NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 1 av 6 INSTITUTT FOR ENERGI- OG PROSESSTEKNIKK

Transkript

1 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 1 av 6 INSTITUTT FOR ENERGI- OG PROSESSTEKNIKK Faglig kontakt under eksamen: Reidar Kristoffersen, tlf.: EKSAMEN I TEP 4110 FLUIDMEKANIKK Bokmål/Nynorsk/English Onsdag 3. desember 2008 Tid: Hjelpemidler C: Bestemt, enkel kalkulator tillatt. F.Irgens: "Formelsamling i mekanikk" (med egne notater tillatt). K.Rottmann: "Matematisk formelsamling". Norsk - Tysk - Engelsk ordliste Vedlegg: Moody-diagram Sensuren faller For English text see after the Norwegian one

2 Side 2 av 6 Oppgave 1. Q p a ΔH Q H g D Romernes akvedukter var åpne kanaler der vann rant over lange strekninger kun drevet av tyngdekraften. Ved kryssing av dype og brede daler brukte de gjerne en omvendt hevert, de la steinrør langs bakkenivå som skissert i figuren over. Akvedukten ved Aspendos i Tyrkia leverte en volumstrøm Q på 65 liter/s og største høyde H var 50 m. Rørene besto av store gjennomhullede steinblokker med innvendig diameter D = 28 cm. Tyngdens akselerasjon er g = 10 m/s 2, atmosfæretrykket er p a = 10 5 Pa og vannet har tettheten ρ = 1000 kg/m 3 og kinematisk viskositet ν = 10-6 m 2 /s. a) De åpne kanalene har en bredde på 0.5 m og en vanndybde på 1.0 m. Finn gjennomsnittshastigheten V 1 i de åpne kanalene, og finn gjennomsnittshastigheten V 2 i røret. b) Romerne lagde vanligvis rør av bly eller trevirke, men i en slik omvendt hevert var ikke dette solid nok. Finn det største overtrykket inne i røret når alle tap neglisjeres. c) Ta kun hensyn til friksjonstapet over hele rørlengden L = 1.7 km. Veggruheten på innsiden av rørveggen er 1% av rørdiameteren. Bruk det vedlagte Moody-diagrammet til å finne den nødvendige høydeforskjell ΔH for å kunne levere volumstrømmen Q.

3 Side 3 av 6 Oppgave 2 p 0 g h 0 v 0 h 1 v 1 Vannstrømmen i en kanal kontrolleres med en sluseport som åpnes over bunnen slik at det oppstår en stasjonær strømning gjennom åpningen. Vannet har tetthet ρ = 1000 kg/m 3, og kanalen har en bredde B = 1m inn i papirplanet. Ved snittene 0 og 1 regnes trykket hydrostatisk, og hastighetene v 0 og v 1 regnes konstant over tverrsnittene. Tyngdens akselerasjon er g = 10 m/s 2 og atmosfæretrykket er p 0. Neglisjèr friksjonens innvirkning i problemet. La først sluseporten være stengt, h 0 = 4m og h 1 = 0. a) Finn kraften som virker fra vannet på sluseporten når den er stengt. Så åpnes sluseporten slik at h 0 = 4m og h 1 = 1m. b) Finn hastighetene v 0 og v 1 i kanalen. c) Finn kraften som vannet utøver på sluseporten nå. Sammenlign svaret med svaret fra spørsmål a).

4 Side 4 av 6 Oppgave 3 U y r p ρ R θ x For å beskrive en to-dimensjonal stasjonær og friksjonsfri strømning av inkompressibel fluid med tetthet ρ inn mot en sylinder med senter i origo, benyttes strømfunksjonen sin Ur sin A r a) Bestem konstanten A slik at hastighetsfeltet beskriver potensialstrømmen omkring en rett sylinder med radius R som vist i figuren. b) Vis at trykkfordelingen på sylinderflaten kan skrives p( ) p U 1 4sin når tyngden neglisjeres og trykket langt fra sylinderen er p. c) Som en mer realistisk modell for trykkfordelingen brukes nå p(θ) som gitt i b) for x < 0, mens for x > 0 regnes trykket for konstant lik p 0. Motstandskraften (drag) er funnet fra eksperimenter. Finn trykket p 0 som gir en dragkoeffisient 1 2 C Drag/ U Areal lik den observerte verdien C D = 1.2. D 2

5 Page 5 of 6 English text. Problem 1. The Roman aqueducts were open channels where water ran across long distances only driven by gravity. When crossing deep and wide valleys they often used an inverted siphon, they led the water through stone pipes down in the valley as sketched in the figure. The aqueduct at Aspendos in Turkey delivered a volume flow Q = 65 liter/s and the height was H = 50 m. The pipes were made of large perforated stone blocks with internal diameter D = 28 cm. The gravity is g = 10 m/s 2, the atmospheric pressure is p a = 10 5 Pa and the water has the density ρ = 1000 kg/m 3 and kinematic viscosity ν = 10-6 m 2 /s. a) The open channels has a width of 0.5 m and a water depth of 1.0 m. Find the average velocity V 1 in the open channels, and find the average velocity V 2 in the pipe. b) The Romans usually made pipes of lead or wood, but these materials were not strong enough to be used in an inverted siphon. Find the largest pressure inside the pipe when all losses are neglected. c) Account for the friction loss over the entire pipe length L = 1.7 km. The wall roughness inside the pipe is 1% of the pipe diameter. Use the attached Moody diagram to find the necessary height difference ΔH that delivers the given volume flow Q. Problem 2. The water flow in an open channel is controlled using a gate that can open over the bottom so that a steady flow passes through the opening. Water has density ρ = 1000 kg/m 3, and the channel width in the paper plane is B = 1m. At the cross sections 0 and 1 the pressure is hydrostatic. The gravity is g = 10 m/s 2, the atmospheric pressure is p a. Neglect friction in the problem. First the gate is closed, h 0 = 4m and h 1 = 0. a) Find the force acting from the water on the closed gate. Then the gate is opened so that h 0 = 4m and h 1 = 1m. b) Find the velocities v 0 and v 1 in the channel. c) Find the force acting on the gate now. Compare the answer with the answer from question a).

6 Page 6 of 6 Problem 3. To describe a two-dimensional steady flow of incompressible inviscid fluid with density ρ towards a cylinder with center in origo, we will use the streamfunction sin Ur sin A r a) Find the constant A so that the velocity field describes potensial flow around a straight cylinder with radius R as shown in the figure. b) Show that the pressure distribution on the culinder surface may be written p( ) p U 1 4sin when gravity is neglected and the pressure far away from the cylinder is p. c) As a more realistic model for the pressure distribution we will now use p(θ) given in b) for x < 0, but for x > 0 the pressure is constant equal to p 0. The drag force is found from experiments. Find the pressure p 0 that gives a drag coefficient 1 2 C Drag / U Areal equal to the observed value C D = 1.2. D 2