FLUID- OG GASSDYNAMIKK

Transkript

1 FLUID- OG GASSDYNAMIKK Alle kontinuerlige stoffer kan forekomme i tre aggregattilstander ; fast stoff, flytende form (fluid, væske) og gassform. Eksempler: Vann T<0 C fast stoff (is) 0 C < T <100 C flytende T > 100 C gassform (damp) Luft (blanding av nitrogen, oksygen og noen andre gasser) T < C flytende (fluid) T > C gassform Det kan forekomme at faste stoffer går direkte mellom fast form og gass, uten å være flytende i et mellomstadium. Dette kalles sublimering og kan forekomme f.eks. for is og Jod (J). Det er flere likhetspunkter mellom oppførselen til en væske og en gass og noen forskjeller. En del av teorien for væsker (fluider) kan derfor brukes også for gasser. Fluidstatikk Væsker og gasser søker å fylle ut det tilgjengelige rom. En karakteristisk størrelse er (flate)trykket p=f/a SI-enheten for trykk er Pascal [Pa] = N/m 2 En gammel enhet: millibar (1 mb = 1 hpa) Trykket i en gass eller en væske er like stort i alle retninger Dette utnyttes bl.a. i hydraulikksystemer.

2 Hydraulisk jekk: Jekken har to trykksylindere Trykket under det lille stempelet p 1 =F 1 /A 1 Trykket under det store stempelet p 2 =F 2 /A 2 liten sylinder stor sylinder Trykket i systemet er over alt p (når vi ser bort fra tyngdens innvirkning). Derfor: p 1 = p 2 F 1 /A 1 = F 2 /A 2 F 2 = F 1 A 2 /A 1 dvs. det har oppstått en kraftutveksling aom øker kraften med forholdet A 2 /A 1 Tettheten til en væske- eller gassmengde med masse m og volum V betegnes med den greske bokstaven ρ (uttales ro). ρ = m/v [kg/m 3 ] Trykket i en væske eller en gass kan oppstå på flere måter. Trykk pga. tyngdekraften: Kraften F mot bunnen av røret som har tverrsnittsareal A blir F= m g = ρ V g = ρ A h g Trykket mot bunnen blir da

3 Væsker, som vann og bremsevæske er inkompressible; endrer ikke volum ved trykkendring. Det betyr altså at også tettheten er uavhengig av trykket. Gasser er derimot kompressible. Trykk og temperaturendringer kan gi store volumendringer og tettheten er altså trykk- og temperaturavhengig. Figuren til høyre illustrerer hvordan volumet til en bestemt masse luft avhenger av trykket. Dette beskrives av gassloven: p V = konstant Temperaturen har innflytelse på volum og tetthet, særlig for gasser. T >> 0 Kelvin gassmolekylene ligger tett sammen gassmolekylene tar mer plass pga. temperaturbevegelsene Fluiddynamikk Dette omhandler fluider i bevegelse, derfor ordet dynamikk. Teorien herfra anvendes også på gasser. Definisjoner av noen faguttrykk: Strømlinjer (Engelsk: streamlines) er linjer som viser banen en væske- eller gasspartikkel følger Strømlinjen viser banen og dermed partikkelfartens retning (tangent til strømlinja), men ikke hvor stor farten er.

4 Laminær strømning når partikler nær partikkelens strømlinje beveger seg omtrent likt og bevegelsen ikke varierer med tiden. En væske uten friksjon vil alltid være laminær. For væsker med friksjon fås laminær strømning når Reynoldstallet Re < 2000 (Reynoldstallet defineres senere). Turbulent strømning når partikler i nærliggende sjikt begynner å bevege seg tilfeldig og forskjellig i forhold til hverandre. For væsker med indre friksjon (viskositet) fås turbulent strømning når Reynoldstallet Re > 3000 Viskositet Dette er et annet uttrykk for den indre friksjon i væsker. Strømning i et rør eller mellom to plan: I en væske eller gass med friksjon kan ikke hastigheten variere sprangvis men må gradvis øke fra null ved veggen. Newtons viskositetslov beskriver virkningen av den indre friksjon (viskositeten): Figuren viser utsnitt av en væske mellom to plater med areal A. Den øvre plata beveges mot høyre med hastighet v. Kraften F vi må bruke på plata (friksjonskraften) gis av ligningen η (gresk bokstav, uttales eta) er væskens viskositet og måles i [Pas] = Ns/m 2

5 Eksempler på viskositet for noen stoffer (fluider) Fluid Temperatur [ C] Viskositet [Pas] Alkohol Glyserin Smøreolje (SAE 60) Vann Luft Grensesjikt (Engelsk: Boundary layer) Dersom avstanden mellom platene i forsøket ovenfor er svært stor, vil vi se at hastigheten til væskepartiklene under den bevegelige plata tilsynelatende går mot null før vi når ned til bunnen. Det er bare væskepartikler innenfor et grensesjikt med tykkelse D som trekkes med av plata. Ved å kombinere Newtons viskositetsformel med teoremet som sier at endringen i væskens massefart er lik impulsen fra den bevegelige plata, kan vi utlede en formel for grensesjiktets tykkelse D: η = Væskens viskositet L = Platas lengde ρ= Væskens tetthet v = platas hastighet (i forhold til væsken som er i ro) Dersom vi er interessert i å beregne friksjonskrafta i dette tilfellet, vil ligningen måtte endres v v slik: F = η A endres til F = η A y D

6 Oppgave: a) Finn grensesjikttykkelsen i vann ved 20 grader Celsius. b) Hvor stor er friksjonskrafta på skroget til en robåt som ros ganske hurtig (v = 1m/s) når båtbunnen som har kontakt med vannet har et areal A= 3m 2? Reynoldstallet Re Forsøk viser at ting ikke er så enkle som ligningene foran framstiller det. Friksjonskraften F følger for eksempel den angitte loven bare for visse hastigheter. Delvis kan dette forklares ved at det oppstår mer eller mindre turbulens under strømningen forbi en båt, en vinge eller en annen gjenstand. En har kommet til en størrelse som er velegnet som målestokk for å avgjøre hvordan strømningen av gass elleer væske forbi en hindring oppfører seg, Reynoldstallet Re (oppkalt etter han som laget formelen): Re = ρ v L m /η Her er som vanlig ρ tettheten, v er strømningens hastighet, η er viskositeten og L m er hindringens karakteristiske lengde. Eksempel: Re < 2000 gir laminær strømning mens Re > 3000 gir turbulent strømning. Reynolds utviklet for mer enn hundre år siden formelen for væskestrømning i et rør, og L m er da rørets diameter. Dersom vi bruker ligningen for å undersøke strømningen forbi ei kule, er L m kulas diameter. Bruker vi ligningen for å se når det oppstår turbulens og separasjon over et vingeprofil, er L m vingens kordelengde. Oppgave: 1) Luft strømmer forbi en kule med diameter 1m. Ved hvilken lufthastighet vil det oppstå turbulens? Data for luft ved havnivå og 20 C: Tetthet ρ=1.225 kg/m 3 Viskositet η= Pas 2) Vann med tetthet ρ=1000 kg/m 3 og viskositet η= Pas strømmer gjennom et rør med 2 cm diameter. Ved hvilken vannhastighet oppstår turbulens i røret? Ved hvilken hastighet vil det sikkert oppstå turbulens rundt en båt med lengde 3m? Reynoldstallet er viktig ved modellforsøk i vindtunnell og vi kommer tilbake til dette under behandlingen av vindtunnell.

7 Luftmotstand (Engelsk: Drag) Luftmotstanden skyldes friksjonsmotstand (Friction Drag) F f og trykkmotstand F t (formmotstand, Form Drag). F = F f + F t Vi har tidligere presentert en formel for friksjonsmotstanden F f = η A v/d der D er grensesjiktets tykkelse og A er arealet. Formelen gjelder strengt tatt bare for laminær strømning, noe vi normalt bare har over en del av vingearealet A, og mindre del jo mindre glatt overflaten er. Skal vi bruke formelen for den del av vingen der vi har separasjon av luftstrømmen (turbulens) må vi i hverfall ta hensyn til at grensesjiktets tykkelse D da øker sterkt. I prinsippet ser vi imidlertid at friksjonsmotstanden øker proporsjonalt med viskositeten, med arealet og med hastigheten. Trykkmotstanden eller formmotstanden F t skyldes det dynamiske overtrykket som bygger seg opp foran en gjenstand i en luftstrøm, samt det undertrykket (suget) som oppstår bak gjenstanden. Igjen blir forholdet forskjellig ved laminær strømning og ved turbulent strømning. Laminær strømning (lav lufthastighet v) mot en vinge med lengde D: F t =C D η v D Her er C D en ubenevnt konstant som avhenger av formen på objektet (vingen) Turbulent strømning (høy lufthastighet v) mot en vinge med frontareal S: F t = ( 1 / 2 ) ρ C D S v 2 Ofte brukes bokstaven D (Drag) som symbol i stedet for F t. D= ( 1 / 2 ) ρ C D S v 2 I de hastigheter som biler og subsoniske fly beveger seg, er det nesten alltid turbulent strømning og vi bruker nesten alltid denne siste innrammede formelen. I mange tilfeller blir den også brukt i tilfeller der vi har mer eller mindre laminær strømning. Da blir beregnet motstand feil og en jukser til så resultatet blir rett ved å si at konstanten C D kan variere med hastigheten (egentlig med Reynoldstallet).

8 Oppgave 1) En syklist på offroader (oppreist kjørestilling) og en på spesialracer med ei lita fartskåpe konkurrerer. Finn luftmotstanden for begge syklistene ved kjøring i 40 km/t a) I Fjordgata i Trondheim b) I Quito (Equador), 2800 m over havet. Data: Sykkeltype C D Frontareal inkl. syklist Offroader 1.1 S=0.5m 2 Spesialracer 0.7 S=0.38m 2 Oppgave 2) En Honda Accord LXI 1986 har C D =0.32. Frontareal 168 cm bredx 135 cm høy. Finn luftmotstand og effektforbruk ved kjøring i 100 km/t Særlig for fly snakkes det noen ganger om interferensmotstand (interference drag) som et tilleggsledd til formmotstanden. Interferensmotstanden skyldes at strømningshastigheten over forskjellige deler av vinge og flykropp er ulik. dette forårsaker ekstra hvirvling i overgangssonene og dermed en øking av luftmotstanden. Parasittisk motstand (parasitic drag) betegner forskjellige typer luftmotstand fra de ikkebærende deler av flyet (flykroppen, understellet o.l.).

9 BERNOULLIS TEOREM (Kermode s. 59 og 66) Teoremet forutsetter laminær strømning (ikke turbulent) og ikke-sammentrykkbar gass eller væske. Teoremet kan utledes fra at 3 energi = konstant for et isolert system For en luftpartikkel i en luftstrøm vil dette si at Potensiell energi + bevegelsesenergi + trykkenergi = konstant Ser vi kun på horisontal strømning, kan vi se bort fra potensiell energi, for den endrer seg ikke under strømningen: Bevegelsesenergi + Trykkenergi = konstant ½ mv 2 + F s = konstant ½ ρv v 2 + pa s = konstant ½ ρv v 2 + p V = konstant ½ ρ v 2 + p = konstant Her er ρ lufttettheten v er lufthastigheten p er det statiske lufttrykk dynamisk trykk statisk trykk Dette er kjent som Bernoullis teorem eller Bernoullis ligning. Eksempler Luftstrøm i et Venturi-rør med varierende tverrsnitt Hastigheten øker Hastigheten avtar igjen Når tverrsnittsarealet dobles, kan samme luftmengde passere pr. sekund ved halve hastigheten, dvs. v 2 =50 m/s Bernoulli sier oss da da at der lufthastigheten er halvert må trykket være det doble.

10 Luftstrøm over en hump lufthastighet større hastighet lavere hastighet høyt trykk lavere trykk Luftstrøm langs en bæreflate med positiv angrepsvinkel Trykkfordeling langs bæreflaten Trykkfordeling i bevegelse Trykkfordeling i ro Resulterende krefter på bæreflaten

11 Løftet L Vi er interessert i å kunne beregne løftet L (benevning [Newton] ) Hvis vi kjenner midlere trykkdifferanse mellom over- og underside av vingen, må løftet bli: L = p S der p er midlere trykkdifferanse og S er vingens areal. (Løftet er nesten vinkelrett på vingen og en regner som regel S som vingens kordeareal, selv om det er en liten tilnærmelse). Trykkdifferansen p kan uttrykkes med Bernoullis teorem som: p = ½ ρ v 2 C L Her har vi hoppet over noe mellomregning og innført konstanten C L som er avhengig av forholdet mellom lufthastighetene over og under vingen, dvs. avhengig av vingens form og angrepsvinkel. Formelen for løftet blir altså L = ½ ρ v 2 C L S Konstanten C L må altså være kjent for det aktuelle vingeprofil og for den aktuelle angrepsvinkel. Draget D Merk at draget D som er definert i figuren på forrige side, bare er en komponent av resulterende kraft pga trykkfordelingen rundt vingen. Vi får derfor helt tilsvarende beregningsformel for drag som for løft, men proporsjonalitetskonstanten blir en annen: D = ½ ρ v 2 C D S S er fortsatt vingens kordeareal, og den nye konstanten C D (Drag Coefficient) er igjen avhengig av vingeprofilet og angrepsvinkelen.

12 Eksempel på hvordan C L og C D varierer med angrepsvinkelen for et gitt vingeprofil

13 Oppgave. Et fly bruker vingeprofilet på forrige side, har vingeareal S=20 m 2 og flyr horisontalt med angrepsvinkel α = 8 og hastighet v = 194 knop (100 m/s) i en høyde der lufttettheten er ρ = 1.0 kg/m 3. q) Beregn løft og drag fra vingen b) Hvilken effekt utvikler motoren? c) Hvilken masse har flyet? Oppgave Ved flyging i 6000 m høyde viser fartmåleren 204 knop (indicated airspeed) Fartsmåleren bruker et pitotrør (Kermode s.59-63) trykk p trykk p p -p a) Bruk Bernoullis teorem og finn trykkdifferansen (p -p) i pitotrøret. Trykkdifferansemåler b) Hva er flyets True Airspeed hvis vi antar normalatmosfære (figur i Kermode s. 35)? VINDTUNNELL Kermode s (9. utgave)