4 Grafer og funksjoner

Transkript

1 Grafer og funksjoner Kategori. Rette linjer Oppgave.0 Vi har gitt likningene for noen rette linjer. Fll ut tabellene og tegn de rette linjene i hvert sitt koordinatsstem. a) = 0 b) = + 0 c) = 0 d) = + 0 Oppgave. Lag tabell og tegn de rette linjene i det samme koordinatsstemet. a) = b) = c) = + d) = + Hvordan går linjene i forhold til hverandre? Oppgave. Lag tabell og tegn de tre rette linjene i det samme koordinatsstemet. a) = + b) = + c) = + Hvilket punkt går alle tre linjene gjennom? Oppgave. Finn stigningstallet og konstantleddet for linjene. a) = b) = c) = + d) = + Oppgave. Bruk stigningstallet og konstantleddet til å tegne linja. a) = 6 b) = 6 c) = + d) = + 9

2 Oppgave. Finn likningene for linjene ved grafisk avlesing. a) b) c) Oppgave.9 Ei linje er gitt ved likningen = 0, + 0 a) Fll ut tabellen. 0 0 b) Tegn linja digitalt. Tilpass vinduet på det digitale verktøet til tabellen i oppgave a. 0 Oppgave.6 Ei rett linje går gjennom punktene (0, ) og (, 0). a) Tegn linja. b) Finn konstantleddet og stigningstallet til linja. c) Finn likningen for linja. Oppgave.7 Ei linje er gitt ved likningen = 0, +, Tegn linja digitalt når er mellom 0 og 0 og er mellom og 7. Oppgave.8 Ei linje er gitt ved likningen = 6 a) Fll ut tabellen. 0 b) Tegn linja digitalt. Tilpass vinduet på det digitale verktøet til tabellen i oppgave a. Sinus YT > Grafer og funksjoner. Grafisk avlesing Oppgave.0 Petter tar ofte drosje. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom prisen i kroner på en drosjetur og lengden av turen målt i kilometer. kr km a) En dag kjørte han 6 km med drosje. Hva måtte han betale for den turen? b) Omtrent hvor mange kilometer kan han kjøre for 00 kr?

3 Oppgave. Lise skal kjøre langt med bilen og fller bensintanken helt opp før start. Grafen viser hvordan bensinmengden minker med avstanden. liter mil a) Hvor me rommer bensintanken? b) Hvor me er det igjen på tanken når Lise har kjørt 0 mil? c) Hvor langt har hun kjørt når det er 0 liter bensin igjen? d) Hvor langt kan Lise kjøre før tanken er tom? Oppgave. Ei linje er gitt ved likningen = a) Tegn den rette linja. b) Løs likningen grafisk og ved regning. = Oppgave. Ei linje er gitt ved likningen = + a) Tegn linja. b) Løs likningen grafisk og ved regning. + = Oppgave. Per skal ta bilsertifikat. Med kjøre timer er de totale utgiftene i kroner gitt ved = a) Fll ut tabellen. (timer) (kr) b) Bruk tabellverdiene og tegn den rette linja. La ligge mellom 0 og 0 og mellom 0 og c) Finn av linja hvor mange kjøre timer Per hadde når utgiftene til sertifikatet var kr. d) Kontroller svaret i oppgave c ved å løse likningen = Oppgave. Vi fller varm te med temperaturen 88 C på ei termosflaske. Flaska holder ganske godt på varmen, og temperaturen snker bare,0 grader per time. Etter timer er temperaturen i celsiusgrader = 88,0 a) Fll ut tabellen. (timer) 0 6 ( C) b) Bruk tabellverdiene og tegn den rette linja i et koordinatsstem. Velg mellom 0 og og mellom 0 og 90. c) Finn grafisk hva temperaturen er etter 9 timer. d) Finn grafisk når temperaturen er 76 C. e) Kontroller svaret i oppgave d ved å løse en likning.

4 TIP Oppgave.6 Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom kraften P på et pumpestempel og kraften T på et trkkstempel. N T N a) Hvor stor kraft T blir det på trkkstempelet når kraften P på pumpestempelet er 0 N? b) Hvor stor kraft blir det på trkkstempelet når kraften på pumpestempelet er dobbelt så stor som i a? c) Hvor stor kraft må vi bruke på pumpe stempelet for at kraften på trkk stempelet skal bli 00 N? d) Hvor stor kraft må vi bruke på pumpe stempelet for at kraften på trkk stempelet skal bli 600 N? BA Oppgave.6 Grafen viser fuktighetsgraden i prosent i et parti trematerialer som er lagt til tørk. % Fuktighet 80 P a) Hvor stor er fuktighetsgraden etter 0 timer? b) Når er fuktighetsgraden %? c) Hva var fuktighetsgraden da tørkingen begnte? d) Etter 60 timer er det 0 kg fuktighet igjen i materialene. Hvor mange kilogram fuktighet var det i materialene da tørkeprosessen begnte? EL Oppgave.6 Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom strømmen I gjennom en motstand og spenningen U over motstanden. V 0 0 U a) Hvor hø er spenningen over motstanden når strømmen er 6 A? b) Hvor stor er strømmen gjennom motstanden når spenningen er V? c) Hvor stor er strømmen gjennom motstanden når spenningen er 7, V? I A Tørketid timer Sinus YT > Grafer og funksjoner

5 EL TIP Oppgave.7 Grafen viser sammenhengen mellom elektrisk resistans og lengde for en motstandstråd. Ω 0,08 0,06 0,0 0,0 0,00 0,008 0,006 0,00 0,00 Resistans 0, Lengde 0,8,,6 m a) Hvor stor er resistansen når lengden er 0,8 m? b) Hvor stor er resistansen når lengden er, m? c) Hvor lang må tråden være for at resistansen skal være 0,0? EL Oppgave.8 Grafen viser sammenhengen mellom effekt og spenning for en motstand. W Effekt Spenning V a) Finn effekten når spenningen er 0 V. b) Hvor stor er spenningen når effekten er 7 W? c) Motstanden bør ikke utsettes for mer enn 0 W. Hvor hø er spenningen da?. Grafisk løsning av lineære likningssett Oppgave.0 Et lineært likningssett består av likninger for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordinatsstemet nedenfor. Finn løsningen av likningssettet. Oppgave. Løs likningssettene grafisk og ved hjelp av et digitalt verktø. a) = + b) = = + = + c) = d) = = + = + Oppgave. Hans har 000 kr og bruker 00 kr av disse pengene hver måned. Grete har 000 kr og sparer i tillegg 00 kr hver måned. a) Hvor mange penger har Hans og Grete hver etter ett år? b) Finn grafisk når Hans og Grete har like me penger. Hvor me penger har de da? c) Løs oppgave b digitalt.

6 Oppgave. Harr har en stor bil som bruker, liter bensin på mila. Bensintanken til denne bilen tar 60 liter. Ronn har en mindre bil som bruker 0,7 liter per mil. Denne bilen har en bensintank som rommer 8 liter. Harr og Ronn fller opp tanken på samme bensinstasjon og kjører etter hverandre på langtur. a) Hvor me bensin har Harr og Ronn igjen etter mil? b) Finn grafisk når Harr og Ronn har like me bensin igjen. c) Bruk et digitalt verktø til å gjøre oppgave b. d) Hvor langt kan Harr kjøre før han må flle bensin igjen, og hvor langt kan Ronn kjøre før han igjen må flle? Oppgave. Petter selger abonnementer til mobiltelefoner. Han kan nå velge mellom to ulike lønnstilbud: I) En fast månedslønn på kr pluss kr for hvert ntt abonnement han selger. II) En fast månedslønn på 000 kr pluss 0 kr for hvert ntt abonnement han selger. a) En måned solgte han 6 abonnementer. Hvilket lønnstilbud gir høest lønn? b) En annen måned solgte han 98 abonnementer. Hvilket lønnstilbud gir høest lønn? c) Forklar at dersom han selger abonnementer, er lønna i kroner for de to lønnstilbudene I) = II) = d) Finn grafisk hvor mange abonnementer han må selge for at lønnstilbudene skal være like gode. Hva er lønna da? Sinus YT > Grafer og funksjoner. Funksjonsbegrepet Oppgave.0 Regn ut f (0), f () og f () når a) f () = + b) f () = c) f () = + d) f () = Oppgave. Funksjonen f er gitt ved f() = f () 9 a) Kontroller de utregnede funksjonsverdiene i tabellen. b) Fll ut tabellen. c) Tegn grafen til f. Oppgave. Regn ut g( ), g() og g() når a) g() = b) g() = c) g() = Oppgave. Vi har tegnet grafen til funksjonen f f Bruk grafen til å finne a) ) f (0) ) f () b) Løs likningen f () = 0 c) Finn verdimengden til f.

7 Oppgave. f. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter Oppgave.0 Funksjonen f er gitt ved f () = a) Tegn grafen til f. Velg [0, 6] når du tegner grafen. b) Bruk grafen til å finne ) nullpunktene til f ) bunnpunktet til f c) Finn verdimengden V f. a) Bruk grafen til funksjonen f til å finne ) f (0) ) f ( ) b) Løs grafisk likningen f () = c) Finn verdimengden til f. Oppgave. En funksjon g er gitt ved g() = a) Tegn grafen til g. b) Løs grafisk likningen g() = c) Finn verdimengden til g. Oppgave.6 Farten til en vogn som beveger seg på et skråplan, er en funksjon av tida gitt ved v(t) =,8t 0,7 der farten v(t) er gitt i m/s når tida t er målt i sekunder. Bevegelsen starter oppover skråplanet. a) Regn ut v(0), v(0,) og v(0,). b) Tegn grafen til v for det første sekundet av bevegelsen.velg fornuftige enheter på aksene. c) Løs grafisk likningen v(t) = 0. Hvor i bevegelsen er vogna da? d) Finn verdimengden til v. Oppgave. Funksjonen f er gitt ved f () = + 8 a) Tegn grafen til f. Velg [, ] når du tegner grafen. b) Bruk grafen til å finne ) nullpunktene til f ) toppunktet til f c) Finn verdimengden V f. Oppgave. En funksjon f er gitt ved f() = a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet til f. d) Finn bunnpunktet til f. Oppgave. En funksjon f er gitt ved f() = + a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet til f. d) Finn bunnpunktet til f.

8 6.6 Lineære funksjoner Oppgave.60 Tegn grafen til funksjonen gitt ved a) f () = b) f () = + 9 c) f () = d) f () = + Oppgave.6 En kjøreskole har disse prisene: Kjøretime 0 kr Teorikurs inklusiv tentamen 600 kr Glattkjøring 800 kr Landeveiskjøring 00 kr Mørkekjøring 00 kr Kjøretest 700 kr Førerprøve 00 kr Mona er elev ved skolen og tar alt som er nevnt ovenfor. a) Forklar at dersom Mona bruker timer, så er de totale utgiftene U() i kroner til bilsertifikat U() = b) Hva er de totale utgiftene til Mona dersom hun bruker 0 kjøretimer? c) Tegn grafen til U. Velg mellom 0 timer og 0 timer. d) Mona ønsker ikke å bruke mer enn kr til bilsertifikat. Finn både grafisk og ved regning hvor mange timer hun høst kan ha. e) En annen kjøreskole tilbr de samme kursene og kjøringene for 7800 kr og en kjøretime for 90 kr. Finn et uttrkk for de totale utgiftene V() dersom Mona bruker kjøretimer ved denne skolen. f) Finn ved regning det antallet kjøretimer som gjør at utgiftene til sertifikat blir like store ved de to kjøreskolene. Sinus YT > Grafer og funksjoner Oppgave.6 Grafene til to lineære funksjoner f og g er tegnet i det samme koordinatsstemet. f a) Bestem funksjonsuttrkket f (). b) Bestem funksjonsuttrkket g(). Oppgave.6 Hans har 00 kr og bruker et fast beløp hver uke. Grete har 70 kr og sparer et fast beløp hver uke. Etter uker har Hans h() kroner igjen, og Grete har g() kroner. Grafene til g og h er tegnet nedenfor. kr h uker a) ) Finn funksjonsuttrkket til g. ) Finn funksjonsuttrkket til h. b) ) Hvor me bruker Hans hver uke? ) Hvor me sparer Grete hver uke? c) Når har Hans og Grete like me penger? Hvor me penger har hver av dem da? d) Når har Hans brukt opp alle sine penger? g g

9 Oppgave.6 Ei solsikke er 0 cm hø og vokser cm per døgn. Finn et uttrkk for høden h(t) av solsikka i centimeter etter t døgn. Oppgave.6 Anne skal klippe en gressplen på 00 m. Hun klipper i jevnt tempo og klipper m per minutt. Oppgave.7 Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn ved regresjon likningen for den linja som passer best med dataene i tabellen , 9,0,0 Oppgave.7 En forretning selger en bestemt vare. Når varen koster kroner, selger forretningen enheter av den. Tabellen viser sammenhengen mellom og for noen priser. (kr) a) Hvor me har hun igjen å klippe etter 0 minutter? b) Etter minutter har Anne igjen f () m. Forklar at f () = 00 c) Tegn grafen til f i oppgave b i et koordinatsstem. d) Hvor lang tid bruker Anne på hele jobben?.7 Lineær regresjon Oppgave.70 Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn ved regresjon likningen for den linja som passer best med dataene i tabellen.,0 6,6 8,8, a) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær matematisk modell som passer med de oppgitte dataene i tabellen. b) Bruk modellen i oppgave a og finn ) etterspørselen når prisen er 70 kr ) prisen på varen når etterspørselen er 00 Oppgave.7 Kalle Rask løp 60-meteren på 8,7 s da han var år gammel. Tabellen viser den videre utviklingen til Kalle på 60 m. (år) 6 (sekunder) 8,7 8, 8, 7,9 a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn likningen for den linja som passer best med dataene. b) Tegn den rette linja i et koordinatsstem. c) Hva kommer Kalle til å løpe 60-meteren på når han blir 8 år hvis utviklingen fortsetter på den samme måten? 7

10 .8 Gjennomsnittlig vekstfart Oppgave.80 En funksjon f er gitt ved f() = Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet a) [0, ] b) [, 6] Oppgave.8 En fin vårdag i Oslo har vi målt temperaturen T på forskjellige tidspunkter timer etter midnatt T ( C) Finn den gjennomsnittlige temperaturendringen per time i disse tidsperiodene: a) [6, 8] b) [8, ] c) [, 6] d) [6, 8] Oppgave.8 En vinter kom det ekstra me snø i Nordmarka utenfor Oslo i desember. I tabellen nedenfor finner du snødbden D() målt i centimeter på målestedet Trvatn døgn ut i desember. Oppgave.8 Grafen viser vekten V i kilogram de første 00 levedagene for en hund. kg V dager a) Hvor me veide hunden ved fødselen? b) Hvor me veide hunden etter 60 dager? c) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til V i disse tidsperiodene: ) [0, 0] ) [0, 60] ) [60, 00] t (dato) D() (cm) a) Finn den gjennomsnittlige økningen i snødbden per døgn i disse periodene: ) [, 0] ) [0, ] ) [, 8] ) [, 8] b) Hvor stor omtrent var snødbden den ) 8. desember ) 0. desember Oppgave.8 Grafen øverst på neste side viser hvordan temperaturen T målt i celsiusgrader i en innsjø en sommerdag varierer med dbden målt i meter. a) Hva er temperaturen i overflaten? 8 Sinus YT > Grafer og funksjoner

11 b) Hva er temperaturen i dbden 0 m? C 0 0 T 0 0 c) Finn den gjennomsnittlige temperatur endringen per meter i disse intervallene: ) [0, ] ) [0, 0].9 Momentan vekstfart Oppgave.90 Grafen til funksjonen f () = 6 er tegnet sammen med tangenten til grafen i punktet (, 6) a) Finn grafisk stigningstallet til tangenten. b) Hva forteller dette om vekstfarten til f når =? c) Kontroller digitalt svaret i oppgave a ved å finne den momentane vekstfarten til f når =. f m Oppgave.9 Vi har tegnet grafen til funksjonen f () = + sammen med to tangenter til grafen. 6 a) Finn grafisk stigningstallet til linja som tangerer grafen i punktet (, f ( )). b) Finn grafisk stigningstallet til linja som tangerer grafen i (, f ()). c) Kontroller svarene i oppgave a og b ved å finne de tilsvarende vekstfartene digitalt. Oppgave.9 Vi har tegnet grafen til en funksjon f nedenfor f Hva er da vekstfarten til f i punktet =? ) ) ) f 9

12 0 Oppgave.9 En funksjon er gitt ved f() = a) Tegn grafen til f. b) Finn grafisk den momentane vekstfarten til f når ) = ) = Kategori. Rette linjer Oppgave.0 Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsstemet. a) = b) = + 6 c) = + d) = Oppgave. Ei rett linje går gjennom punktene (0, ) og (, ). a) Tegn linja. b) Finn konstantleddet og stigningstallet til linja. c) Finn likningen for linja. Oppgave. Ei rett linje går gjennom punktene (, 0) og (, ). a) Tegn linja. b) Finn konstantleddet og stigningstallet til linja. c) Finn likningen for linja. Oppgave. Bruk stigningstallet og konstantleddet til å tegne linja. a) = + b) = 7 c) = d) = + 7 Sinus YT > Grafer og funksjoner Oppgave. Finn likningene til linjene som er tegnet nedenfor. b) 6 7 a) Oppgave. Finn likningene til linjene som er tegnet nedenfor. c) a) b) c) Oppgave.6 Tegn linjene digitalt. a) =, b) = +, c) =,8 + 0,6 d) = + 7 Oppgave.7 Frida studerer i Frankrike. Hun har en mobil telefon som hun bare bruker til å sende tekstmeldinger til Norge. Hun betaler kr per måned for abonnementet på telefonen og,7 kr per tekstmelding.

13 a) Hvor me må Frida betale hvis hun en måned sender tekstmeldinger? b) Forklar at hvis hun en måned sender tekstmeldinger, betaler hun kroner, der =,7 + c) Tegn linja i oppgave b digitalt. d) Hvor mange tekstmeldinger kan hun i en måned sende for 0 kr? Oppgave.8 For Inga Strøm er utgiftene til elektrisk strøm i kroner per år gitt ved = 0, der er tallet på kilowattimer. a) Tegn linja digitalt når er mellom 0 og b) Hvor mange kilowattimer har hun brukt når utgiftene et år er 000 kr? Oppgave.9 Hanne skal ta sertifikat for bil. Hun har fått opplst at utgiftene til de obligatoriske kursene og kjøringene kommer på 700 kr. En kjøretime koster 60 kr. a) Finn en formel for utgiftene i kroner når hun bruker kjøretimer. b) Tegn ei linje digitalt som viser sammen hengen mellom og når er mellom 0 og 0. c) Hvor mange kjøretimer har hun hatt når utgiftene til sammen er kr?. Grafisk avlesing Oppgave.0 Anne skal klippe en stor plen. Hun arbeider i jevnt tempo. Grafen viser hvor mange kvadratmeter hun har igjen å klippe den nærmeste tida. m min a) Hvor stor er plenen som skal klippes? b) Hvor mange kvadratmeter har Anne igjen å klippe etter 0 minutter? c) Hvor mange minutter har Anne klipt når det gjenstår 00 m å klippe? d) Hvor lang tid bruker hun på hele jobben? Oppgave. Grafen viser hvordan temperaturen varierte ei kald høstnatt. Enheten langs førsteaksen er timer etter midnatt. C timer a) Hva var temperaturen kl. 0.00? b) Hva var temperaturen kl. 08.0? c) Når var temperaturen lavest? Hva var temperaturen da? d) Når var temperaturen C?

14 Oppgave. Biler slipper ut karbondioksid (CO ). Hvor me CO en bil slipper ut, avhenger blant annet av farten. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom CO - utslipp og farten for en bestemt bil. g/km Sinus YT > Grafer og funksjoner km/h Karbondioksidmengden er målt i gram per kilometer (g/km), og farten er i kilometer per time (km/h). a) Hvor me CO slipper bilen ut når farten er 0 km/h? b) Hvor me CO slipper bilen ut når farten er 0 km/h? c) Hvilken fart gir minst utslipp? Hva er utslippet av CO da? d) Hva er farten når utslippet er 0 g/km? Oppgave. Løs likningene grafisk og ved regning. a) + = + b) + = + Oppgave. En stein blir kastet rett opp i lufta. Grafen viser hvordan høden over bakken forandrer seg med tida t. m ,,, a) Hvor høt er steinen etter 0, s? b) Hvor høt er steinen etter s? c) Når er steinen høest? Hvor høt over bakken er steinen da? d) Når treffer steinen bakken? e) Fra hvilken høde ble steinen kastet? f) Når er steinen 8 m over bakken? Oppgave. Bensintanken til bilen til Lise tar 60 liter. Ved langkjøring forbrenner motoren 0,7 liter bensin per mil. Lise fller tanken helt full og starter på en langkjøring. a) Forklar at etter mil er det igjen liter bensin på tanken, der = 60 0,7 b) Tegn linja i oppgave a. c) Finn grafisk hvor mange liter bensin det er igjen etter 0 mil. d) Finn grafisk hvor mange mil Lise har kjørt når det er igjen 0 liter. t s

15 Oppgave.6 Berit fller varm te med temperaturen 9 C på ei tekanne, mens Lars samtidig fller varm kaffe med temperaturen 86 C på ei kaffekanne. Temperaturen i tekanna snker med, grader per minutt, mens temperaturen i kaffekanna snker med 0,8 grader per minutt. a) Hva er temperaturen T i tekanna etter minutter? b) Hva er temperaturen K i kaffekanna etter minutter? c) ) Tegn ei rett linje som viser sammenhengen mellom T og når er mellom 0 og 0. ) Tegn i det samme koordinatsstemet ei rett linje som viser sammenhengen mellom K og. d) Finn grafisk og ved regning når temperaturen er den samme i tekanna og i kaffekanna. TIP Oppgave.7 Grafene viser sammenhengen mellom volumet V og trkket p for to slindere med stempler. bar p Slinder Slinder dm V a) Hvor stort er trkket i slinder når volumet er 0 dm? b) Hvor stort er volumet i slinder når trkket er bar? c) I hvilken av slindrene er trkket 8 bar når volumet er dm? d) Hvor stor er trkkforskjellen i de to slindrene når volumet er dm i begge? e) Er trkkforskjellen størst ved stort eller ved lite volum? EL Oppgave.7 Grafene viser sammenhengen mellom strømmen I og resistansen R for to variable motstander M og M. Spenningen er konstant, men forskjellig for de to motstandene. A I M M a) Hvor stor er strømmen gjennom M når resistansen er? b) Hvor stor er resistansen til M når strømmen er A? c) I hvilken av motstandene er strømmen 8 A når resistansen er? d) Hvor stor er forskjellen mellom resistansene når strømmen er A? e) Sammenhengen mellom spenning, strøm og resistans er gitt ved U = R I. Bruk dette til å finne spenningen over de to motstandene. R Ω

16 . Grafisk løsning av lineære likningssett Oppgave.0 Løs likningssettene grafisk og ved hjelp av et digitalt verktø. a) = + b) = + = + 8 = + c) = d) = + = + = + Oppgave. Hans har 000 kr og bruker 00 kr hver måned. Grete har 8000 kr og sparer 800 kr hver måned. a) Hvor me har Hans igjen av pengene sine etter måneder? Hvor me penger har Grete etter måneder? b) Finn grafisk når Hans og Grete har like me penger. Hvor me har de da? Oppgave. Ola kjører på en motorvei i 78 km/h. Kari kjører i 90 km/h på den samme veien. Ved et målepunkt er hun akkurat km bak Ola. a) ) Hvor mange kilometer kjører Kari i minuttet? ) Hvor mange kilometer kjører Ola i minuttet? b) Forklar at t minutter etter at Kari har passert målepunktet, har de kjørt s km fra målepunktet, der Kari: s =,t Ola: s = +,t c) Finn grafisk når Kari tar igjen Ola. Hvor langt fra målepunktet er de da?. Funksjonsbegrepet Oppgave.0 Funksjonen f er gitt ved f () = + Regn ut f (0), f (), f () og f ( ). Oppgave. Regn ut f (), f (0) og f ( ) når a) f () = b) f () = + c) f () = + d) f () = + Oppgave. Finn konstanten b når f () = g(). a) f () = + b g() = + b) f () = + b g() = b + c) f () = + b g() = b + 6 Oppgave. Hvilke av kurvene nedenfor og på neste side er grafer til funksjoner? a) Sinus YT > Grafer og funksjoner

17 b) c) d) Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter Oppgave.0 En funksjon f er gitt ved f() = a( ) der a er en konstant. a) Finn nullpunktene til f. b) ) Tegn grafen til f når a =. ) Finn koordinatene til bunnpunktet. c) ) Tegn grafen til f når a =. ) Finn koordinatene til toppunktet. Oppgave. Minimumstemperaturen i vinterhalvåret følger ofte modellen T() = 6 +, [0, ] T() er temperaturen målt i celsiusgrader i uke nr., der = 0 tilsvarer uka midt i november. a) Tegn grafen til T. b) Når har vi lavest minimums temperatur? Hva er temperaturen da? c) Kan modellen også gjelde for uke nr. 0 (midten av juni)? Oppgave. a) Tegn grafen til funksjonen g gitt ved g() = + b) Løs likningen g() = 0. c) Finn verdimengden til g. Oppgave. a) Tegn grafen til h() = + b) Løs likningen h() =. c) Finn verdimengden til h. Oppgave. Funksjonen f er gitt ved f() = + 6, D f = 7, a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet og bunnpunktet til f. d) Finn verdimengden til f. Oppgave. a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved f () = b) Finn nullpunktene til f. c) Finn koordinatene til toppunktet. d) Finn koordinatene til bunnpunktet.

18 Oppgave. Funksjonen f er gitt ved f () = a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn koordinatene til toppunktet. d) Finn koordinatene til bunnpunktene..6 Lineære funksjoner Oppgave.60 Funksjonene f og g er gitt f () = + og g() = a) Tegn grafene til f og g i det samme koordinatsstemet. b) Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom grafene. Oppgave.6 a) Tegn grafen til funksjonen f () = b) Tegn grafen til en funksjon g slik at grafen er parallell med grafen til f og går gjennom punktet (, ) i det samme koordinatsstemet. c) Bestem funksjonsuttrkket til g grafisk. Oppgave.6 Vi har tegnet grafene til to lineære funksjoner f og g. 6 f g a) Finn funksjonsuttrkkene til f og g grafisk. b) Grafen til en tredje lineær funksjon h er parallell med grafen til g og går gjennom punktet (, ). Finn grafisk funksjonsuttrkket til h. Oppgave.6 Bensintanken til bilen til Petter rommer 8 liter. Ved langkjøring bruker bilen 0,7 liter per mil. Petter fller tanken helt full og drar på langtur. a) Finn et uttrkk for bensinmengden B() på tanken etter mil. b) Tegn grafen til B. c) Hva er stigningstallet til grafen til B? d) Hvor langt kan Petter kjøre før han må flle bensin igjen? 6 Sinus YT > Grafer og funksjoner

19 Oppgave.6 Tabellen viser prisen P på en liter høoktan bensin i 980 og i 008. I tabellen lar vi = 0 svare til 980 og = 8 svare til 008. År P (kr),,9 a) Vi antar at prisutviklingen har vært tilnærmet lineær mellom 980 og 008. Finn et uttrkk P() i kroner for prisen på en liter høoktan bensin år etter 980. b) I 990 kostet denne bensinen 6,0 kr per liter, og i 000 kostet den 9,80 kr per liter. Finn ut om den lineære modellen i oppgave a passer med disse prisene. c) Finn stigningstallet til grafen til P. Hva gir stigningstallet uttrkk for her? d) Hva vil denne bensinen koste i 00 hvis prisutviklingen fortsetter på den samme måten?.7 Lineær regresjon Oppgave.70 Tabellen viser folkemengden i millioner i Norge på noen tidspunkter mellom 900 og 008. (år) (millioner),0,8,9,,80 Her svarer = 0 til 900, = 0 til 90 osv. a) Hvor me økte folkemengden i gjennomsnitt per år fra 900 til 008? b) Ta utgangspunkt i årene 900 og 008 og lag en lineær matematisk modell for utviklingen. c) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn ved regresjon den linja som passer best med dataene i tabellen. d) Hva er folkemengden i Norge i år 00 hvis utviklingen følger den modellen du lagde i oppgave c? Oppgave.7 Vi blir stadig flere her på jorda. Tabellen nedenfor viser når folketallet på jorda passerte ne milliarder. År (i milliarder) 6 a) La 960 svare til = 60, 97 til = 7, osv. Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn ved lineær regresjon den lineære funksjonen = f () som passer best med tallene i tabellen. b) Gå ut fra at folketallet på jorda fortsetter å vokse lineært. Når vil folketallet da passere ) 7 milliarder ) 8 milliarder c) Tegn digitalt den rette linja som viser utviklingen av folketallet. d) Prognoser antder at vi kommer til å passere 9 milliarder mennesker i 0. Hvor stort avvik er dette fra modellverdien for 0? e) Diskuter hva som må til for å minske den raske økningen i folketallet. Oppgave.7 Tabellen viser salget S av legemidler i kroner per innbgger i Norge i perioden 99 til 997. La være antallet år etter 99. Årstall S (kr)

20 a) Bruk tallene fra 99, 99 og 997 og finn ved regresjon en lineær matematisk modell for perioden b) Bruk modellen fra oppgave a og finn salgstallene per innbgger for 99 og 996. c) I 007 var salget av legemidler i Norge ca. 00 kr per innbgger. Undersøk om den lineære modellen du fant i oppgave a, passer med salgstallet per innbgger i 007. Oppgave.8 Tabellen viser hvordan noen forskere mener Europas befolkning kommer til å endre seg fram mot år 00, der er tallet på år etter Folketallet i millioner Finn den gjennomsnittlige vekstfarten for folketallet i periodene a) b) c) Oppgave.8 Tabellen viser elevtallet i grunnskolen og den videregående skolen i perioden , der er tallet på år etter Gjennomsnittlig vekstfart Oppgave.80 Tabellen viser temperaturen T() målt i celsiusgrader timer etter midnatt et døgn om våren T() ( C) 6 7, 9 a) Finn den gjennomsnittlige temperatur endringen per time i periodene ) [0, ] ) [0, ] ) [8, ] b) Finn den gjennomsnittlige temperatur økningen per time dette døgnet. a) Finn den gjennomsnittlige veksten per år i periodene ) ) ) b) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn likningen for den rette linja som passer med utviklingen. c) Hva blir elevtallet i skolen i år 00 hvis utviklingen av elevtallet følger modellen i oppgave b? Oppgave.8 Vi tar ei flaske med, liter brus ut av kjøleskapet og lar den stå på benken i lang tid. Temperaturen T() målt i celsiusgrader timer etter vi tok ut flaska, er da gitt ved T() = 0,7 8 Sinus YT > Grafer og funksjoner

21 a) Tegn grafen til T digitalt. b) Hva er temperaturen i kjøleskapet? c) Hvor me stiger temperaturen i brusen per time i perioden 0 timer? d) Hva mener du romtemperaturen kan være ut fra modellen? Oppgave.8 Høden i meter av et tre etter t år er gitt ved h(t) = 00 t + 0 t, t [0, 60] I hvilken av periodene ) [0, 0] ) [0, 0] ) [0, 60] vokser treet mest per år? Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten til treet i denne perioden?.9 Momentan vekstfart Oppgave.90 I en laboratoriekultur utvikler det seg gjærceller. Etter t timer er tallet G(t) på gjærceller gitt ved G(t) = 0,6t + 8,6t +,0t, t [0, 6] a) Tegn grafen til G. b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til G i perioden [0, 6]. c) Anslå en verdi for vekstfarten etter 8 timer ved å regne ut brøken G(8,) G(8) 8, 8 d) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn den momentane vekstfarten etter 8 timer. e) Studer grafen til G og forklar hvorfor dette er den største momentane vekstfarten til G. Oppgave.9 Tegn på et ruteark grafen til funksjonen f() =, [, ] a) Tegn tangenter i punktene (, f ( )) og (, f ()). b) Bruk tangentene til å finne den momentane vekstfarten til f i punktene = og =. c) Finn den momentane vekstfarten til f i punktene = og = digitalt. Oppgave.9 I et land er folketallet i dag 6,0 millioner. De neste tolv årene regner stresmaktene med at folketallet f () i millioner kommer til å øke raskt, og at det etter år vil være gitt ved f() = 0,0 + 0,8 + 6, [0, ] a) Tegn grafen til f på et ruteark. b) Tegn tangenter til grafen i punktene (, f ()), (6, f (6)) og (0, f (0)). c) Bruk tangentene til å finne den momentane vekstfarten i punktene =, = 6 og = 0. d) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn den momentane vekstfarten i de samme punktene som i oppgave c. Oppgave.9 En dag kom det me nedbør de ni første timene etter midnatt. Den totale nedbørsmengden f() målt i millimeter timer etter midnatt var gitt ved f() =,, [0, 9] a) Tegn grafen til f på et ruteark. b) Finn den momentane vekstfarten grafisk etter timer og etter 8 timer. c) Kontroller utregningene i oppgave b ved å regne ut vekstfarten i begge tilfellene digitalt. 9

22 BLANDEDE OPPGAVER Oppgave.00 På Blåfjell var snødbden 0 cm den. mars. dager ut i april var snødbden D() målt i centimeter, der D() = 0, + 0 a) Finn ved regning snødbden på Blåfjell. april. b) Tegn grafen til D. c) Finn grafisk når i april snødbden var på det laveste. Hva var snødbden da? d) Finn grafisk og ved regning når snødbden var 70 cm. Oppgave.0 På en komfr står det en kjele med vann. Temperaturen i vannet er 6 C. Vannet i kjelen får en jevn tilførsel av varme, og etter t minutter er temperaturen T målt i celsiusgrader i vannet T = 6 +,t a) Hva er temperaturen etter 7, minutter? b) Tegn ei linje som viser sammenhengen mellom T og t. Velg t mellom 0 og 0. c) Finn grafisk og ved regning når temperaturen i vannet er 79 C. d) Finn en formel for t uttrkt ved T. e) Hvor lenge går det før vannet koker? Oppgave.0 Løs likningssettet grafisk og ved regning. 0 = + = 8 Oppgave.0 Kjell tar ofte drosje om kvelden. Dersom han reiser kilometer med drosjen, må han betale P kroner, der P =, a) Hva betaler Kjell for en kjøretur på 8 km? b) Hva står tallene,90 og 7 for i formelen? c) Tegn ei linje som viser sammenhengen mellom P og for mellom 0 og 0. d) Finn grafisk og ved regning hvor langt Kjell kan kjøre for 96 kr. e) Finn ved regning hvor langt Kjell kan kjøre hvis prisen skal være mindre enn kr. Sinus YT > Grafer og funksjoner Oppgave.0 En kvinne har drukket alkohol og har,0 promille alkohol i blodet. Vi antar at alkoholinnholdet i blodet hennes minker med 0, promille per time. a) Finn et uttrkk A(t) i promille for alkoholinnholdet i blodet til kvinnen etter t timer. b) Tegn en graf som illustrerer denne sammenhengen. Velg t mellom 0 og. c) Hvor me alkohol har hun i blodet etter 8 timer? d) Hvor lang tid tar det før alkoholen er helt ute av kroppen? e) I Norge er det ikke lov å kjøre bil når alkoholinnholdet i blodet er over 0, promille. Hvor lang tid må damen vente før hun kan kjøre bil? Finn svaret både grafisk og ved regning.

23 Oppgave.0 Finn likningene ved grafisk avlesing for hver av de fire rette linjene. d) b) Oppgave.06 Funksjonen f er gitt ved f() = a + a) der a er en konstant. a) Sett a =. ) Tegn grafen til f. ) Finn nullpunktene til f. ) Finn bunnpunktet til f. ) Finn verdimengden til f. b) Sett a =. ) Tegn grafen til f. ) Finn toppunktet til f. ) Finn verdimengden til f. c) La a ha forskjellige verdier og tegn hver gang grafen til f. Hvilket fortegn må konstanten a ha for at grafen til f skal ha ) et bunnpunkt ) et toppunkt Oppgave.07 Løs likningssettet grafisk og ved regning. = = 0 c) Oppgave.08 Grafen nedenfor viser hvordan høden til et grantre utvikler seg over 60 år. m År a) Bruk grafen til å finne høden til grantreet etter ) 0 år ) 0 år b) Finn gjennomsnittlig vekstfart til grantreet fra det 0. til det 0. året. c) Bruk en grafisk metode til å anslå vekstfarten til treet etter 0 år. d) Når vil du si at vekstfarten til treet er størst? Begrunn svaret. Oppgave.09 Temperaturen blir målt både i celsiusgrader ( C) og fahrenheitgrader ( F). Sammenhengen mellom celsiusgrader og fahrenheitgrader er gitt ved =,8 + a) Tegn den rette linja. La cm svare til 0 enheter på begge aksene. b) Normal kroppstemperatur er 7 C. Hvilken temperatur tilsvarer det i fahrenheitgrader? c) Hvilken temperatur i C eller F svarer til ) 0 C ) 0 F ) 00 C t

24 Oppgave.0 I reklame for slankeplaster finner vi påstander om vekttapet ved bruk av slike plaster. Blant annet står det at vekten f () til en mann, målt i kilogram etter dager med plaster, med god tilnærming kan beskrives med funksjonen f () = 0,008 0,0 + a, [0, 60] der a er startvekten i kilogram. En mann har startvekten 98 kg. a) Regn da ut f (0), f (0) og f (60). b) Finn grafisk når mannen veier 87, kg. c) Vurder om modellen kan holde ut over de første 60 dagene. Oppgave. Tidevannseffekten kan få vannhøden til å variere me. Et sted var vannhøden h(t) målt i centimeter t timer etter midnatt h(t) = 0,8t,6t + 00, t [0, ] a) Tegn grafen til h. b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til vannhøden de seks første timene i døgnet. c) Bruk grafen og finn vekstfarten til vannhøden etter 0 timer. d) Når var vannhøden på det laveste? Hva var vannhøden da? Oppgave. I Storevik begnte det å snø i slutten av oktober. Den. oktober (t = 0) var det kommet 0 cm nsnø, og snøværet fortsatte noe inn i november. Snødbden S(t) målt i centimeter var t døgn inn i måneden gitt ved S(t) = 0,08t +,6t + 0 a) Tegn grafen til S. b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i snømengden i perioden fra. oktober til 0. november. c) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i snømengden i perioden fra 0. november til 0. november. d) Finn når snødbden var størst. Hva var snødbden da? e) Finn vekstfarten til snødbden den ). november ). november Oppgave. Et øsamfunn blir rammet av en influensaepidemi. Alle ne tilfeller av skdommen blir registrert. uker etter at de første tilfellene ble registrert, ble I() ne øboere rammet av epidemien, der I() = , [0, 9] a) Tegn grafen til I. b) Finn grafisk når det ble registrert flest ne tilfeller av epidemien. Hvor mange ne registrerte tilfeller var det da? c) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i tallet på ne influensaregistrerte fra den tredje til den sjette uka. Oppgave. Kari og Petter bor km fra hverandre. En dag skal Kari jogge fra Petter og hjem. Kari jogger med jevn fart, og t minutter etter at hun startet, er hun km fra hjemmet sitt, der = 0,t a) Hvor langt hjemmefra er Kari etter minutter? b) Tegn ei linje som viser sammenhengen mellom t og. c) Finn grafisk og ved regning hvor lenge Kari har jogget når hun er km fra hjemmet. d) Hvor lang tid bruker Kari per kilometer? e) Hvor lang tid bruker hun på hele joggeturen? Sinus YT > Grafer og funksjoner

25 Oppgave. Frostvæske skal hindre at en væske frser til is. Når vi blander vann og frostvæske, vil frsepunktet F () avhenge av andelen av frost væske i blandingen. Tabellen viser noen samhørende verdier av og F(). (prosent) F() ( C) 0, 7, 0 6, W Varmetap Temperatur 0 0 C a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn ved lineær regresjon den funksjonen F som passer best med dataene. b) En bileier skal ha frostvæske i kjølevannet på bilen sin. Han bor på et sted der temperaturen kan komme ned i C om vinteren. Hvor mange prosent frostvæske bør han da ha i kjølevannet? c) Tegn grafen til F i et koordinatsstem for [0, 60]. d) Dersom vi har mellom 60 % og 80 % frostvæske i kjølevannet, vil frsetemperaturen for blandingen snu. Igjen kan vi beskrive utviklingen med en lineær matematisk modell, men nå med positivt stigningstall. Ved 80 % frost væske er frsetemperaturen for blandingen 8 C. Bestem den matematiske modellen vi nå får. BA Oppgave.6 Grafen øverst i neste spalte viser varmetapet gjennom en tter vegg for utetemperaturer mellom 0 C og 0 C. a) Hvor stort er varmetapet når utetempera turen er 0 C? b) Hva er utetemperaturen når varmetapet er på 0 W? c) Hvor mange watt snker varmetapet når utetemperaturen stiger med en grad? d) Hvor hø er innetemperaturen? EL Oppgave.7 Grafen viser sammenhengen mellom strømmen I og spenningen U for en motstand. V U A a) Hvor stor er spenningen når strømmen er A? b) Hvor stor er strømmen når spenningen er 0 V? c) Effekten P i motstanden kan regnes ut ved hjelp av formelen P = U I. Finn effekten når strømmen er A. d) Finn effekten når spenningen er 60 V. I