5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene i geometri. Nå skal vi se hvordan vi kan bruke et dataprogram som hjelpemiddel i dette faget. Vi bruker her programmet GeoGebra. Det kan vi laste ned gratis fra Internett. Når vi åpner GeoGebra, får vi fram et algebrafelt og et grafikkfelt. I grafikkfeltet er det et koordinatsystem. Det har vi ikke bruk for i dette kapittelet. Vi tar det bort på denne måten: Foran ordet Grafikkfelt er det en liten trekant som vist her: Ved å klikke på trekanten får vi fram et ekstra felt der det nå står et bilde av et koordinatsystem og av et rutenett. Nå klikker vi på koordinatsystembildet og på rutenettbildet slik at vi får et blankt grafikkfelt. Nå må vi passe på at vi har samme målestokk i begge retningene i grafikkfeltet. Det får vi til ved først å klikke inne i grafikkfeltet og deretter høyreklikke for så å velge Standard visning. Da får vi i tillegg greie avstander i grafikkfeltet. Nå skal vi tegne en trekant. Da klikker vi på mangekantsymbolet. Nå klikker vi i tre punkter i grafikkfeltet, som skal bli hjørner i trekanten, og til slutt i det første punktet igjen. Da har vi fått fram en trekant som vist her: Hjørnene i trekanten har automatisk fått navnene A, B og C. Det er mulig å endre navn på et hjørne ved å høyreklikke på hjørne og velge Gi nytt navn. Hvis vi vil flytte navnet for å pynte figuren, klikker vi på og drar i navnet ved å holde inne venstre musetast. Selve hjørnet kan vi også flytte på ved først å klikke på og deretter dra i selve punktet. I stedet for å klikke på, kan vi også trykke på tasten Esc I algebrafeltet finner vi lengden av sidekantene som vist her: Sinus 1YT > Geometri 1
Legg merke til at GeoGebra bruker punktum som desimaltegn og ikke komma! Arealet av trekanten er der også: Arealet kan vi få skrevet inne i trekanten. Da klikker vi inne i trekanten, høyreklikker og velger Egenskaper. Der klikker i firkanten foran Vis navn og velger Verdi i rullegardinmenyen på denne måten: Lengden av sidene kan vi få skrevet på sidene på tilsvarende måte. Men hvis vi først høyreklikker på navnet Linjestykke i algebrafeltet, får vi gjort det for alle linjene på en gang. Trekanten ser da slik ut etter at vi har flyttet litt på tallene ved å dra i dem. Oppgave 5.A0 Tegn digitalt en trekant og få skrevet på lengden av sidene og arealet av trekanten. Dra deretter i hjørnene slik at lengden av sidene blir 6, 5 og 4. Hva blir nå arealet av trekanten? Vi kan få GeoGebra til å måle vinklene. Da klikker vi først på vinkelsymbolet og deretter på trekanten i grafikkfeltet. Nå ser vi at GeoGebra bruker de greske bokstavene (alfa), (beta), (gamma), om vinkler. For å skjule disse navnene på figuren høyreklikker vi på ordet Vinkel i algebrafeltet, velger Egenskaper og setter Vis navn til Verdi. Da får vi en slik figur: Sinus 1YT > Geometri 2
Her har vi flyttet litt på gradtallene for vinklene ved å dra i dem. I tillegg har vi gått inn på Innstillinger, valgt Avrunding og valgt 1 desimal. Oppgave 5.A1 Tegn en trekant og dra i hjørnene slik at sidekantene får lengdene 5, 4 og 3. a) Finn vinklene i trekanten. b) Hva blir arealet av trekanten? Oppgave 5.A2 Tegn ABC og dra i hjørnene slik at AB = 5, AC = 4 og A = 45. a) Finn BC, B og C. b) Hva blir arealet av trekanten? I oppgavene ovenfor oppdaget vi nok at det var vanskelig å få nøyaktige lengder ved å dra i hjørnene i trekanten. Nå skal vi se hvordan vi kan få til dette på en bedre måte ved å konstruere trekanten. Vi skal tegne ABC digitalt der AB = 6, AC = 5 og BC = 4. I GeoGebra åpner vi en rullegardinmeny ved å klikke på den lille trekanten i nedre høyre hjørne på symbolet. Der velger vi Linjestykke med bestemt lengde. Nå klikker vi i grafikkfeltet i det punktet der vi vil ha A. Da får vi fram et skjermbilde der vi setter lengden av AB til 6 som vist her: Det gir linjestykket AB med lengde 6. Ettersom AC = 5, må C ligge på en sirkel om A med radius 5. Vi åpner derfor rullegardinmenyen under symbolet og velger Sirkel definert ved sentrum og radius. Vi klikker først på sentrum A og setter deretter radien til 5 på denne måten: Sinus 1YT > Geometri 3
BC skal ha lengden 4, og C må da ligge på en sirkel om B med radius 4. Nå tegner vi denne sirkelen om B på tilsvarende måte som ovenfor. Punktet C må ligge i skjæringspunktet mellom disse to sirklene. For å få plassert punktet nøyaktig, åpner vi rullegardinmenyen under symbolet og velger Skjæring mellom to objekt. Deretter klikker vi på de to sirklene og får denne figuren: Nå skjuler vi sirklene ved å klikke på den lille kula foran likningen for sirklene. Likningene finner vi i algebrafeltet med overskriften Kjeglesnitt. Nå klikker vi på mangekantsymbolet og deretter på punktene A, B, C og A. Til slutt går vi inn på egenskapene til mangekanten og til sidekantene og får vist verdiene som forklart foran. Det gir dette resultatet: Trekanten har arealet 9,92. Oppgave 5.A3 a) Tegn digitalt en trekant der sidekantene har lengdene 5, 4 og 3. c) Finn vinklene i trekanten. Oppgave 5.A4 I ABC er AB = 6,8 cm, AC = 5,4 cm og BC = 4,8 cm. (I GeoGebra må vi bruke punktum som desimaltegn og ikke komma!) c) Finn vinklene i trekanten. Sinus 1YT > Geometri 4
5.B Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket et AB med lengde 6 ved hjelp av verktøyet Linjestykke med bestemt lengde. På rullegardinmenyen under vinkelsymbolet velger vi verktøyet Vinkel med fast størrelse. Deretter klikker vi først på punktet B og deretter på vinkelpunktet A. Nå fyller vi ut skjermbildet slik: Legg merke til at denne vinkelen er avsatt i retning mot klokka. Det dukker da opp et punkt B slik at BAB = 50. I rullegardinmenyen for linjer velger vi Stråle gjennom to punkt og klikker på punktene A og B. Nå slår vi en sirkel med radius 4 om punktet A ved å bruke verktøyet Sirkel definert ved sentrum og radius. Til slutt finner skjæringspunktet C mellom strålen og sirkelen ved å bruke verktøyet Skjæring mellom to objekt. Det gir dette resultatet: Nå markerer vi trekanten ved hjelp av mangekantverktøyet og skjuler strålen, sirkelen og B ved å klikke på kulene foran dem i algebrafeltet. Til slutt viser vi verdier for vinkelen og sidekantene på denne måten: Sinus 1YT > Geometri 5
Oppgave 5.B0 I ABC er AB = 4, AC = 3 og A = 35. c) Finn ukjente sider og vinkler. Oppgave 5.B1 I ABC er AB = 5, BC = 4 og B = 40. c) Finn ukjente sider og vinkler. Oppgave 5.B2 I ABC er AB = 6, A = 30 og B = 45. b) Finn AC og BC. Oppgave 5.B3 I ABCD er A = 60, B = 80, AB = 5, AD = 3 og BC = 2. a) Tegn firkanten digitalt. b) Finn arealet av firkanten. c) Finn ukjente vinkler og sider i firkanten. Noen ganger er det mer enn én trekant som passer til opplysningene om en trekant. Nå skal vi se hvordan vi da kan tegne trekanten digitalt. EKSEMPEL I ABC er A = 30, AB = 6 og BC = 4. Løsning: a) I GeoGebra bruker vi først Linjestykke med bestemt lengde og setter av et linjestykke AB med lengde 6. Deretter bruker vi Vinkel med fast størrelse og Stråle gjennom to punkt til å lage ei stråle gjennom A som danner en vinkel på 30 med linjestykket AB. Ettersom BC = 4, må C ligge på en sirkel med radius 5 om punktet B. Derfor bruker vi verktøyet Sirkel definert ved sentrum og radius og slår denne sirkelen om B. Det gir dette resultatet: Sinus 1YT > Geometri 6
Både punktet C og D har avstanden 4 fra B. Punktet D er også en mulig plassering for punktet C. Det er dermed to trekanter som passer med opplysningene i oppgaven. Vi høyreklikker nå på punktet D, velger Gi nytt navn og setter navnet C på punktet. Nå bruker vi mangekantverktøyet og merker først trekanten ABC og deretter trekanten ABC. Så skjuler vi strålen, sirkelen og punktet B og viser lengden på de kjente sidene. Disse to trekantene passer med opplysningene i oppgaven: b) I algebrafeltet finner vi nå arealet av de to mulige trekantene: ABC har arealet 3,83, og ABC har arealet 11,76. Oppgave 5.B4 I ABC er B = 45, AB = 5 og AC = 4. Oppgave 5.B5 I ABC er A = 35, AC = 6 og BC = 4. b) Finn ukjente sider og vinkler i trekanten. Sinus 1YT > Geometri 7
Oppgavedel 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Oppgave 5.1A0 Tegn digitalt en trekant slik at sidekantene får lengdene 8, 7 og 6. a) Finn vinklene i trekanten. Gi svarene med 1 desimal. b) Hva blir arealet av trekanten? Oppgave 5.1A1 Tegn digitalt et linjestykke AB = 7. a) Finn digitalt et punkt C slik at arealet av ABC blir 20,0. b) Finn digitalt et punkt D slik at BD = 7 og arealet av ABD er 20,0. Oppgave 5.1A2 a) Tegn digitalt ABC der AB = 5,4, BC = 5,2 og AC = 4,2. c) Finn vinklene i trekanten. Ei linje går fra A gjennom B til et punkt D slik at AD = 7,8. d) Tegn digitalt ADC. e) Finn arealet av BDC. f) Finn vinklene i trekanten BDC. Oppgave 5.1A3 a) Tegn digitalt ABC og ABD slik figuren viser. b) Finn digitalt arealet av de to trekantene. c) Finn vinklene i trekantene. d) Trekk linja CD. Hvor mye større er arealet av BCD enn det totale arealet av de to andre trekantene? Sinus 1YT > Geometri 8
5.B Digital tegning av vinkler Oppgave 5.1B0 a) Tegn digitalt ABC der AB = 5,0, BC = 7,0 og B = 65. c) Finn ukjente sider og vinkler. Oppgave 5.1B1 a) I ABC er AB = 8,0 og A = 60. Midt på siden AB ligger et punkt D, og ADC = 30. Tegn ABC. (Du kan skifte navn på et hjørne ved å høyreklikke på navnet til hjørnet.) b) Finn ABC og BCD. c) Finn ut hvilken trekant som har størst areal av ADC og DBC. Oppgave 5.1B2 a) Figuren nedenfor viser et kvadrat ABCD der sidene har lengde 5. FE står normalt på AC, og AE = 5. Tegn digitalt denne figuren. b) Finn lengdene av EC, EF og EFB. c) Finn arealet av FEC. d) Finn arealet av firkanten ABFE. Oppgave 5.1B3 a) Tegn digitalt ABC der A = 90, AB = 4,0, BC = 6,0. b) Finn AC. c) Tegn et punkt D slik at CD = BC og AB = AD. d) Tegn en sirkel med sentrum i C som har radius 6,0. Trekk ei linje fra A gjennom C som treffer sirkelen i punktet E. Tegn BCE og CDE. Finn lengden av BE og DE. e) Finn CBE. f) Finn arealet av firkanten BCDE. Sinus 1YT > Geometri 9
Oppgave 5.1B4 a) I ABD er D = 90, AB = 7,5 og AD = 4,5. Tegn trekanten digitalt. b) Finn A og B. c) ABD er en del av en firkant ABCD. Punktet E ligger på diagonalene AC og BD i firkanten slik at BE = 4,0. Videre er DBC = 60. Tegn firkanten ABCD digitalt. d) Finn BCD og BDC. e) Finn BC og CD. f) Finn arealet av firkanten ABCD. Oppgave 5.1B5 I ABC er A = 60, AB = 6,0 og BC = 5,5. c) Finn ukjente sider og vinkler i trekanten. d) Finn ut hvor lang BC må være for at vi bare skal få én trekant som passer til opplysningene i oppgaven. Vi går ut fra at A og AB er uendret. Sinus 1YT > Geometri 10
FASIT teoridel 5.A0 9,9 5.A1 a) 37, 53 og 90 b) 6 5.A2 a) BC = 3,6, B = 52,5 og C = 82,5 b) 7,1 5.A3 b) 6 c) 36,9, 53,1 og 90 5.A4 b) 12,9 cm 2 c) A = 4,5, B = 52,1 og C = 83,4 5.B0 b) 3,4 c) BC = 2,3, B = 48,1 og C = 96,9 5.B1 b) 6,4 c) AC = 3,2, A = 53,0 og C = 87,0 5.B2 b) AC = 4,4 og BC = 3,1 5.B3 b) 9,5 c) CD = 4,2, C = 108,6 og D = 11,4 5.B4 b) 2,94 eller 9,56 5.B5 b) Enten AB = 2,88, B = 120,6 og C = 24,4 eller AB = 6,95, B = 59,4 og C = 85,6 Sinus 1YT > Geometri 11
FASIT oppgavedel Oppgave 5.1A0 a) A = 57,9, B = 46,6 og C = 75,5 b) 20,3 Oppgave 5.1A2 b) 10,2 c) A = 64,2, B = 46,6 og C = 69,2 e) 4,5 f) CBD = 133,4, BCD = 14,3 og BDC = 32,3 Oppgave 5.1A3 b) 2,51 og 1,56 c) BAC = 60,7, ABC = 85,2, C = 34,1, BAD = 16,2, ADB = 6,4 og ABD = 157,3 d) 1,52 Oppgave 5.1B0 b) 15,9 c) AC = 6,7, A = 72,2, ABC = 42,8 Oppgave 5.1B1 b) ABC = 13,9, BCD = 16,1. c) Like store, begge har areal 3,46. Oppgave 5.1B2 b) EC =EF = 2,07, EFB = 135 c) 2,14 d)10,36 Oppgave 5.1B3 b) 4,5 d) BE = DE = 11,2 e) CBE = 20,9 f) 24 Oppgave 5.1B4 b) A = 53,1 og B = 36,9 d) BCD = 73,7, BDC = 46,3 e) BC = 4,5, CD = 5,4 f) 25,2 Oppgave 5.1B5 b) 3,11 og 12,48 c) AC = 1,2, ABC = 10,9 og ACB = 109,1 eller AC = 4,8, ABC = 49,1 og ACB = 70,9 d) ca. 5,2 Sinus 1YT > Geometri 12