NOTAT TIL FORELESNING OM FUNKSJONER, DEL Forelesige om uksjoer består av to deler, ørste del bygger på dette otatet Notatet bygger på læreboke og er oe mer utyllede e orelesige I bolk 5a så vi hvorda vi kue komme rem til e uksjo ra et praktisk orsøk Dette or å mie om at uksjoer har stor praktisk avedelse, og at vi må være oppmerksom på at det ka være ysiske og praktiske begresiger vi må ta hesy til år vi setter e uksjo i i e praktisk sammeheg Hvis vi teker oss at e uksjo viser høyde til e plate etter hvert som tide går Plate vil vel ikke bare bli høyere og høyrere etter hvert som tide går? Mage tig ka skje i tillegg til at de slutter å vokse, vide ka kekke de, et dyr ka spise de, år høste kommer ka de vise og dø Dette er tig som vi ikke ka orutse, og som vi deror heller ikke klarer å ta hesy til år vi lager e uksjo Hvis vi sier at uksjoe gjelder or et begreset tidsområde(deiisjosmegde), vil uksjoe kue beskrive høyde til plate som e uksjo av tide rimelig bra Her blir vi å ta or oss viktige begrep i orbidelse med uksjoer, vi blir å legge vekt på at dere skal orstå prisippee, og ikke okusere så mye på kokrete tall Flere eksempler med kokrete tall og orklariger ies som ege dokumeter I orelesige så vi litt på hvorda vi teger graer mauelt Ekel bruk av GeoGebra er vist gjeom oe korte videoer i bolk 5c LINEÆRE FUNKSJONER Med utgagspukt i et valig koordiatsystem, med og y akse eller ørste- og adreakse, ka ma tege e rett lije Hvilke type uksjo er det hvor grae er e rett lije? Jo det er e ørstegradsuksjo eller også kalt e lieær uksjo, som er gitt med det geerelle uttrykket, hvor a er stigigstallet og b er kostatleddet Stigigstallet sier oe om hvor mye y a b grae stiger eller syker, mes kostatleddet svarer til y verdie der grae skjærer y akse For oversikte si del ka det være yttig å huske de tre tilellee: a stigigstallet er positivt og grae stiger år vi beveger oss mot høyre i koordiatsystemet stigigstallet er egativt og grae syker år vi beveger oss mot høyre i koordiatsystemet a stigigstallet er ull, grae blir e horisotal lije som krysser a y akse i y b Husk at hvis både stigigstallet og kostatleddet er lik ull, år vi e lieær uksjo gitt ved hvor grae blir e horisotal lije som krysser y akse i y y, Det geerelle uttrykket over ka ikke beskrive e vertikal lije Stigigstallet til e vertikal lije vil ikke være et kokret tall, det vil være uedelig stort E vertikal lije skrives som c, or eksempel er e vertikal lije som krysser akse i Vi mier om at to lijer er parallelle hvis de har samme stigigstall Sagt på e ae måte, vi ka avgjøre om to lijer er parallelle ved å sammelige stigigstallee, vi treger ikke å tege de or å avgjøre det
Vi mier også om deiisjoe på begrepet uksjo: E uksjo er e regel som til hvert elemet i e megde gir ett, og bare ett, elemet i e ae megde Her ka det være verdt å merke seg at dee sammehege ikke er e-til-e, uksjoe ka godt til to orskjellige elemet i e megde gi det samme elemetet i e ae megde For eksempel vil uksjoe ( ), gi at () og ( ) Valigvis beteger vi e uksjo med lite bokstav, or eksempel Og vi agir de rie variabele ved å skrive ( ) som betyr at er e uksjo av Tilsvarede betyr ht () at uksjoe h er e uksjo av t, som ote brukes i orbidelse med tid Når vi kjeer e uksjo vet vi hva de gjør med elemetee i e megde, dee megde ka være begreset(itervall av reelle tall) eller uedelig(alle reelle tall), vi kaller dee megde or deiisjosmegde til uksjoe og skriver de D, hvis de gjelder uksjoe De mulige verdiee uksjoe ka gi ka også være begreset eller ubegreset og kalles verdimegde, de skrives V, hvis de gjelder uksjoe deiisjosmegde edres Mer at verdimegde vil kue edre seg hvis Før vi går videre skal vi se litt på hva vi meer med itervall og megder av tall TALLINJA Tallija er e rett lije der tallee og plassert i to orskjellige pukter, og de adre tallee har si aturlige plasserig i orhold til disse Legde av lijestykket med edepukter og kaller vi tallijes legdeehet Hvert tall tilsvarer et bestemt pukt på tallija, og omvedt vil hvert pukt på tallija tilsvare et bestemt tall Alle disse tallee til samme kaller vi de reelle tallee I dee sammeheg vil det være aturlig å repetere litt om megder I matematikke kalles e sammeatig av objekter e megde, og objektee de består av, kalles elemetee i megde Noe eksempler: De aturlige tallee (dvs tallee,,3,4, ) De hele tallee (dvs, 3,,,,,,3, ) E megde ka ha et edelig eller uedelig atall elemeter Vi bruker valigvis store bokstaver or megder og små bokstaver or uspesiiserte elemeter La A være e vilkårlig megde Hvis a er et elemet i A, skriver vi a A Hvis a ikke er et elemet i A, skriver vi a A Eksempel: 3,3,5 og 4,3,5 (dette omtales ote som listeorm) To megder kalles like hvis de har øyaktig de samme elemetee,,,3 3,,, rekkeølge elemetee er listet opp i er ute betydig
Det er oe megder i matematikke som har ått sitt eget symbol: megde av alle aturlige tall megde av alle hele tall megde av alle reelle tall de tomme megde Istedeor å liste opp elemetee i e megde ka vi ortelle hvilke egeskap elemetee må ha or å være med i megde: Megde av alle positive reelle tall ka vi skrive, leses «megde av alle elemet i slik at» E ae måte å agi e megde på er å si at de består av alle løsiger av e gitt likig DELMENGDE, UNION OG SNITT La A og B være to vilkårlige megder Hvis ethvert elemet i A også er et elemet i B, sier vi at A er ieholdt i B, og skiver A B Vi sier at A er e delmegde av B Eksempel:,,3, La A og B være to vilkårlige megder De megde som består av alle de elemetee som er med i både A og B, kalles sittet av A og B og skrives A B De megde som består av alle de elemetee som er med i mist e av megdee A og B, kalles uioe av A og B og skrives A B ULIKHETER OG INTERVALLER De reelle tallee deles i i de positive tallee, de egative tallee og tallet, som verke reges or positivt eller egativt Hvis a og b er reelle tall slik at dierase a b er positiv, så sier vi at a er større e b, og skriver (eller vi sier at b er midre e a, og skriver b a ) a b Regler or regig med ulikheter: Hvis a b og c er et vilkårlig tall, så har vi a c b c Hvis a b og, så har vi ac bc Hvis a b og, så har vi ac bc Reglee over gjelder også om byttes ut med Mier om at a b eller a b, og leses «a er større e eller lik b» a b betyr at a b midre e eller lik b» c c per deiisjo betyr at a b eller a b, og leses «a er Megde av alle tall som ligger mellom to gitte tall på tallije, kalles et itervall Vi skiller mellom de itervallee som ieholder sie edepukter og de som ikke gjør det: ab,, det åpe itervallet ra a til b, a b ab,, det halvåpe itervallet ra og med a til b, a b ab,, det halvåpe itervallet ra a til og med b, a b a, b, det lukkede itervallet ra a til b, a b Itervallee over kalles begresede itervaller Med blat itervallee reger vi også de
ubegresede itervallee: b a, a a, a, b b,b, På tallija bruker vi orteg til å agi om et tall er positivt eller egativt Vi ka da si at et tall består av e absoluttverdi, også kalt tallverdi, og et orteg Vi deierer absoluttverdi: Absoluttverdie til tallet a skrives a a a hvis a hvis a For eksempel er og avstade ra tallet til tallet a og er deiert ved DIVERSE FUNKSJONER E uksjo vil ote være gitt ved e ormel Geometrisk ka vi teke på absoluttverdie til et tall som ( ), som gir oss uksjosverdie verdi av Hvis ikke deiisjosmegde er oppgitt, er det uderorstått at D ( ) or hver er megde av alle slik at ormele gir meig Iledigsvis så vi på de lieære uksjoe, vi skal å se på oe adre uksjoer Vi starter med de kvadratiske uksjoe Det ka vises at grae til uksjoe parabeles akse er parallell med åper seg oppover(blid, a ( ) a b c ( ) a b c La a, b y akse Forteget til koeisiete a ) eller edover(sur, a ) og c være gitte tall, alltid har orm som e parabel, og at a orteller oss om parabele Parabele har e geometrisk egeskap som har yttige avedelser, bla i optikk, akustikk og radioastroomi Krummer vi et speil som e parabel, år speilet de egeskape at lysstråler som aller i mot speilet parallelt med parabeles akse, relekteres og samles i et bestemt pukt, brepuktet Lager vi speilet rotasjossymmetrisk om parabeles akse, år vi et såkalt parabolsk speil Slike speil ka brukes til kokig av mat La g være uksjoe gitt ved g( ) Uttrykket gir bare meig år er større e eller lik, side vi ikke har deiert kvadratrote til egative tall Deiisjosmegde i dette tilellet blir Dg, Fuksjoe som til hver gir absoluttverdie til, kalles absoluttverdiuksjoe og er gitt ved ( ) : hvis ( ) hvis Side vi ka rege ut absoluttverdie or alle tall, har vi at D Dette er et eksempel på e uksjo gitt ved delt orskrit, dvs uksjoe er gitt ved orskjellige ormler på orskjellige
itervaller Et pukt der uksjoe skiter ormel, kalles et bruddpukt til uksjoe Grae til på itervallet itervallet,, er de rette lija gjeom origo med stigigstall, og grae til er de rette lija gjeom origo med stigigstall Vi har at lijee heger samme i dette puktet Vi har også at E uksjo tall og a, a,, a som er deiert or alle ved på er positiv or alle, bortsett ra a a a a er kostater, kalles e polyomuksjo Hvis, og de to ( ) der et aturlig a, sier vi at er et tegradspolyom E polyomuksjo er alltid e kotiuerlig uksjo, me grae ka å et okså komplisert utseede, avhegig av koeisietee a, a,, a 5 3 For eksempel er ( ) 3 e emtegradsuksjo side 5 er de største potese av som orekommer Vi ser at uttrykket gir meig or alle reelle tall, så D Det bør også eves i dee sammeheg at kostate uksjoer, lieære uksjoer og kvadratiske uksjoer er heholdsvis te, ørste- og adregradsuksjoer Som kjet, ka vi også deiere poteser av rasjoalt tall, dvs e brøk: der ekspoete er et helt egativt tall, eller et m/ or m Mier om at / og Vi ka å dae potesuksjoer på orme ( ) a r Merk at e tegradsuksjo er e sum av potesuksjoer med heltallige ekspoeter, og at rotuksjoer er potesuksjoer, or eksempel: g( ) 4 4 4 5/ 5 5 Side vi ikke har deiert partallsrøtter av egative tall, har vi h ( ) reges også som e potesuksjo side vi har 3, Fuksjoee og g 3 Dg, Husk også er også eksempler på potesuksjoer Fuksjoe h gitt ved or Vi har sett at vi ka summere ledd av ulike poteser av or å dae tegradsuksjoer Geerelt ka vi bruke sum eller dierase av ulike uksjosuttrykk or å dae ye uksjoer Hvis vi har to uksjoer og g, ka vi dae uksjoe g : g( ) ( ) g( ) dvs or hver summerer vi uksjosverdiee til g : g( ) ( ) g( ) og g Tilsvarede år vi uksjoe Vi ka også dae produkter og kvotieter av uksjoer Fuksjoe g: g( ) ( ) g( ) Kvotiete av og g, der er tellere:
( ) ( ) der g( ) g g( ) Dette kalles e rasjoal uksjo Spesialtilellet potesuksjo a r der a er e kostat, kalles også e 3 Fuksjoe er et eksempel på e rasjoal uksjo Hva som er spesielt or rasjoale uksjoer blir vi å komme tilbake til i del For å kue modellere alle de ulike eomeee vi har treger vi mage uksjoer, e meget viktig kostruksjo or å skae oss lere uksjoer er såkalt sammesetig av to uksjoer: La og g være to uksjoer Sammesetige av med g er e uksjo h gitt ved h( ) g( ), dvs g er e variabel i uksjoe Eksempel på sammesatt uksjo: gitt og g da år vi at h( ) g( ) 4 4