Haral Bjørnesa: Variasjonsregning en enkel innføring.
Tiligere har vi løs oppgaven me å finne eksremalveriene ( maks./min. veriene) av en gi funksjon f () når enne funksjonen oppfyller beseme krav. Vi har også løs e ilsvarene probleme for funksjoner av flere variable. I alle isse oppgavene var e gi en funksjon, og vi søke eer e punke som ga funksjonen eksremalveri. I variasjonsregning er e eksremalproblem av en hel annen ype vi skal løse. Vi skal besemme en ukjen funksjon slik a en besem sørrelse J, som får en besem veri for hver gi funksjon, får en eksremalveri. Probleme som ga opphave il variasjonsregningen ble formuler av Johann Bernoulli i 696: La A og B være o punker ( B ligger lavere enn A). Ana a e maeriel punk kan bevege seg fra A il B bare uner påvirkning av yngekrafen ( vs. uen friksjon). Den korese veien er selvfølgelig en ree linjen som forbiner punkene. Men hvilken kurve gir en korese ien? Oppgaven ble løs av Johann sammen me broren Jacob og essuen av Newon og Leibniz. Løsningen er en såkale sykloien. Denne egenskapen hos sykloien har gi en navne en brakisokrone kurven. (Brachisos beyr kores, og chronos beyr i på gresk). VARIASJONEN Ana a vi har en funksjon av re variable F(, y( ), ( )). er F C. Her er C mengen av o ganger eriverbare funksjoner me koninuerlige erivere. Probleme som kalles e enklese variasjonsprobleme, kan formuleres slik: Maksimer J ( y) F(, y( ), ( )) når y ( ) y og y( ) y ( I ) For enhver funksjon y () vil inegrale J (y) ana forskjellige verier. Vi skal alså finne en funksjonen som gjør a inegrale blir sørs mulig. (Dersom oppgaven hae vær å finne minimum kunne vi i see se på funksjonen F(, y( ), ( )) ). Probleme kan illusreres geomerisk: La A(, y ) og B(, y) være o punker i y-plane. Enhver kurve som forbiner A me B gir inegrale i ( I ) en besem veri. Finn en kurven som gjør a inegrale blir sørs ( ev. mins.) y B y A Fig
3 La oss berake o kurver som forbiner A og B. (Se Fig ). La en funksjonen som løser probleme, og la y y + αμ( ) C μ ) μ( ).Her er α e reel all, og μ( ) C en funksjon. ( y ( ) C være være en funksjon er y y y ( ) + αμ( ) B y A y ( ) Fig Legg merke il a nær y ( ). y ( ) y og y ( ) y. Hvis α er lien så vil y() ligge Da vi har forusa a y er opimal vil J ( y ) J ( y + αμ) for alle α. La oss hole funksjon μ () konsan. Da vil I( α ) J ( y +αμ) være en funksjon av α gi ve I( α) F(, y ( ) + αμ( ), ( ) + αμ'( )). Vi har I ( ) J ( y) og I( α ) I() for alle α. Da α er e inre punk i efinisjonsområe il I vil I '(). Deriverer vi uner inegralegne får vi: I'( α ) ( F(, y ( ) + αμ( ), ( ) + αμ'( )) α ( F' y (, y ( ) + αμ( ), ( ) + αμ' ( )) μ( ) + F' (, y ( ) + αμ( ), ( ) + αμ'( )) μ'( )) I' () ( F' y (, y ( ), ( )) μ ( ) + F' I en mer kompak noasjon får vi (, y ( ), ( )) μ'( )) I' () μ ( ) + μ' ( ) (II) y y ' hvor inikerer a e erivere er evaluer i (, y, )
4 Dersom vi benyer elvis inegrasjon på le nr o får vi μ '( ) μ( ) Seer vi ee inn i (II) får vi: I() ( ) ' μ μ( ) μ( ) Av ee følger a y må være en løsning av ligningen (III) For å komme hi benyer vi oss av følgene: Variasjonsregningens funamenallemma: Ana a f er en koninuerlig funksjon over [ ], og a f ( ) μ( ) for enhver funksjon μ μ() som er ganger eriverbar i inervalle og som ilfressiller ranbeingelsene μ ) μ( ). Da er f() for alle [, ] ( Ligningen ( III ) kalles Euler-ligningen, eer en sveisiske maemaikeren Leonar Euler som i 744 vise a ersom en funksjon y() skal løse probleme i ( I ), må funksjonen passe inn i ( III ). Vi oppsummerer: Ana a F(,y ) er en funksjon av re variable og a en er o ganger eriverbar me koninuerlige erivere. En nøvenig beingelse for a y() skal maksimere/ minimere J ( y) F(, ) blan alle illae funksjoner y(), er a y() er en løsning av Euler-ligningen Dersom F(,y ) er konkav i y og vil vi ha løs maksimeringsprobleme, og ersom F(,y ) er konveks i y og vil vi ha minimumsløsningen.
5 ( I enkele ilfeller kan vi se ireke om en funksjon, F, er konkav eller konveks. I anre ilfeller krever e regning som e vil a for lang i å komme inn på i ee kore kurse.) Eksempel Løs probleme: min ( y + ), y(), y() e Vi har Da blir F (, ) y + y og () ' Euler-ligningen blir y-y eller y y Dee er en annenorens lineær ifferensialligning me konsane koeffisiener, og løsningen blir: y y( ) Ae + Be For å besemme konsanene A og B seer vi inn ranbeingelsene: y() og y() e Da får vi: A + B, søke funksjonen blir Ae + Be e som gir A e og B e slik a en y( ) e + e Sien funksjonen F(, ) åpenbar er konveks, har vi løs probleme.
6 TO SPESIALTILFELLER AV EULER-LIGNINGEN Dersom y ikke inngår eksplisi i funksjonsurykke, vs funksjonen kan skrives F(, ) vil og Euler-ligningen reuseres il eller C ( IV ) Dersom ikke inngår eksplisi i funksjonsurykke for F, har vi e såkale auonome ilfelle. Euler-ligningen vil a reuseres il en førseorens ifferensialligning i y il å besemme y(). For å komme frem il resulae må vi uføre e par maemaiske riks. Vi minner om en oale erivere av funksjonen F (, ) : F + + ' (V) Fra Euler-ligningen (III) finner vi ( F ). Seer vi ee inn i (V) får vi y ' F + ( ) + ' Hvis nå alså ikke inngår eksplisi i funksjonsurykke, vil F ' ( ) ( F ) og vi får: og vi har F C ( VI ) I anvenelser, for eksempel innenfor økonomisk eori er e vanlig a en variable er ien,. Funksjonsurykke er ofe beegne me slik a en funksjonen som skal maksimeres/ minimeres har følgene useene F (,, & ) Den erivere me hensyn på ien beegnes som ofes me & (leses -prikk ).
7 Eksempel Finn Euler-ligningen ilorne probleme inegrale J ( ) ( + & + e ) Me som variabel og () som funksjon blir Euler-ligningen & Vi har + e, & &, & && Euler-ligningen: + e && eller && e Eksempel 3 Gi inegrale +. Vis a eksremalene blir sirkler. Sien y mangler i funksjonsurykke, kan vi bruke (IV ). C gir oss + C og viere +. Kvarering og orning av leene gir C C eller C ± C C Her finner vi y ve å inegrere (subsiusjon u C ) y m C + m + C C C C Eller + ( y C) C Alså sirkler.
8 Oppgave Gi probleme min ( + ), y() og y() a) Finn Euler-ligningen og løs en. b) Finn en løsningen som ilfressiller rankravene. Oppgave Løs probleme maks ( 4 & ), (), () 3 Oppgave 3 Finn Euler-ligningene som er ilorne inegrale i) ii) F (, ) y + 3y + F(, ) e ay a iii) ( ) F(, ) ( y ) + y e F(, ) når Oppgave 4 a) Løs ifferensialligningen y '' y b) Vis a y Ae + Be er en løsning av ifferensialligningen y '' y c) Løs probleme min ( y + y + y + ), y(), y() Oppgave 5 Vis a Euler-ligningen som ilorner probleme min b ( + & + & ) blir & + & a
9 Oppgave 6 a) Løs ifferensialligningen y '' + b) Vis a ifferensialligningen y '' + har løsningen y Aln + B + c) Løs probleme min (y + 3y + ), y() y() 4 Oppgave 7 Gi o punker i plane A (, y ) og B (, ). y Grafen som forbiner punkene kaller vi y y(). Buelengen, vs lengen av en kurven som forbiner A og B er gi ve L + Vis a en korese avsanen er en ree linjen. Oppgave 8 Vi har gi variasjonsprobleme T 4 Maks e ln(k K& ), K ( ) K, K( T ) KT Vis a Euler-ligningen kan skrives på formen A K& + BK& + CK Hvor A,B og C er konsaner. Løs Euler-ligningen.
FASIT a) + C, y + C + C 4 3 b) y + 4 4 ) 3 + 3 3 i) y ''+ ii) y '' a + a iii) y '' a + ( a ) y 4 a) y Ae + Be c) Ranbeingelsene gir A -B e e 6 a) C ln + C c) y ( ) ln + 4ln 4 4 8) Euler-ligningen blir 4 K && 5K& + 4K som har løsningen 7 4 K C e + Ce