Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b) 7 går ikke opp i 8 siden vi får en rest på 6 når 8 deles med 7 c) 7 går opp i 57 siden 57 7 d) 7 går ikke opp i siden vi får en rest på 5 når deles med 7 Oppgave 5 Her må vi anta at verken a eller b er. Hvis a går opp i b, så må det finnes et heltall k slik at b k a og hvis b går opp i a, må det finnes et heltall k slik at a k b. Dermed blir b k k b og k k. Men produktet av to heltall er lik kun hvis begge er eller hvis begge er -. Dermed må a b eller a b. Oppgave 8 La for eksempel a, b 8 og c 9. Da er b c 7. Men går opp i 7, men går ikke opp verken i 8 eller 9. Oppgave 9 Kort repetisjon av teorien: Gitt et heltall a og et positivt heltall d. Da finnes det to entydige tall q og r der r d slik at a q d r. Her kalles r for resten og q for kvotienten. Med andre ord er q det (hele) antallet ganger d går opp i a og r er resten ved divisjonen. Definisjonen sier at også når a er negativ skal resten r være slik at r d. Da kan vi, hvis d ikke går opp i a (dvs. r ), bruke flg. regneregel: La a være positiv og la q og r være kvotient og rest når vi deler a med d. Da blir d r rest og ( q ) kvotient når a deles med d. Eksempel: Hva blir kvotient og rest når skal deles med? Vi deler først med. Det gir en kvotient q på og en rest r på. Dermed blir kvotienten ( + ) = og resten = når deles med. a), 5 b), c), 7 d) 77, e), f), g), h),
Oppgave 6 Kort repetisjon av teorien: La a og d være to heltall der d. Da er a mod d r der r er resten og a div d q der q er kvotienten når a heltalldivideres med d. Dvs. de entydige verdiene r og q gitt ved a q d r og r d. Obs: r kan ikke være negativ. a) 7 mod b) mod 7 c) mod d) 99 mod 9 9 Oppgave 7 a) mod b) 97 mod c) 55 mod 9 d) mod 9 Oppgave 8 De tallene som er kongruent med modulo er gitt på formen k der k er et vilkårlig heltall. Ved for eksempel å velge k,,,, får vi tallene, 6, 8, og 5. Oppgave 9 a) 8 er ikke kongruent med 5 modulo 7 siden 7 ikke går opp i 8 5 = 75. b) er ikke kongruent med 5 modulo 7 siden 7 ikke går opp i 5 = 98. c) 9 er kongruent med 5 modulo 7 siden 7 går opp i 9 5 =. d) er ikke kongruent med 5 modulo 7 siden 7 ikke går opp i 5 = 7. Avsnitt.5 Generelt om primtall Når vi skal undersøke om et tall p er et primtall, må vi sjekke om det finnes tall som går opp i p. Da prøver vi med tallene,, 5, 7,,, 7, 9,... Dette er rekken av primtall. Vi vet også at hvis p ikke er primtall, så må det finnes primtall q som går opp i p og der q p. Hvis for eksempel p =, holder det å prøve med q =,, 5 og 7 siden. Flg. regneregel kan gjøre arbeidet med å avgjøre om et tall er et primtall, raskere: Hvis et positivt heltall p er summen av to positive heltall a og b, dvs. p = a + b, så vil et tall q ikke gå opp i p hvis det går opp i a, men ikke i b. Eksempel : Går opp? = 99 +. Vi vet at går opp i 99 og at ikke går opp i. Dermed går ikke opp i. Eksempel : Går 7 opp i? = 7 +. Vi vet at 7 ikke går opp i og dermed går ikke 7 opp i.
Oppgave a) = *7, er ikke primtall b) 9 5, primtall siden verken,, 5 går opp i 9 c) 7 8, primtall siden verken,, 5 eller 7 går opp 7 d) 97 9, primtall siden verken,, 5 eller 7 går opp 97 e) = *7, er ikke primtall f) = *, er ikke primtall Oppgave a) 9 er primtall b) 7 =*9, 7 er ikke primtall c) 9 er ikke primtall siden 9 = * d), primtall siden verken,, 5 eller 7 går opp i e) 7, primtall siden verken,, 5 eller 7 går opp i 7 f), primtall siden verken,, 5 eller 7 går opp i Oppgave a) 88 b) 6 7 6 c) 79 d) 7 e) f) 999 577 Oppgave a) 9 b) 8 c) d) e) 89 7 f) 899 9 Oppgave 5! 98 765 5 7 5 Oppgave allene, 7,,, 7, 9, og 9 er de tallene mindre enn som er innbyrdes primisk med. Dvs. gcd(, k) = for k lik hvert av disse tallene. 8 5 7
Oppgave Her plukker vi primtall fra hvert tall inntil vi har fått nok: 7 5 9 a) Gitt 5 7 og 5. Vi kan maksimalt plukke ut fem -ere og tre 5-ere fra begge 5 tallene. Største felles divisor blir dermed 5 b) Gitt 7 og 9 7 5 5 7. Største felles divisor blir. c) Gitt og 7. Det siste tallet går opp i det første, 7 blir da største felles divisor d) Gitt 5 og 5. allene er like og største felles divisor er lik 5 e) Gitt 5 7 og 7. Disse har som største felles divisor f) Gitt og. Siden går opp i blir største felles divisor Oppgave Vi får minste felles multiplum for to tall som et produkt av primtallsfaktorer ved først å ta med i produktet alle primtallsfaktorer som bare er i det ene tallet eller som bare er i det andre tallet. I tillegg tar vi med så mange faktorer som er i begge tallene som det er i det tallet det er flest. Eksempel: Hvis det første tallet er 5 og det andre tallet 5 7, så blir minste felles multiplum lik 5 7. a) 7 9 5 7 9 7 5 b) 5 7 7 c) d) 5 e) 7 5 7 f) Har ikke minste felles multiplum siden det ene tallet er Oppgave Med three consecutive integers menes tre tall som følger etter hverandre. For eksempel gjelder det tallene 5, 6 og 7. re slike tall er alltid på formen k, k og k der k er et heltall. Minst ett av disse tre tallene må være delelig med siden annethvert tall er partall og tredjehvert tall er delelig med. Derfor vil minst ett avtallene k, k og k være delelig med og minst ett delelig med. Dermed vil produktet være delelig med 6.
Avsnitt.6 Oppgave. Gangen i algoritmen kan settes opp i en tabell. il venstre står kvotienten og til høyre resten under divisjonen med. Det er satt opp tabeller for verdiene, 5 og 976: De binære sifrene må leses oppover, dvs. første binære siffer står nederst: = 5 = 976 =. Noen liker å sette tabellene på vannrett form. abellen for kunne settes opp slik: 5 57 8 7 Da må de binære sifrene leses fra høyre mot venstre, dvs. =. Oppgave a) 6 8 = 6 + 8 + + + =. b) 5 56 8 6 6 8 = 5 + = 5. 5
c) 56 8 6 6 8 = 56 + 6 + 6 + + =. d) 68 + 89 + 8 + 56 + 6 = 6896 Lag et Java-program som kjører flg. programbit: int n = Integer.parseInt("",); System.out.println(n); eller int n = b; System.out.println(n); Det vil gi utskriften 6896. Du får også en fasit på slike oppgaver ved å bruke kalkulatoren i Windows 7. Klikk på Vis/View og velg versjonen for programmering. Oppgave 5 Hvert heksadesimalt siffer erstattes med sin firesifrede binære kode, dvs. erstattes med, med, med,..... E = og F =. Eventuelle ledende -er (- er fra venstre) fjernes i det binære uttrykket vi ender opp med. Eksempel: A 6 = = a) 8E 6 = b) ABBA 6 = c) 5AB 6 = d) DEFACED 6 = Oppgave 8 Her går vi motsatt vei i forhold til oppgave 5. Vi slår sammen fire og fire binære siffer fra høyre mot venstre og oversetter dem til et heksadesimalt siffer. Hvis det er færre enn fire siffer igjen til slutt kan vi legge på -er foran til vi får fire siffer. a) = F7 6 b) = AAA 6 c) = 7777 6. Oppgave 5 75 8 = = = 7 8. 6
Oppgave 8 Her bør en gå via binærformen til tallene: 567 8 = = = 9CBB8 6 ABB9BABBA 6 = = = 5567567 Du får også en fasit på slike oppgaver ved å bruke kalkulatoren i Windows 7. Klikk på Vis/View og velg versjonen for programmering. Oppgave Euklids algoritme for å finne største felles divisor for de posistive heltallene a og b ser slik ut som Java-metode (obs. gcd betyr greatest common divisor): public static int gcd(int a, int b) { while (b!= ) { int r = a % b; // r er resten når a deles med b a = b; b = r; } } return a; Vi kan sette opp en tabell for det som skjer en kolonne for a, en for b og en for r. c) Vi starter med tilfellet der a = og b = : a b r Resultatet, dvs. største felles divisor for startverdiene til a og b, blir den verdien a har når algoritmen stopper (dvs. når b blir ). Dvs. største felles divisor for og lik. d) ilfellet a = 5 og a = 5 står i neste tabell: a b r 5 5 5 5 5 9 5 9 5 9 5 5 Her finner vi at største felles divisor for 5 og 5 er lik. 7
Avsnitt.8 Oppgave Gitt 6 7. a) En matrise med rader og kolonner er en -matrise. Generelt har vi at en m n - matrise er en matrise med m rader og n kolonner. Uttrykket m n kalles matrisens dimensjon. b) Den første kolonnen fra venstre er. kolonne, den neste er. kolonne, osv. Det betyr at. kolonne i A er. c) Radene nummereres nedover. Den øverste raden er. rad, den neste er. rad, osv. Det betyr at. rad i A er 6 d) Vi skriver en matrise A på generell form ved ( a i, j ). Symbolet a i, j står for det elementet eller den verdien som ligger i rad nr. i og kolonne nr. j. Dvs. at elementet a, eller elementet på plass (,) er det elementet som ligger i. rad og. kolonne. Det er tallet i matrisen A. Husk at det første tallet gir raden og det andre tallet kolonnen. e) Matrisen A er den transponerte til A. I læreboken brukes liten t som eksponent, men det er mest vanlig å bruke stor. Den transponerte til A får vi ved å bytte om rader og kolonner. Dvs.. rad i A blir. kolonne i A,. rad i A blir. kolonne i A, osv. Dette betyr spesielt at hvis A er en m n -matrise så vil A bli en n m -matrise. I vårt tilfelle er A en -matrise. Dermed blir A flg. -matrise: 6 7 Oppgave b) Hvis to matriser A og B skal kunne adderes, må de ha samme dimensjon. I oppgave b) er både A og B gitt som -matriser. Dermed kan de adderes. Svaret finner vi ved å addere parvis, dvs. elementet på plass (i, j) i A B får vi ved å legge sammen a ) og b ). Dermed ( i, j ( i, j ( ) 9 5 ( ) 6 A B = ( ) ( ) 5 ( ) 9 = 5 8
Oppgave Hvis to matriser A og B skal kunne multipliseres, må de ha riktige dimensjoner. Hvis A er en m n -matrise og B en k l -matrise, så kan A multipliseres med B (dvs. danne AB ) hvis n k, dvs. hvis antallet kolonner i A er lik antall rader i B. Resultatet AB blir en ml -matrise, dvs. antallet rader i AB blir det samme som antallet rader i A og antallet kolonner i AB blir det samme som antallet kolonner i B. Vi finner det som skal være på plass (,) i AB ved å multiplisere rad i A med kolonne i B. Det på plass (,) i AB finner vi ved å multiplisere rad i A med kolonne i B, osv. En rad og en kolonne multipliseres ved å danne produkt-summen, dvs. vi multipliserer elementene parvis og adderer fortløpende. a) Her er både A og B -matriser (kvadratiske matriser) og dermed kan de multipliseres. Vi får AB = * * * * = * * * * = 8 b) Her er A en -matrise og B en -matrise og dermed kan de multipliseres. Resultatet AB blir en -matrise. AB = = * ( ) * * * * * *( ) ( ) * *( ) * *( ) * *( ) ( ) * *( ) * *( ) * = 9 Oppgave a) Her er både A og B -matriser. Dermed kan de multipliseres og resultatet AB blir en -matrise: AB = = 9
Oppgave Her er det gitt at A er en -matrise, B en 5-matrise og C en -matrise. Husk reglen som sier at to matriser X og Y kan multipliseres, dvs. vi kan finne XY, Hvis antallet kolonner i X er lik antallet rader i Y. Husk også at hvis vi har en m n -matrise, så er m antall rader og n antall kolonner. a) AB OK, A har kolonner og B har rader. b) BA Galt! B har 5 kolonner og A har rader. c) AC OK, A har kolonner og C har rader. d) CA Galt! C har kolonner og A har rader. e) BC Galt! B har 5 kolonner og C har rader. f) CB OK, C har kolonner og B har rader. Oppgave En kvadratisk matrise A kalles en diagonalmatrise hvis alle elementene utenfor diagonalen er. Gitt to n n -diagonalmatriser A og B. La C være matriseproduktet AB. Da er c i, j er gitt ved a i, b, j ai,b, j.... ai, nbn, j. Men nå er a i, j, i j og b i, j, i j. Dermed vil c i, j, i j og c i, i ai, ibi, i. Se på flg. eksempel: a A a, a b B b, b ab AB a b ab Oppgave 5 n A*A*... * A (dvs. et produkt med n ledd), A* =, A * =. Her ser vi et mønster! Vi får at n n.
Oppgave 8, B =, a) B A = = b) B A = = c) AB = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = Oppgave 9, B = a) B A = = b) B A = = Oppgave, B =, AB =