5.8 Gjennomsnittlig vekstfart Grete Grønn kjøper en plante som er 5 cm høy. Hun tror at den kommer til å vokse 2 cm per uke. Vi sier at vekstfarten er 2 cm/uke. Etter x uker er høyden av planten da gitt ved h( x) 2x 5 Dette er en lineær funksjon der grafen er ei rett linje. Vekstfarten er det samme som stigningstallet til linja. For lineære funksjoner er vekstfarten lik stigningstallet til grafen. Vekstfarten er den samme i alle punkter. For andre funksjoner vil vekstfarten variere. Vi skal nå lære å finne gjennomsnittlig vekstfart i en periode. Grete Grønn plantet et frø. Grafen nedenfor viser høyden av denne planten de 30 første dagene etter spiring. Vi skal finne den gjennomsnittlige vekstfarten i perioden fra 5 dager til 15 dager. 1
Planten har da vokst fra 4 cm til 30 cm. Veksten er h(15) h(5) 30 cm 4 cm 26 cm Antallet dager er 15 dager 5 dager = 10 dager Den gjennomsnittlige vekstfarten i perioden fra 5 dager til 15 dager er 26 cm 2,6 cm/dag 10 dager Den gjennomsnittlige vekstfarten i perioden fra 5 dager til 15 dager er 2,6 cm per dag. Den gjennomsnittlige vekstfarten i perioden fra 20 dager til 25 dager finner vi på tilsvarende måte. Planten har da vokst fra 45 cm til 55 cm. Veksten er h(25) h(10) 55 cm 45 cm 10 cm Antallet dager er 25 dager 20 dager = 5 dager Den gjennomsnittlige vekstfarten i perioden fra 20 dager til 25 dager er 10 cm 2,0 cm/dag 5 dager Den gjennomsnittlige vekstfarten er 2,0 cm per dag. Generelt går vi fram slik når vi skal finne gjennomsnittlig vekstfart: Den gjennomsnittlige vekstfarten til en funksjon f fra x f ( b) f ( a) b a a til x b er gitt ved EKSEMPEL En sommerdag var temperaturen i celsiusgrader fra kl. 8 til kl. 20 gitt ved 3 21 T x x x 8 2 2 ( ) 50 der x er antallet timer etter midnatt (klokkeslettet). a) Finn temperaturen kl. 10, kl. 12, kl. 17 og kl. 19. b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i perioden fra kl. 10 til kl. 12 og i perioden fra kl. 17 til kl.19. c) Finn digitalt den gjennomsnittlige vekstfarten i perioden fra kl. 10 til kl. 12 og i perioden fra kl. 17 til kl.19. Løsning: a) Vi finner temperaturen på de fire tidspunktene på denne måten: 2
3 2 21 T (10) 10 10 50 17,5 8 2 3 2 21 T (12) 12 12 50 22 8 2 3 2 21 T (17) 17 17 50 20,1 8 2 3 2 21 T (19) 19 19 50 14,1 8 2 Kl. 10 var temperaturen 17,5 C, kl. 12 var den 22 C, kl. 17 var den 20,1 C og kl. 19 var den 14,1 C. b) Temperaturendringen fra kl. 10 til kl. 12 var 22 grader 17,5 grader = 4,5 grader Timetallet var 12 h 10 h = 2 h Den gjennomsnittlige temperaturendringen per time var 4,5 grader 2 h 2, 25 grader per time Temperaturendringen fra kl. 17 til kl. 19 var T(19) T(17) = 14,1 grader 20,1 grader = 6 grader Temperaturen sank 6 grader. Timetallet var 19 h 17 h = 2 h Den gjennomsnittlige vekstfarten fra kl. 17 til kl. 19 var 6 grader 2 h = 3 grader per time Temperaturen sank i gjennomsnitt 3 grader per time i perioden. c) Nå skal vi finne den gjennomsnittlige vekstfarten fra kl. 10 til kl. 12 i GeoGebra. Da skriver vi først inn funksjonsuttrykket slik: Deretter tilpasser vi koordinataksene og får tegnet grafen. Nå skriver vi (10, T(10)) og (12, T(12)) i inntastingsfeltet og får fram to punkter A og B på grafen. Til slutt bruker vi verktøyet Linje og klikker på de to punktene. Likningen for linja finner vi nå i algebrafeltet: Stigningstallet til denne linja er lik den gjennomsnittlige vekstfarten i perioden. Den er altså 2,25 grader per time. Vi kan også få den gjennomsnittlige vekstfarten ved å skrive dette: 3
Her er a navnet på linja. Det står foran likningen i algebrafeltet. Det gir dette resultatet: Den gjennomsnittlige vekstfarten fra kl. 10 til kl. 12 er 2,25 grader per time. Vekstfarten i perioden fra kl. 17 til kl. 19 finner vi på tilsvarende måte: Den gjennomsnittlige vekstfarten fra kl. 17 til kl. 19 er 3 grader per time. Temperaturen sank dermed i gjennomsnitt 3 grader per time i perioden. 4
Oppgave 5.80 Høyden av ei gran målt i meter t år etter at den ble plantet og til den er 50 år, er gitt ved h( t) 0,0003 t 0,025t 3 2 a) Finn høyden av grana etter 10 år, 20 år og 40 år. b) Finn ved regning den gjennomsnittlige vekstfarten til grana i periodene 1) fra 10 år til 20 år 2) fra 20 år til 40 år Oppgave 5.81 Stein I. Hage planter ei solsikke. Høyden målt i centimeter x dager etter at den ble plantet, er gitt ved h( x) 0,01 x 2,7 a) Tegn grafen til h digitalt. b) Finn digitalt den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene 1) fra 0 dager til 5 dager 2) fra 15 dager til 20 dager 3) fra 20 dager til 30 dager c) Finn digitalt den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene 1) fra 10 dager til 10,1 dager 2) fra 10 dager til 10,01 dager Hva vil du si at vekstfarten er etter nøyaktig 10 dager? Oppgave 5.82 Funksjonen f er gitt ved 3 f ( x) x 12x a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn digitalt den gjennomsnittlige vekstfarten i perioden 1) fra x 1 til x 0 2) fra x 0 til x 2 c) Finn digitalt den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene 1) fra x 1 til x 1,1 2) fra x 1 til x 1,01 Hva vil du si at vekstfarten er i punktet x = 1? 5
Oppgavedel 5.8 Gjennomsnittlig vekstfart KATEGORI 1 Oppgave 5.180 Grafen viser utviklingen av vekta V i kilogram de første 100 levedagene for en hund. a) Hvor mye veide hunden ved fødselen? b) Hvor mye veide hunden etter 60 dager? c) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i disse tidsperiodene: 1) fra 0 dager til 20 dager 2) fra 20 dager til 60 dager 3) fra 60 dager til 100 dager Oppgave 5.181 En funksjon f er gitt ved 2 f ( x) x 3x Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til f i periodene: a) fra x 0 til x 4 b) fra x 2 til x 6 6
KATEGORI 2 Oppgave 5.280 En vinter kom det ekstra mye snø i Nordmarka utenfor Oslo i desember. I tabellen nedenfor finner du snødybden D(x) målt i centimeter på målestedet Tryvatn x dager ut i desember. x (dato) 5 10 15 18 22 24 28 D(x) (cm) 5 15 35 65 97 103 133 a) Finn den gjennomsnittlige økningen i snødybden per dag i disse periodene: 1) fra x 5 til x 10 2) fra x 10 til x 15 3) fra x 15 til x 18 4) fra x 24 til x 28 b) Hvor stor omtrent var snødybden den 8. desember? Oppgave 5.281 Tabellen viser temperaturen T(x) målt i celsiusgrader x timer etter midnatt et døgn om våren. x (timer) 0 5 10 15 18 24 T(x) ( C) 6 12 15 17,5 15 9 a) Finn den gjennomsnittlige temperaturendringen per time 1) fra midnatt til kl.05 2) fra kl. 10 til kl. 15 3) fra kl. 18 til kl. 24 b) Finn den gjennomsnittlige temperaturøkningen per time dette døgnet. 7
Oppgave 5.282 Melbiller er blant de vanligste skadedyra i norske husholdninger. Tabellen viser hvor mange biller B(x) det var etter x dager i en bestemt mengde mel. x (dager) 0 2 4 6 8 10 B(x) 0 30 105 195 270 300 Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i tallet på biller per dag 1) fra 0 dager til 2 dager 2) fra 4 dager til 6 dager 3) fra 8 dager til 10 dager i melmengden. Oppgave 5.283 Tabellen viser hvordan noen forskere mener Europas befolkning kommer til å endre seg fram mot år 2100. La x være tallet på år etter 1950. x 0 50 100 150 Folketallet i millioner 550 725 650 350 Finn den gjennomsnittlige vekstfarten per år for folketallet i periodene. a) 1950 2000 b) 2000 2050 c) 2050 2100 Oppgave 5.284 Vi tar ei flaske med 1,5 liter brus ut av kjøleskapet og lar den stå på benken i lang tid. Temperaturen T(x) målt i celsiusgrader x timer etter at vi tok ut flaska, er da gitt ved T(x) = 21 15 0,75 x a) Tegn grafen til T digitalt. b) Hva er temperaturen i kjøleskapet? c) Hvor mye stiger temperaturen i brusen i gjennomsnitt per time i perioden 0 5 timer? d) Hva mener du romtemperaturen kan være ut fra modellen? 8
FASIT teoridel 5.80 a) 10 år: 2,2 m, 20 år: 7,6 m, 40 år: 20,8 m b) 1) 0,54 m per år 2) 0,66 m per år 5.81 b) 1) 0,15 cm/dag 2) 3,5 cm/dag 3) 7,6 cm/dag c) 1) 1,36 cm/dag 2) 1,35 cm/dag 1,35 cm/dag 5.82 b) 1) 11 2) 8 c) 1) 8,69 2) 8,97, 9 FASIT oppgavedel 5.180 a) ca. 0,5 kg b) ca. 3 kg c) 1) 15 g per dag 2) 55 g per dag 3) 163 g per dag 5.181 a) 1 b) 5 5.280 a) 1) 2 cm per døgn 2) 4 cm per døgn 3) 10 cm per døgn 4) 7,5 cm per døgn b) 11 cm 5.281 a) 1) 1,2 grader per time 2) 0,5 grader per time 3) 1,0 grader per time b) 0,125 grader per time 5.282 1) 15 biller per dag 2) 45 biller per dag 3) 15 biller per dag 5.283 a) 3,5 millioner b) 1,5 millioner c) 6 millioner 9
5.284 b) 6 C c) 2,3 grader per time d) 21 C 10