Løsningsforslag Øving 10

Transkript

1 Løsningsforslag Øving 0 TEP400 Fluidmekanikk, Vår 03 Oppgave 8-30 Løsning Volumstrømmen av vann gjennom et rør er gitt. Trykkfallet, tapshøyden og pumpens effekt skal bestemmes. Antagelser Strømningen er stasjonær og inkompressibel. Innløpseffekter er neglisjerbare, strømningen antas med andre ord å være fullt utviklet. 3 Røret er rett og har ingen ventiler eller koplinger. 4 Det er ingen pumper eller turbiner i rørsystemet. Egenskaper Tettheten og viskositeten til vann er gitt til henholdsvis ρ 999. kg/m 3 og µ kg/ms. Overflateruheten i rustfritt stål er 0.00 mm. Analyse Først regner vi ut gjennomsnittshastigheten og Reynolds-tallet for å bestemme strømningsregimet V V A c V πd / m3 /s m/s π0.05 m) /4 Re ρv D µ 999. kg/m3 )4.584 m/s)0.05 m) kg/ms som er større enn Strømningen er derfor turbulent. Den relative overflateruheten til røret er ɛ/d 0 6 m 0.05 m Friksjonsfaktoren kan bestemmes fra Moody-diagrammet, men for å unngå avlesningsfeil finner vi friksjonsfaktoren fra Colebrook-ligningen, som løses numerisk for eksempel med Matlabfunksjonen solve) ɛ/d.0 log f ) Re f ) log + f f som gir f Da blir trykktapet, tapshøyden og pumpens effekt P P tap f L D ρv m 999. kg/m 3 )4.584 m/s) 0.05 m Pa 00 kpa h tap Ptap ρg f L D V g m m/s) 0.05 m 9.8 m/s ) 0. m Ẇ pumpe V P m 3 /s) Pa) 904 W kw

2 Pumpen må derfor levere en effekt på kw for å overvinne friksjonstapene i røret. Diskusjon Friksjonsfaktoren kan også bestemmes enkelt fra Haalands ligning. Det vil gi f , som er akseptabelt når vi sammenligner med Friksjonsfaktoren som svarer til ɛ 0 er f 0.056, som viser at rør av rustfritt stål i dette tilfellet kan antas å være glatte med en feil på omtrent %. Pumpens effektbruk bestemmes av den mekaniske effekten som kreves for å motvirke trykktapet i strømningen. Akseleffekten vil være høyere fordi pumpens virkningsgrad er lavere enn 00%, det elektriske effektbehovet vil være enda høyere, fordi motoren også har en virkningsgrad lavere enn 00%. For løsningsforslag til MatLab-oppgaven, se MatLab LF0.m på It slearning. Oppgave 8-37 Løsning Laminær strømning i en kvadratisk kanal skal studeres, og vi ønsker å finne endringen i tapshøyde når hastigheten dobles. Antagelser Strømningen er laminær til enhver tid. Strømningen er fullt utviklet og dermed ikke påvirket av innløpseffekter. Analyse Friksjonsfaktoren for fullt utviklet laminær strømning i kvadratiske kanaler er se Tabell 8-, s. 348) f 56.9 Re, hvor Re ρv D h µ Da kan tapshøyden uttrykkes som h tap, f L V D h g 56.9 L V Re D h g 56.9µ L V ρv D h D h g 8.46V µl ρgd h som viser at tapshøyden er proporsjonal med gjennomsnittshastigheten. Tapet vil derfor dobles når hastigheten dobles. Dette kan også vises ved h tap, 8.46V µl ρgd h 8.46V ) µl ρgd h 8.46V µl ) ρgdh h tap, Diskusjon Resultatet er også gyldig for laminær strømning i andre rør og kanaltverrsnitt.

3 Oppgave 8-38 Løsning Turbulent strømning i en kvadratisk kanal skal studeres, og vi ønsker å finne endringen i tapshøyde når hastigheten dobles. Antagelser Strømningen er alltid turbulent. Innløpseffektene er neglisjerbare, strømningen er med andre ord fullt utviklet. 3 Rørets innside er glatt. Analyse Friksjonsfaktoren er gitt som f 0.84Re 0., hvor Re ρv D µ Vi kan da uttrykke tapshøyden for turbulent strømning som h tap, f L V D g L V ρv D 0.84Re 0. D g 0.84 µ ) 0. L V D g 0.84 ) ρd 0. L V.8 µ D g Vi ser at tapshøyden er proporsjonal med gjennomsnittshastigheten opphøyd i.8. Derfor vil tapshøyden øke med en faktor når hastigheten dobles. Dette kan også vises som ) ρd 0. L V.8 ) ρd 0. h tap, 0.84 µ D g 0.84 L V ).8 µ D g ) ] ρd 0. [ L V.8.8 h tap, 3.48h tap, µ D g For en fullt utviklet turbulent strømning i et rør med stor overflateruhet, er friksjonsfaktoren uavhengig av Reynolds-tallet. Derfor ville tapshøyden øke med en faktor 4 ved en dobling av hastigheten. Det kan vi se fra h tap f L V D g hvor tapshøyden altså er proporsjonal med kvadratet av hastigheten når f, L og D holdes konstant. Diskusjon De fleste strømninger i virkeligheten er fullt utviklet turbulente strømninger. Derfor antar man som regel at tapshøyden er proporsjonal med kvadratet av gjennomsnittshastigheten. Merk at vi har benyttet oss av at den hydrauliske diameteren D h for et kvadratisk rør er lik D, som her tilsvarer lengden av en side i rørets tverrsnitt. Oppgave 8-8 Løsning Vann blir transportert til et boligområde gjennom betongrør, og man vurderer å fore innsiden av røret med et belegg for å redusere friksjonstap. Vi ønsker å bestemme prosentvis 3

4 endring i nødvendig pumpeeffekt. Antagelser Strømningen er stasjonær og inkompressibel. Innløpseffekter kan neglisjeres og strømningen er dermed fullt utviklet. 3 Røret er rett og har ingen ventiler eller koblinger som forårsaker tap. Egenskaper Tettheten og den kinematiske viskositeten til vann er gitt til henholdsvis ρ 000 kg/m 3 og µ 0 6 m /s. Overflateruheten er 3 mm for betong og 0.04 mm for belegget. Analyse blir Tilfelle Betongrør, D 0.90 m). Gjennomsnittshastigheten og Reynolds-tallet V V A Re V D ν V πd /4 3 m 3 /s π0.90 m) m/s ) / m/s)0.90 m) 0 6 m /s ) som er større enn 4000, strømningen er derfor turbulent. Den relative overflateruheten til røret er ɛ/d m m Friksjonsfaktoren kan bestemmes ved bruk av Moody diagrammet, men for å unngå avlesingsfeil bruker vi Colebrooks ligning, som løses numerisk ɛ/d.0 log f ) Re f log f 3.7 som gir f Fa blir tapshøyden og nødvendig pumpeeffekt h tap f L V D g m m/s) 0.90 m 9.8 m/s ) m 5.0 m + ) f W pumpe Vρgh tap 3 m 3 /s)000 kg/m 3 )9.8 m/s ) m) W 500 kw Tilfelle Rør med belegg, D 0.86 m). Gjennomsnittshastigheten og Reynolds-tallet er V V A Re V D ν V πd /4 3 m 3 /s π0.86 m) m/s / m/s)0.86 m) 0 6 m /s

5 Strømningen er turbulent siden Re > Den relative overflateruheten i røret er ɛ/d m 0.86 m Vi bruker Colebrooks formel for å finne friksjonsfaktoren ɛ/d.0 log f ) Re log f f ) f som gir f Tapshøyden og nødvendig pumpeeffekt er h tap f L D V g 500 m m/s) m 6.30 m 6.3 m 9.8 m/s ) Ẇ pumpe Vρgh tap 3 m 3 /s)000 kg/m 3 )9.8 m/s )6.30 m) W 775 kw Den nødvendige pumpeeffekten endrer seg med )/ , altså en reduksjon på 48.4%. Diskusjon Nødvendig pumpeeffekt blir nesten halvert når innsiden av røret blir foret. Dette viser hvor viktig det er å ha en glatt overflate på innsiden av rør. Oppgave 8-5 Løsning Volumstrømmen av vann skal måles med en blendemåler. For et gitt trykkfall over blenden skal volumstrømmen, gjennomsnittshastigheten og tapshøyden bestemmes. Antagelser Strømningen er stasjonær og inkompressibel. Tapskoeffisienten for utstrømning er C d 0.6. Egenskaper Tettheten og den kinematiske viskositeten til vann er gitt til henholdsvis ρ 999. kg/m 3 og µ kg/ms. Vi lar tettheten til kvikksølv være 3600 kg/m 3. Analyse er Forholdet mellom blendediameteren og rørdiameteren β, samt arealet av blenden β d D A 0 πd π0.046 m) m Trykkfallet over blenden er P P P ρ Hg ρ f )gh 5

6 Volumstrømmen kan nå uttrykkes som P P ) V A 0 C d ρ β 4 ) A ρ Hg ρ f )gh ρ Hg /ρ f )gh 0C d ρ f β 4 A 0 C d ) β 4 Vi setter inn verdier og får V m )0.6) 3.600/999. )9.8 m/s )0.8 m) m 3 /s Vi finner gjennomsnittshastigheten i røret ved å dividere volumstrømmen på tverrsnittsarealet til røret V V V A c πd / m3 /s π0.0 m) m/s /4 Tapshøyden mellom måleseksjonene kan estimeres ut fra energiligningen. Siden z z kan uttrykket for tapshøyden forenkles til h tap P P ρ f g V V g ρ Hg ρ f )gh Hg ρ f g 3.6 ) 0.8 m [0/4.6)4 ]0.885 m/s) 9.8 m/s ) [D/d)4 ]V g.43 m H O Diskusjon Reynolds-tallet for strømningen gjennom røret er Re ρv D µ 999. kg/m3 )0.885 m/s)0.0 m) kg/ms Hvis vi setter inn β og Re verdier i uttrykket for tapskoeffisienten for utstrømning C d β. 0.84β β.5 Re 0.75 får vi C d 0.605, som er veldig nært den antatte verdien 0.6. Ved å bruke den nye verdien av C d vil volumstrømmen bli m 3 /s, som er under % fra det originale resultatet. Derfor er det praktisk å bruke den anbefalte verdien C d 0.6 i analyser, og deretter verifisere den antatte verdien. 6