side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger ved introduksjon av likninger og eksempler på konkrete øvelser til første del av arbeidet med likninger. Det er lagt vekt på prinsipper, slik at eksemplene på likninger er enkle, ofte enklere enn det elevene vil og bør møte innen en måned etter at likninger først blir introdusert. Kompetansemål 10. årstrinn Eleven skal kunne løyse likningar og ulikskapar av første grad og enkle likningssystem med to ukjende I veiledningen knyttes dette kompetansemålet til emnet Algebra. Veiledningen knytter ulike læringsmål til kompetansemålene. Dette undervisningsopplegget tar utgangspunkt i to læringsmål som i veiledningen er lagt til 8. årstrinn. Læringsmål 8. årstrinn eleven skal kunne løse likninger av første grad med en ukjent eleven skal kunne sette opp likninger ut fra en praktisk situasjon, løse dem, tolke løsningen og sette prøve Mål for dette undervisningsopplegget Elevene skal kunne løse likninger som for eksempel: A: x+3 = 5 B: 7-x = 3 C: 14 = 3-x D: 3x-53 = 16 E: 3+2x = 1 F: 5x+2 = 4 G: 3x-4 = x+5 H: kunne sette opp en likning for å løse problemet: Anna og Per er tilsammen 7 år. Anna er 3 år, hvor gammel er Per? I: kunne sette opp en likning for å løse problemet: En trekant med areal lik 6 cm 2 har høyde lik 4 cm. Hvor lang er grunnlinja? J: kunne sette opp en likning for å løse problemet: Tenk på et tall, legg til 4, multipliser med 2, trekk fra 5 og si hva du får til en medelev. Be medeleven finne tallet som du tenkte på. Forutsetninger
side 2 Noen forutsetninger er nøvdvendige hos elevene før man setter i gang undervisningsopplegget. Det kan være flere forutsetninger for en introduksjon til likninger, men punktene nedenfor er blant de viktigste. Enkle felles øvelser eller individuelle øvelser kan avdekke om forutsetningene er tilstede, eller hvilke som mangler. Om elevene har problemer med å regne med likninger kan listen med forutsetninger hjelpe lærer og elev til å finne årsaken til problemene. Punktene 1-3 er relativt generelle, og kompetansen til elevene vil variere. Valg av likninger som man regner på kan tilpasses kompetansen til elevene, med likninger av varierende vanskelighetsgrad i samme gruppe elever. Punktene 4-6 går mer spesifikt på likninger. Punkt 4 og 6 kan delvis sammenfattes i en øvelse der man skal sette et tall i en boks for å gjøre en påstand eller likning sann. Denne type øvelse legger vekt på hva en likning og løsning av en likning er. Øvelsene er laget slik at man ved prøving og feiling og hoderegning skal kunne finne løsningen. Punkt 5 dreier seg om den logiske strukturen i en likning. Elevene bør kunne: 1. de fire regningsartene med hele tall I første omgang er det naturlig at alle tallene som inngår i likningen er hele tall. Alle de fire regningsartene vil naturlig komme til bruk. I eksemplene A-E over er det heltallsløsninger, så heltallsregning er tilstrekkelig for å finne løsning. 2. uttrykke rasjonale tall som brøk eller desimaltall Selv om det bare er hele tall som inngår i likningen, trenger ikke løsningen være et helt tall. Eksempel F har et rasjonalt tall som ikke er heltall som løsning, så her må eleven kunne uttrykke 2 : 5 som en brøk eller desimaltall. 3. bruke riktig rekkefølge mellom regneoperasjonene Multiplikasjon og divisjon har prioritet foran addisjon og subtraksjon, så 2 + 3 5=2+15 =17. Dersom man setter parentes rundt 2+3 har det som står inne i parentesen prioritet: ( 2 + 3) 5 = 5 5 = 25. 4. løse oppgaver som: "Hvilket tall må stå i boksen for at likheten 4+ =7 skal bli sann?" Når man skal finne verdien til et sammensatt uttrykk så må man vite hvilken rekkefølge som gjelder. 5. finne verdien til uttrykket ved innsetting
side 3 I en likning er hver side av likhetstegnet et uttrykk. Et uttrykk kan være et enkelt tall. Det kan og være satt sammen av flere tall ved hjelp av regneoperasjoner eller det kan være satt sammen av tall og bokstaver eller variabler ved hjelp av regneoperasjoner. Dersom det bare er tall som inngår i uttrykket så representerer det ett tall, som kalles verdien til uttrykket. 2+3 har verdien 5. Tallet 4 har verdien 4. Uttrykket 20 4 2 + 1 har verdien 13. Når uttrykket også inneholder en variabel har uttrykket ingen bestemt verdi. Ved å sette inn et tall for variabelen får imidlertid uttrykket en verdi. For å finne denne verdien er det en nyttig øvelse å lese uttrykket med ord og få fram alle regneoperasjonene som inngår. Uttrykket 3x+5 leses som tre ganger x pluss fem. Selv om man ikke skriver gangetegn mellom 3 og x bør man lese det for å tydeliggjøre hvilken operasjon som gjelder. For å løse en likning må eleven kunne finne verdien til venstre side og høyre side i likningen ved innsetting av tall. Nyttige øvelser: Finn verdien til uttrykket 3x+4, når x=1,2,4,5. Finn verdien til uttrykket 6-2x, når x=1,2,3,5. Denne øvelsen er også nyttig når man senere skal lage graf til lineære funksjoner. 6. lese en likhet som en setning Et vanlig regnestykke 2+3=5 kan leses som en setning eller påstand: to pluss tre er lik fem. Et uttrykk kan ikke leses som en setning: To pluss tre eller tre pluss x er ikke en setning. En likning derimot kan leses som en setning. 2x+3=5 leses som to ganger x pluss tre er lik fem. Å kunne lese likningen på denne måten er en forutsetning for å forstå hva en løsning er. Nyttig øvelse: Les 3 + 5 2 = 13, 4-5 = -1, 2 + x = 4, 5-2x =1, 3 = 4x 1 Ved mer kompliserte likninger må eleven kunne 7. Brøkregning (for eksempel likningen ½ x+2=5) 8. Parentesregning (for eksempel likningen (1+3x)/4=2) Hva er nytt? - symbolbruk - den ukjente x i likninger - bruk av likhetstegnet - begrepet løsning - metoder for å finne en løsning
side 4 Symbolbruk Elever på 8.- 10. årstrinn sliter ofte med å forstå symbolbruk, faste og variable størrelser. For å bevisstgjøre elevene på dette, kan de få erfaringer gjennom lek med tall. Tallek kan elevene også gjøre på tidligere årstrinn, men på 8.- 10. årstrinn er det tid for å formalisere og generalisere dette. Det kan lærer gjøre ved å introdusere bokstavsymboler for variable eller ukjente størrelser. Lærer instruerer og elevene gjør det læreren sier: 1. Tenk på et hvilket som helst tall 2. Legg til 3 3. Multipliser med 2 4. Trekk fra tallet du tenkte på 5. Legg til 4 6. Si meg hvilket tall du fikk Læreren kan si hvilket tall eleven tenkte på ved å trekke 10 fra tallet eleven oppgir. Nå kan elevene få i oppdrag å finne ut hvordan læreren kunne vite hva de tenkte på. Del ut tellebrikker (som skal symbolisere det tallet de tenkte på) og enhetskuber eller enhetspinner. Skriv opp instruksjonene 1 til 6 på tavla. Læreren kan gi dette oppdraget til elevene: Gjennomfør algoritmen med det konkrete utstyret og beskriv hva som skjer. Dokumenter det i matematikkbøkene deres. Etter at elevene har arbeidet med dette en stund, er det viktig å ta en felles samtale i klassen. Sammen kan elever og lærere gjennomføre prosedyren, med tellebrikker og kuber, og skrive hva som skjer ved hjelp av symboler. Det kan være omtrent slik: 1. Tenker på et tall. Hvilket som helst. 2. Legger til 3 3. Multipliserer med 2
side 5 4. Trekker fra tallet jeg tenkte på 5. Legger til 4 6. Når du sier meg hva du får til svar, kan jeg regne ut tallet du tenkte på ved å trekke fra 10. Egentlig har jeg løst likningen x + 10 = a, som gir x = 10 - a Utfordring: Når elevene har løst det, kan de gjøre liknende trolleri med tall med hverandre. De kan også skrive det med symboler. I likningen 4 + x = 7 spiller den ukjente x rollen til boksen i 4 + = 7 og representerer et hvilket som helst tall. Setter man inn et tall for x, får man en setning som er sann eller usann. I oppgave A får man ved å sette inn x=1,2,3: A: (x=1) 1+3=5, (x=2) 2+3=5, (x=3) 3+3=5 Den første og siste er usann, mens den midterste 2+3=5 er sann. Likhetstegnet er ofte brukt i oppgaver som et skilletegn uten at betydningen er avgjørende for å løse oppgaven. For eksempel, regn ut 43-11= I en likning skiller likhetstegnet mellom to uttrykk. Betydningen av likhetstegnet er avgjørende for når man skal løse en likning. En løsning i en likning er det tallet som innsatt for x gir en sann påstand. Det vil si det tallet x som gir de to sidene av likhetstegnet samme verdi. Eksemplene på likninger i begynnelsen av dette opplegget, er satt opp med progresjon fra oppgave A til G. Progresjonen ligger i hvor vanskelig det er å finne
side 6 løsningen, selv om vanskelighetsgraden kan være vanskelig å gradere etter hvilke metoder man bruker. Oppgave H representerer et første steg i modellering med likninger. Å finne en løsning Når man skal løse en likning, er prøving og feiling ved innsetting en viktig øvelse. Ved prøving og feiling velger man et tall for x, og finner verdien til de to sidene av likhetstegnet når dette tallet er innsatt for x. Er verdiene like, er det valgte tallet for x en løsning for likningen. Når man løser en likning er det viktigst å finne løsningen, og kunne overbevise seg selv ved innsetting at løsningen er riktig. Hvilken metode man har brukt er mindre viktig. For kompliserte uttrykk er det ofte tilfeldig om prøving og feiling fører fram, så det er behov for en effektiv strategi. Hoderegning er ofte nok til å finne løsning til de enkleste likningene. Faktisk er dette en veldig god øvelse, både i regningsartene og i å forstå hva en likning og en løsning av denne er. Løsningsstrategier Det finnes mange strategier for å løse likninger. En strategi kan fungere for en bestemt likning, for likninger som er på en bestemt form, eller for ligninger generelt. En bestemt strategi kan også ha elementer i seg som gjør det lettere å forstå hva en likning er og hva en løsning er. Ved at læreren viser ulike strategier eller at elevene foreslår strategier, kan man åpne opp for diskusjon og utdypende læring av de sentrale begrepene for likninger. En effektiv strategi for å finne en løsning Nedenfor vises en tradisjonell løsningsstrategi. Den kan brukes på alle lineære likninger, er effektiv og bygger på det enkle prinsippet om likevekt på begge sider av likhetstegnet. Strategien som vises her forandrer uttrykkene på begge sider av likhetstegnet slik at verdiene til de to sidene ved innsetting endrer seg like mye. Ved å forandre utrykkene til så enkle uttrykk som mulig finner man til slutt det tallet som gir de to sidene samme verdi. Man kan sammenlikne likningen med en vektstang. For at likevekten skal bevares må endringer i verdi på den ene siden følges av tilsvarende endringer på den andre siden. Denne likevekten kalles for likhetsprinsippet for likningen. Sammenlikningen kan godt gjøres med en skålvekt. Samme prinsipp kan overføres til en likning. Eksempel: Løs likningen 2x+5=9.
side 7 Forandre venstre side til det bare står den ukjente igjen. Pass på å forandre høyre side like mye. 2x+5=9 2x+5-5=9-5 (begge sider er redusert med 5 i verdi) 2x=4 (forenkling i uttrykk uten å endre verdi) 2x/2=4/2 (begge sider er halvert i verdi) x=2 (begge sider er forenklet i uttrykk uten å endre verdi) I den forenklede likningen er det bare når 2 innsettes for x at de to sidene har samme verdi. Ved å lese likningen x er lik 2 sier man nettopp dette. Derfor sier man at x=2 er løsningen til likningen. Det betyr at hvis man setter inn x=2 i den opprinnelig likningen, så har høyre og venstre side av likhetstegnet samme verdi. Sette prøve Når man har funnet løsningen skal man sette prøve. Det vil si å finne verdien til de to sidene i den opprinnelige likningen når man setter inn løsningen for den variable x. Bare hvis man får samme verdi på begge sider er løsningen riktig. Ved feil bør man gå tilbake i forenklingen av likningen og undersøke om man har brutt likhetsprinsippet. I eksempelet er venstresiden 2 2 + 5=9, mens høyresiden er 9, så løsningen x=2 er riktig. Undervisningsforløp 1. Sjekk forutsetninger, heltallsregning og multiplikasjon av brøk med nevner. 2. Motiver introduksjon av likninger med ulike problemer som i eksemplene H, I og J. Noen av disse kan og bør selvsagt løses uten likninger, men ved å lage mer kompliserte eksempler av samme type vil behovet for et verktøy som likninger auke. 3. Øv med enkle oppgaver av type 4. 4. Introduser variabel x, og finn verdien til uttrykket på venstre side ved å sette inn tall for x. Elevene kan gjøre dette hver for seg og i felleskap. Elevene kan gjøre dette muntlig. 5. Les likninger i felleskap. 6. Finn løsning til enkle likninger (A-E) i felleskap. Her kan man godt oppmuntre til hoderegning. 7. Øv på enkle likninger hver for seg. 8. Løs likning som for eksempel F i felleskap. 9. Introduser strategi på oppgaver som likner F og G. Bruk strategien på F først. Legg merke til at likningen G har en ukjent på begge sider av likhetstegnet. Denne krever derfor ekstra oppmerksomhet. Diskuter gjerne oppgaven i felleskap før strategien blir introdusert.
side 8 10. Vis samme strategi for oppgaver A-E. 11. Øv på likninger med variert vanskelighetsgrad. 12. Introduser likning for oppgaver av type H,I og J. Til slike tekstoppgaver kan man lage eksempler på ulike likninger og la elevene argumentere for hviken likning som passer med oppgaven 13. Øv på å sette opp likning for oppgaver av type H, I og J. Grunnleggende ferdigheter Likninger må leses som hele setninger for å gi mening. Det å kunne lese symbolene og sette dem sammen til en setning er derfor en forutsetning for å kunne løse en likning. For å kunne gjennomføre en effektiv strategi for å løse en likning, må man kunne skrive opp, linje for linje, likninger som har samme løsning som den opprinnelige. Å lese likninger høyt og diskutere løsninger av likninger muntlig forsterker både forståelsen av likninger og hvordan de kan brukes i enkle modelleringsoppgaver. Verdien til et uttrykk ved innsetting av ulike tall for den ukjente kan gjøres med og uten digitale verktøy, for eksempel kalkulator. Avanserte kalkulatorer kan løse likninger direkte. Dette har begrenset nytte når man skal lære å løse likninger, og når man skal øve på ulike strategier. Hva kommer etter denne introduksjonen til likninger? Etter denne introduksjonen til likninger, kommer likninger der koeffisientene er store heltall, brøker eller desimaltall. For eksempel: 340x - 45 = 231 x 2 + 3 4 = 2 x 3 3,4 +2,1x = 4-0,3x Andre tema er: Bruke likninger i modellering. Fra et praktisk problem sette opp en relevant likning, løse denne og tolke svaret i forhold til det opprinnelige problemet Løse ulikheter av første orden Løse likning med en ukjent grafisk Løse to likninger med med to ukjente Løse andregradslikninger av typen x 2 =4
side 9 Vurdering I vurdering av arbeid med likninger er det viktig å verdsette alle stegene som er nødvendig for å kunne løse likninger, og for å bruke likninger til å løse problemer ved modellering. Tabellen viser en mulig beskrivelse av måloppnåelse etter 10. årstrinn (sluttvurdering med karakter): En mulig beskrivelse av måloppnåelse for kompetansemålet etter 10. trinn (sluttvurdering): Lav måloppnåelse Middels måloppnåelse Høy måloppnåelse Eleven kan finne løsning til likninger av typen: Eleven kan finne løsning av likninger av typen: Eleven kan finne løsning av en likning av typen 3x+11=27 Eleven kan avgjøre ved innsetting om et tall er løsning av en likning av typen: 3x+11=7-2x Eleven kan avgjøre om en likning løser uoppsatte oppgaver av typene H, I,J, og kan forklare forskjellen på en likning og et utrykk. 3x+11=7-2x Eleven kan finne en likning som løser en oppgave av typene H,I,J. Eleven kan avgjøre ved innsetting om et tall er løsning av en likning av typen 3(x + 5) 4 + 6 = 2x 3 4 Eleven kan avgjøre hvordan en finner løsningen til en likning med grafen til denne. Eleven kan forklare hva en løsning i en likning er. 3(x + 5) 4 + 6 = 2x 3 4 Eleven kan finne en likning som løser en uoppstilt oppgave av høyere vanskelighetsgrad enn H,I,J Eleven kan løse likninger grafisk. Eleven kan formulere en strategi for å løse en lineær likning.