NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPEIGE UNIVERSITET Side 1 av 4 INSTITUTT OR ENERGI- OG PROSESSTEKNIKK aglig kontakt under eksamen: Navn: Helge Andersson, tlf.: 735 93556 (TEP41) ars Sætran, tlf.: 735 93716 (TEP417) EKSAMEN I AG TEP41 OG TEP417 UIDMEKANIKK (okmål) ørdag 3. juni 6 Tid: 9 13 Sensuren faller i uke 6. Hjelpemidler C: Oppgave 1 y Typegodkjent kalkulator (HP3S), i henhold til liste utarbeidet av NTNU, tillatt. Trykte hjelpemidler:. Irgens: ormelsamling i mekanikk (med kommentarer). K. Rottmann: Matematisk formelsamling. Vedlagte formelark Equation Sheet fra læreboka. V V ½V Snitt 1 Snitt Vann strømmer stasjonært rundt en fast, ellipseformet konstruksjon. Ved snitt 1 i figuren er vannhastigheten konstant lik V, mens nedstrøms dannes det en bakevje modellert som vist ved snitt i figuren: Hastigheten øker lineært fra ½V til V over en avstand i y- retningen. Se bort fra tyngdens innvirkning i problemet. Trykket ved snitt 1 og snitt er tilnærmet likt. Regn med en dybde inn i papirplanet (i z-retning). a) or en bestemt verdi H vil volumstrømmen gjennom området H < y < H ved snitt 1 være den samme som volumstrømmen gjennom området < y < ved snitt. inn H uttrykt ved. b) inn kraften i -retningen som virker fra vannet på konstruksjonen.
Oppgave Side av 4 a) etrakt et langt sirkulært rør med stasjonær laminær strømning av en inkompressibel fluid. Se bort i fra innløpseffekter. Vis at uttrykket for hastighetsprofilet blir: v z = ( ) dp dz 1 4μ R r b) Vis at for den samme rørstrømningen blir gjennomsnittshastigheten V avg, volumstrømmen Q og skjærspenningen på rørveggen τ wall : V avg = 1 V ma ; Q = π R4 Δp 8μ ; τ wall = R Δp c) Vis at for laminær strømning uttrykkes Darcy s friksjonsfaktor f som: f lam = 64 Re d d ) Olje ( ρ = 9kg / m 3 ;ν =,1m / s ) med volumstrøm,m 3 / s strømmer gjennom et 5m langt rør av støpejern med diameter mm o g ruhet ε =,6mm. eregn trykktapet på grunn av friksjonen. O pplysninger: 1 r r rv r ( )+ 1 r ( θ v θ )+ ()= z v z 1 1 1 V v v v r r r θ z r r r r θ z = r + θ + z ; = + + vz t 1 p + ( V ) v = + g + ν v ρ z z z z
Oppgave 3 Side 3 av 4 q p a ΔH q H g D Romernes akvedukter var åpne kanaler der vann rant over lange strekninger kun drevet av tyngdekraften. Ved kryssing av dype og brede daler brukte de gjerne en omvendt hevert, de la steinrør langs bakkenivå som skissert i figuren over. Akvedukten ved Aspendos i Tyrkia leverte en volumstrøm q på 65 liter/s. Rørene besto av store gjennomhullede steinblokker med innvendig diameter D = 8 cm. Tyngdens akselerasjon er g, atmosfæretrykket er p a og vannet har tettheten ρ. a) De åpne kanalene har en bredde på.5 m og en vanndybde på 1. m. inn gjennomsnittshastigheten V 1 i de åpne kanalene, og finn gjennomsnittshastigheten V i røret. b) Romerne lagde vanligvis rør av bly eller trevirke, men i en slik omvendt hevert var ikke dette solid nok. inn et uttrykk (ikke tallverdi) for det største trykket inne i røret når alle tap neglisjeres. c) Ta kun hensyn til friksjonstapet over hele rørlengden. Darcy s friksjonsfaktor f er funnet ved hjelp av eksperimenter med slike steinrør til å være konstant uavhengig av vannhastigheten. inn den nødvendige høydeforskjellen ΔH (se figuren) for å kunne levere volumstrømmen q. Regn til slutt ut tallverdien for ΔH. O ppgitt: = 1.7 km, f =.1 og g = 1 m/s.
øsningsforslag Eksamen 3. juni 6 emner 41 og 417 luidmekanikk Oppgave 1a) y V V Strømlinje H ½V Volumstrømmen inn over høyden H må være lik volumstrømmen over høyden : Q = VH = v dy. 1 Her trenger vi hastigheten v(y) V( 1 y/) ¾V direkte: = +, eller bruk gjennomsnittsverdien Q VH 3 3 4 V H 4 = = = b) ruker kraftloven i -retning, ser kun på øvre halvpart. Tegner kontrollvolumet slik at strømlinja fra spørsmål a) blir toppen. På dette volumet virker det kun en ukjent kontaktkraft K (ingen trykk-, tyngde- eller friksjonskraft). y V V Strømlinje H Kontrollvolum K = = ρ VH+ ρvdy 1 Vi må integrere v = 4 V ( 1+ y/+ y / ) ( ) K 1 1 3 7 = ρ +ρ 4 + + 3 = ρ 4 +ρ 1 = ρ 1 6 VH V V V V = =ρv 1 på konstruksjonen K 3 :
Oppgave 3a) Volumstrømmen Q er gitt, så vi kan sette opp direkte: Q = v Areal = v bredde dybde = v rørtverrsnitt ave 1 3 3 Q.65m / s 4Q 4.65m / s v1 = = =.13m / s og v = = = 1.5m / s bh.5m πd π (.8m) b) Tapsfri ernoulli langs en strømlinje fra vannoverflaten i åpen kanal til inne i røret ved en dybde H: pa v1 p v 1 gh p pa gh v1 ρ + + = ρ + = +ρ + ρ ( v ) Kom.: Trykket i røret reduseres med hastigheten v, men tallmessig er denne effekten liten. Aspendos-akvedukten hadde en høydeforskjell H i underkant av 5 meter, dvs. nesten 5 atm. overtrykk. c) ernoulli m/friksjonstap langs en strømlinje fra venstre vannoverflate til høyre vannoverflate: pa ρ v1 pa v1 v 1 + + = + gδ H+ f Δ H= f ρ D g Tallverdi : m ( ).1 1.5 s 17m H 3.35m m 1.8m s Δ = = v D Kom.: Her er det oppgitt at friksjonsfaktoren f kan regnes konstant, uavhengig av Reynoldstallet. Moody-diagrammet i læreboka viser nettopp dette når Re blir stort, og i oppgaven her har vi Re ~1 5. ra artikkelen om Aspendos: