HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN STE 629 Digital signalbehandling Tid: Torsdag 0.08.2006, kl: 09:00-2:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator, med tomt minne. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Eksamen består av 4 sider (derav side med formler), 2 oppgaver og 20 deloppgaver. Faglærer: Førsteamanuensis, Dr.ing. Per J. Nicklasson, Tlf. 76 96 64 0/48 29 72 7 Hver deloppgave gir 5 poeng.
Oppgaver og løsninger. Definer begrepene Z-transform og Fourier-transform for et lineært tidsinvariant diskret system. Hva er sammenhengen mellom de to? Z-transformen er definert utfra Hz hnz n. Dette er den to-sidige transformen. Den en-sidige n transformen er definert utfra Hz n0 Fourier-transformen er definert som He j hnz n, og er altså lik den to-sidige for kausale systemer. n hne jn. Merk at den nedre summasjonsgrensen åpner for muligheten av at systemet kan være ikke-kausalt. Dersom konvergensområdet for z-transformen inneholder enhetssirkelen, kan en benytte z e j for å utlede Fourier-transformen fra z-transformen, dvs. at Fourier-transformen i dette tilfellet er z-transformen utledet på enhetssirkelen.generelt skal man altså være forsiktig med å bare erstatte z med e j uten å sjekke om z-transformen konvergerer på enhetssirkelen. 2. Utled et utrykk for frekvensresponsen He j til et lineært tidsinvariant system med differensligning yn /2yn xn 2xn xn 2 Hvilke forbehold må du ta for å sikre at frekvensresponsen virkelig eksisterer, og hvordan kan dette sjekkes? Vi har følgende sammenhenger: yn He j og yn e j He j. Får altså Ye j /2e j Ye j Xe j 2e j Xe j e j2 Xe j Dette gir He j Ye j /Xe j 2e j e j2 / 2 e j Systemet må være stabilt for at frekvensresponsen skal eksistere, dvs. at konvergensområdet til z-transformen må inneholde enhetssirkelen. Dette kan sjekkes ved å undersøke hvor polene til systemfunksjonen Hz befinner seg, og kombinere dette med systemets øvrige egenskaper. I dette tilfellet er det en pol i z /2. Dersom enhetssirkelen skal inkluderes i ROC, må konvergensområdet i dette tilfellet strekke seg utover fra polen, hvilket innebærer at systemet også må være kausalt. For kausale systemer er det altså nok å sjekke at polene er innenfor enhetssirkelen, fordi konvergensområdet da må strekke seg utover og følgelig inkludere denne.. Gitt det diskrete systemet Txn xn n 0, hvor n 0 er kjent. Avgjør om systemet har de egenskaper som er gitt under: a. Stabilt Dersom xn M så er Txn xn n 0 M. Systemet er stabilt. b. Kausalt Systemet er kausalt forutsatt at n 0 0. c. Lineært Tax n bx 2 n ax n n 0 bx 2 n n 0 atx n btx 2 n. Systemet er lineært. d. Tidsinvariant Txn n d xn n d n 0 yn n d. Systemets egenskaper endres ikke med tiden, og
systemet er tidsinvariant. e. Hukommelsesløst ( memoryless ) Systemet er ikke hukommelsesløst med mindre n 0 0. 4. Definer hva som menes med et periodisk signal. Er signalet xn e jn/6 periodisk, og hva er eventuelt perioden? Et periodisk signal er et signal der de samme verdier forekommer med konstant avstand i tid, dvs. xn xn N for N 0.I dette tilfellet får vi e jn/6 e j/6nn e jn/62k 2k N for 6 heltall k og N. Dersom vi lar k, får vi N 2 som blir signalets periode. Signalet er altså periodisk. 5. Gitt z-transformerte for inngangen og utgangen til et system: Xz / z, z og Yz / 6 z z, z. Bestem konvergensområdet for systemfunksjonen 6 Hz. Konvergensområdet må velges slik at ROC(Yz) inneholder snittet av ROC(Xz) ogroc(hz). Dvs. at vi må velge ROC(Hz) slik at z. 6 6. Gitt en følge xn med z-transformert Xz 4 2 z 2z Konvergensområdet for følgen inkluderer enhetssirkelen. Bestem verdien x0. Oppgaven kan løses på to måter, enten ved å inverstransformere, eller ved å benytte begynnelsesverditeoremet. Ved inverstransformasjon for å komme over i tidsplanet, må vi først beregne konvergensområdet. I dette tilfellet er det poler i z 2ogz /2, og konvergensområdet må ligge mellom disse to polene siden det inkluderer enhetssirkelen. Dette betyr at følgen er to-sidig. Vi får xn 2 n un 4 2n u n og x0 0 Vi kan også benytte begynnelsesverditeoremet fra formelsamlingen xn 0,n 0 x0 lim z Xz. Merk at dette teoremet forutsetter at signalet er kausalt (xn 0,n 0. Det er poler i z /2 og z 2. Denne følgen har både en kausal og en ikke-kausal del siden konvergensområdet er en ring i det komplekse plan (konvergensområdet kan ikke inneholde poler). I dette tilfellet må teoremet endres, slik at man også tar hensyn til den ikke-kausale delen. z x0 lim lim 4 z lim lim 4 z 0 z z 0 z 2 0 (NB! Merk grenseverdien 2 z 2 z 2z for den ikke-kausale delen, der man altså lar z 0). 7. Forklar hva begrepet aliasing innebærer når det er snakk om informasjonsinnhenting fra analoge signaler for diskret behandling i datamaskiner. Aliasing innebærer at signalkomponenter i det analoge signalet med frekvens høyere en halve samplingsfrekvensen, etter sampling fremstår med lavere frekvens fordi det samples for sakte. I frekvensplanet vil dette vise seg ved at repeterte kopier av det originale signalets frekvensspekter overlapper hverandre. En skisse som illustrerer hva som skjer er gjengitt nedenfor:
8. Gitt systemet med transferfunksjon Hz 7 8 z 2 z, z 2 Tegn signalflytgrafen som svarer til en implementasjon av systemet på følgende form: a. Direkte form I b. Direkte form II c. Transponert direkte form I d. Transponert direkte form II 9. Forklar kort hensikten med med å benytte ulike former av signalflytgrafer for diskrete systemer.
Hvilken sammenheng er det mellom signalflytgrafene og differensligningene for systemet? Ulike signalflytgrafer illustrerer grafisk ulike måter å implementere et diskret system på. De ulike implementasjonene har forskjellige egenskaper: numeriske (nøyaktighet, stabilitet), beregningsbehov (antall regneoperasjoner), og nødvendig lagringskapasitet. Differensligningene for systemet kan avledes fra signalflytgrafen ved at man setter opp ligninger for nodene i grafen. 0. Anta at den bilineære metoden for skal benyttes ved design av et diskret IIR-filter. Utled et uttrykk for transferfunksjonen Hz til det diskrete systemet som fremkommer ved anvendelse av denne metoden på et kontinuerlig system med transferfunksjon Hs A s a Benytter sammenhengen z T/2s/ T/2s, som gir s 2/T z / z. Innsetting i Hs gir Hz ATz 2 at 2aTz. Anta at du ønsker å designe digitale filtre ved hjelp av vindusmetoden. Forklar kort fremgangsmåten ved bruk av denne metoden. Ved bruk av vindusmetoden tar man utgangspunkt i en ideell ønsket frekvensrespons H d e j. Denne har en tilsvarende impulsrespons h d n. I de fleste tilfeller er denne ikke-kausal og uendelig lang (grunnet diskontinuiteter i H d e j ). Følgelig er den ikke implementerbar. Dette løser man ved å plukke ut en del av koeffisientene i impulsresponsen ved å multiplisere h d n med en vindusfunksjon wn, slik at hn wnh d n. Vindusfunksjonen kan ha ulike former, som alle påvirker formen av den resulterende frekvensresponsen. Denne blir nå ikke lik den ideelle, fordi man bare har tatt med en (vektet) del av den ideelle impulsresponsen. 2. Anta at du har gitt en diskret følge xn av endelig lengde N. a. Forklar hvordan du kan beregne frekvensinnholdet i denne følgen. Følgen er allerede på diskret form, og det er da naturlig å benytte den diskrete Fourier-transformasjonen (DFT ) for å beregne frekvensinnholdet. Denne implementeres i de fleste tilfeller ved hjelp av en FFT-algoritme. b. Anta at følgen representerer deler av et analogt signal xt som er samplet. Hvilke faktorer vil være med på å avgjøre om det frekvensinnholdet som finnes ut fra metodene beskrevet i forrige spørsmål, er et godt estimat av det virkelige frekvensinnholdet i signalet. Følgende faktorer vil påvirke estimatet: Prefiltrering av signalet. Har man prefiltrert signalet med riktig båndbredde, slik at aliasing unngås? Antall samples, som igjen vil påvirke antall punkter som kan beregnes og følgelig muligheten for å gjengi de ulike frekvenskomponentene med mest mulig korrekt amplitude og frekvens. Utfylling med nullere gir tilsynelatende bedre resultat, men tilfører altså ikke mere informasjon. Valg av vindusfunksjon, som påvirker lekkasje mellom ulike frekvenskomponenter og oppløsning (utsmøring grunnet bredden av hovedloben i vindusfunksjonen, slik at en enkelt frekvenskomponent fremstår over et intervall i frekvens).
Laplace-transformasjonen DFS Konvolusjon Den ensidige Z-transformasjon Den bilineære transformasjonen Begynnelsesverditeoremet Formelsamling L /s n t n /n!, (n,2,,... L /s a n t n e at /n!, n,2,,... L /s 2 2 /sint N X k x nw kn N, x n X kw kn N N,W N e j2/n n0 k0 xn yn k Xz xnz n n0 xkyn k N Zun / z, z Z u n / z, z Zn m z m Za n un / az, z a Z a n u n / az, z a Zna n un az / az 2, z a Z na n u n az / az 2, z a z T/2s/ T/2s xn 0,n 0 x0 lim z Xz