ble valgt som en av grunnenhetene for rommål etter at det metriske systemet ble innført i Frankrike i 1791. Kilo, kilo- (k) kommer av det greske tallordet khilioi, som betyr tusen. Ordet kilo brukes ofte i betydningen kilogram. Forleddet kilo- ble innført i 1793 i forbindelse med overgangen til metersystemet. Gram kommer via fransk gramme av det greske substantivet gramma, som egentlig betyr bokstav, skrift, brev, dvs. noe som er skrevet. Gramma var også den greske betegnelsen for scrupulus, den minste enheten i det romerske vektsystemet. Krone (egentlig om mynt med bilde av en krone) - 1 myntenhet, forkortet kr. - betale med norske kroner, fork. nkr - 2 kronestykker 9
Multiplisere kommer av det latinske verbet multiplicare, som egentlig betyr å mangfoldiggjøre. det er sammensatt av av adjektivet multi og verbet plicare, som betyr å vikle, folde sammen, og derfor oversettes med å folde sammen flere ganger. Dette kan minne litt om å oppfatte multiplikasjon som gjentatt addisjon av like addender. I matematikk: å finne produktet av to eller flere tall, gange. 3 multiplisert med 8 er 24 (3 8 = 24). Mulitplikator kommer av det senlatinske substantivet multiplicator som er avledet av multiplicare. Suffikset or angir at ordet har en utøvende funksjon, så en multiplikator er en som mangfoldiggjør. I matematikk: tall som en multipliserer med. Multiplikand: (fra latin (MANGFOLGIGGJØRE ) tall som skal multipliseres med et annet. Multiplikand og multiplikator blir med en fellesbetegnelse kalt faktorer. Dividere: en norsk form av det latinske verbet division som betyr å dele, kløve, skille. I matematikk: dele et tall i like store deler. - 63 dividert med 9 er 7. Funksjon: kommer av det latinske substantivet functio, utførelse. 1 virksomhet, gjøremål, tjeneste, oppgave - bruksfunksjon, brukes til - livsfunksjon - være ute av funksjon - ha en funksjon, fylle et behov 2 matematikk: det at en variabel størrelses verdi er avhengig av en annen størrelses verdi Forandring: endring, omslag; variasjon - her er det blitt forandringer - det er en forandring i programmet - en forandring til det bedre avveksling; i dag har jeg fri til en forandring Tonn kommer via engelsk ton av det middelalderlatinske substantivet tunna, som betyr tønne. I matematikk: vektmål, = 1000kg, metrisk tonn. 10
Kilder: Ragnar Solvang: Matematisk etymologi med historiske kommentarer. Damm 2002 Bokmålsordboka. Definisjons- og rettskrivingsordbok. Universitetsforlaget 2.utgave 2.opplag 1994 Matematikkleksikon. Kunnskapsforlaget 2.opplag 2006 11
12 w w w. i - s e e. n o