FOEESNINGSNOAE I SPIEOI Gei. Asheim, våen 00 (oppdatet 00.0.0). Spillteoi studee flepesons-beslutningspobleme. Spillteoi analysee aktøe som e asjonelle (ha veldefinete pefeanse) esonnee stategisk (ta hensyn til dees kunnskap om og foventninge til ande beslutningstakees adfed) Anvendelse: Næingsøkonomi Fohandlings- og auksjonsteoi Abeidsmakeds- og finansiell økonomi akoøkonomi Intenasjonal økonomi Klassifikasjon av spill Ikke-koopeative spill koopeative spill ikke kommunikasjon fø spillet ta til kommunikasjon fø spillet ta til ikke-bindende avtale (steng fostand) ikke-koopeativ spillteoi (vid fostand) bindende avtale koopeativ spillteoi Klassifikasjon av spill (fot.) Klassifikasjon av spill (fot.) Statisk Nashlikevekt Dynamisk Fullkommen infomasjon Fullstendig infomasjon Nesten fullk. info. KAP KAP KAP KAP 4 Delspill-pefekt likevekt Ufullstendig infomasjon Ufullkommen infomasjon ayesiansk likevekt Pefekt ayesiansk likevekt Statiske spill Dynamiske spill Et spill e dynamisk hvis det fo minst én spille gjelde at han nå han selv gjø en handling vet noe om hva en annen spille ha gjot tidligee. Fullkommen ufullkommen infomasjon Et spill ha fullkommen infomasjon hvis det fo hve spille gjelde at han nå han selv gjø en handling vet alt som ha skjedd tidligee, og ingenting skje samtidig. Et spill ha nesten fullkommen infomasjon hvis det fo hve spille gjelde at han nå han selv gjø en handling vet alt som ha skjedd tidligee, men det kan skje ting samtidig.
Klassifikasjon av spill (fot.) Fullstendig ufullstendig infomasjon Et spill ha ufullstendig infomasjon hvis minst én spille vet ikke med sikkehet hvem han spille mot. Spillene ha ulik infomasjon om hva "natuen" ha gjot. ikevektsbegep Nash-likevekt Delspillpefekt likevekt ayesiansk likevekt Pefekt ayesiansk likevekt ikevektsbegep (fot.) o betaktningsmåte fo likevektsbegep:. Stadig stekee likevektsbegep (fjene likevekte som e uimelige).. Pefekt ayesiansk likevekt e et likevektsbegep som edusee seg til Nash-likevekt i statiske spill med fullstendig infomasjon, delspill-pefekt likevekt i dynamiske spill med fullk. elle nesten fullk. info., og ayesiansk likevekt i statiske spill med ufullstendig infomasjon.. SAISKE SPI ED FUSENDIG INFOASJON Stuktu: Spillene velge handlinge simultant. Hve spilles nytte avhenge av handlingskombinasjonen. Kev selv Kev fo den ande Kev fo Kev selv den ande,, Fangenes dilemma. SAISKE SPI ED FUSENDIG INFOASJON Hva e foskjellen på en handling og en stategi? En stategi e en handlingsegel. I et statisk spill med fullstendig infomasjon, kan ikke handlinge betinges på noe. Defo: stategi = handling fo slike spill. I et statisk spill (simultantekkspill) tenge ikke spillene handle samtidig. Det e tilstekkelig at ingen spille kjenne til hva ande eventuelt ha gjot nå spilleen selv gjø sin handling.
. SAISKE SPI ED FUSENDIG INFOASJON Stuktu og nyttefunksjone e åpent kjent. Felles kunnskap ("mutual knowledge") Alle spillene kjenne til det. Åpent kjent ("common knowledge") Alle spillene kjenne til det. Alle spillene kjenne til at alle spillene kjenne til det. Alle spillene kjenne til at alle spillene kjenne til at alle spillene kjenne til det.................... SAISKE SPI ED FUSENDIG INFOASJON. NOA-FO SPI OG NASH-IKEVEK Nomalfomen spesifisee Spillee: {,..., i,..., n} Fo hve spille i, stategiom: S i Fo hve spille i, nyttefunksjon: u i G = (S,..., S n ; u,..., u n ) Nytte fo spille i: u i (s,..., s n ) = u i (s i, s i ) hvo s i = ( s,..., si, si+,..., sn) S i og S i e mengden av stategikombinasjone fo alle spillee unntatt i.. NOA-FO SPI OG NASH-IKEVEK Stengt dominete stategie DEFINISJON: s i e stengt dominet av s i hvis ui( si, s i) < ui( si, s i) fo alle s i S i. Iteativ fjening av stengt dominete stategie. U, 0, 0, D 0, 0,, 0 U, 0, D 0, 0, U, 0,. NOA-FO SPI OG NASH-IKEVEK Stengt dominete stategie o pobleme med iteativ fjening av stengt dominete stategie:. Det bygge på en foutsetning at det e åpent kjent at spillene e asjonelle.. I mange spill e ingen stategie stengt dominete. C, 5, 5 6, 6
. NOA-FO SPI OG NASH-IKEVEK Nash-likevekt OIVASJON: Hvis et spill ha en entydig løsning, da må løsningen væe selvhåndhevende og stategisk stabil. DEFINISJON: ( s,..., s n ) e en Nash-likevekt fo nomalfomspillet G = (S,..., S n ; u,..., u n ) hvis det fo hve spille i gjelde at ui( si, s i) ui( si, s i) fo alle si Si (dvs. at s i e et beste sva på s i C, 5, 5 6, 6 ).. NOA-FO SPI OG NASH-IKEVEK Poposisjon A. I nomalfomspillet G, hvis iteativ fjening av stengt dominete stategie fjene alle stategikombinasjone unntatt ( s,..., s n ), da e ( s,..., ) e Nash-likevekt fo G. s n evis av Poposisjon A etakt en tilfeldig valgt spille i. Fodi s * i ikke bli fjenet, gjelde det at hvis s i bli fjenet, finnes det s i slik at * * ui( si, s i) < ui( si, s i). Defo: * * * * * ui( si, s i) < ui( si, s i) < ui( si, s i) <... < ui( si, s i) fodi alle s i S i unntatt s * i bli fjenet. Altså, fo hve spille i gjelde det at * * * ui( si, s i) < ui( si, s i) fo alle s i S i unntatt s * i.. NOA-FO SPI OG NASH-IKEVEK Poposisjon. I nomalfomspillet G, hvis stategikombinasjonen ( s,..., s n ) e en Nash-likevekt, da oveleve ( s,..., ) iteativ fjening av stengt dominete stategie. s n evis av Poposisjon (bevis ved selvmotsigelse) * * Anta at ( s,..., s n ) e en Nash-likevekt fo G, men at det finnes en spille i slik at s * i fjenes gjennom iteativ fjening av stengt dominete stategie. Anta (uten tap av genealitet) at s * * * i e den føste av stategiene ( s,..., s n ) som bli fjenet. Da finnes det s i slik at * ui( si, s i) < ui( si, s i) fo alle s i som ikke ha blitt fjenet tidligee. Fodi s * i ikke ha blitt fjenet tidligee, gjelde det at * * * ui( si, s i) < ui( si, s i), * * * * som e i motsetning til at ( s,..., sn) = ( si, s i) e en Nash-likevekt.. NOA-FO SPI OG NASH-IKEVEK olkning av løsninge i spill DEDUKIV OKNING Spillet spilles bae én gang. Spillene dedusee hvodan ande spillee vil spille på gunnlag av asjonalitetspinsippe. Eks: Iteativ fjening av stengt dominete stategie. "SEADY SAE" OKNING Spillet e en modell som e utfomet fo å foklae obsevete egulaitete i en samling av lignende situasjone. Hve deltake "vet" likevekten og teste optimaliteten av sin adfed gitt denne kunnskapen, som han ha tilegnet seg gjennom lang efaing. olkningen keve at spillene møte foskjellige motspillee hve gang. Eks: Nash-likevekt.
. NOA-FO SPI OG NASH-IKEVEK Kan Nash-likevekt bukes som løsningsbegep hvis spillet bae spilles en gang? Ja, hvis hve spille e i stand til å pedikee hva hve motspille vil gjøe. Fo hve spille e det bae en stategi som oveleve iteativ fjening av stengt dominete stategie. Gjennom kommunikasjon fø spillet ta til, gjø spillene en selvhåndhevende avtale (koodinee på en likevekt) U D 4, 4 0, 0 0, 0, gitt en felles efaingsbakgunn geie spillene å koodinee på en likevekt uten kommunikasjon fø spillet ta til (Schelling, 960, focal point). U D 4, 4, 0 0,,. SAISKE SPI ED FUSENDIG INFOASJON. ANDEDE SAEGIE OG EKSISENS AV IKEVEK landede stategie Ikke alle nomalfom-spill ha en Nash-likevekt i ene stategie. Ovevåkning ovlig -, 0 Ulovlig -, -4 Ikke ovevåkning 0, 0 -, afikkovevåkning landede stategie føe til at stengt dominete stategie svae til stategie som ikke kan væe beste sva.. ANDEDE SAEGIE OG EKSISENS AV IKEVEK landede stategie DEFINISJON: I nomalfomspillet G = (S,..., S n ; u,..., u n ), anta at spille i's stategimengde e gitt ved S i = {s i,..., s ik }. En blandet stategi fo spille i e en sannsynlighetsfodeling p i = (p i,..., p ik ). OKNING: De ande spillene e usike på hva spille i vil gjøe (Hasanyi, 97). Dvs. p i uttykke de andes oppfatning om i's stategivalg. Stategiom fo spille i: P i = engden av alle sanns.fod. ove S i. Nytte fo spille i: v i (p,..., p n ) = Eu i (s,..., s n ) = v i (p i, p i ), hvo p P og P i e mengden av stategikomb. fo alle spillee unntatt i. i i ek: u i (s,..., s n ) e von Neumann-ogensten nytte. Aksiomene fo foventet-nytte-maksimeing antas å holde.. ANDEDE SAEGIE OG EKSISENS AV IKEVEK landede stategie I to-spille spill gjelde: s i e ikke stengt dominet av noen blandet stategi p i P i (dvs, det eksistee ingen p i P i slik at Eui( si, p i) < vi( pi, p i) fo alle p i P i) Det finnes en oppfatning som i kan ha om j's stategivalg slik at s i e et beste sva fo i gitt i's oppfatning (dvs, det eksistee en p i P i slik at Eu ( s, p ) v ( p, p ) fo alle p P) i i i i i i i i
. ANDEDE SAEGIE OG EKSISENS AV IKEVEK landede stategie En en stategi, som ikke kan væe et beste sva, kan væe stengt dominet av en blandet stategi uten å væe stengt dominet av en en stategi. Nytte fo hvis velge. ANDEDE SAEGIE OG EKSISENS AV IKEVEK landede stategie En en stategi, som ikke e stengt dominet av noen blandet stategi, kan væe et beste sva til en blandet stategi uten å væe et beste sva til en en stategi. Nytte fo hvis velge Indiffeenskuve hvis tilegge høyee ssh. enn. ulighetsomåde Indiffeenskuve hvis tillegge lavee ssh. enn Nytte fo hvis velge, - 0, - 0, -, -, -, - ulighetsomåde Indiffeenskuve hvis tillegge og lik ssh. Nytte fo hvis velge, - 0, - 0, -, -, -, -. ANDEDE SAEGIE OG EKSISENS AV IKEVEK Nash-likevekt i blandede stategie. OIVASJON: Ikke alle nomalfom-spill ha en Nash-likevekt i ene stategie. DEFINISJON: ( p,..., p n ) e en Nash-likevekt i blandede stategie fo nomalfomspillet G = (S,..., S n ; u,..., u n ) hvis det fo hve spille i gjelde at vi( pi, p i) vi( pi, p i) fo alle pi Pi (dvs. at p i e et beste sva på p i ).. ANDEDE SAEGIE OG EKSISENS AV IKEVEK (Ovevåkn.) Ovevåkning Ikke ovevåkning /5 (Ikke ovevåkn.) (Ulovlig) ovligulovlig -, 0 0, 0 -,-4 -, / (ovlig)
. ANDEDE SAEGIE OG EKSISENS AV IKEVEK U D x, - z, - y, - w, - Fie tilfelle: (i) x > z og y > w (ii) x < z og y < w (iii) x > z og y < w (iv) x < z og y > w (U) (U) (U) (U). ANDEDE SAEGIE OG EKSISENS AV IKEVEK I et tospille-spill hvo hve spille ha to ene stategie, kan det finnes:. Én Nash-likevekt. Én Nash-likevekt. o Nash-likevekte i ene stategie i blandede stategie. i ene stategie, og (nå minst en spille én Nash-likevekt ha en dominant stategi). i blandede stategie. (U) (U) (U) (U) (U). ANDEDE SAEGIE OG EKSISENS AV IKEVEK O F O, 0, 0 F 0, 0, Kjønnskampspillet u (O) / (F) / (F) (O) u. ANDEDE SAEGIE OG EKSISENS AV IKEVEK eoem. (Nash, 950) I nomalfom-spillet G = (S,..., S n ; u,..., u n ), hvis n e endelig og S i e endelig fo hve i, da eksistee minst én Nash-likevekt, muligens i blandede stategie. evis: (Nash-likevekt som et fiks-punkt.) β i (p,..., p n ): engden av beste sva fo i på (p,..., p n ). β(p,..., p n ): engden av stategikombinasjone som fo alle spillene e beste sva på (p,..., p n ). En Nash-likevekt tilfedsstille (p,..., p n ) β(p,..., p n ). (Kontinuitet.) Fo hve (p,..., p n ) e β(p,..., p n ) ikke-tom og konveks, og β( ) ha en lukket gaf. Fodi det e et endelig antall stategikombinasjone, følge det fa Kakutanis (94) fiks-punkt-teoem at det eksistee (p,..., p n ) slik at (p,..., p n ) β(p,..., p n ).