Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner. Faktor 2. Grunnbok

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner Faktor 2 Grunnbok Bokmål

# J.W. Cappelens Forlag AS, Oslo 2006 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med J.W. Cappelens Forlag AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Faktor 1 3 følger læreplanene for Kunnskapsløftet i faget matematikk og er lagd til bruk på grunnskolens ungdomstrinn. Illustratør: Line Jerner Omslagsdesign: Line Jerner Omslagsillustrasjon: Line Jerner Grafisk formgiving: Jakob Thyness Ombrekking: PrePress AS Forlagsredaktør: Espen Skovdahl Trykking/innbinding: Livonia Print SIA, Latvia 2010 Utgave 1 Opplag 4 ISBN 978-82-02-25294-6 www.cappelendamm.no http://faktor.cappelendamm.no Fotografier GVPress: #TCG s. 12, #Index Stock Imagery s. 13, Science Photo Library #Detlev van Ravenswaay s. 14, #Science Photo Library s. 61, 118, 177, #Greg Geria s. 62, #Super Stock s. 103, #Photo Researchers s. 111 (Pentagon), #Russell Kightley/SPL s. 178, #Bruno Morandi s. 214, #Dirscherl s. 227, #GoodShoot s. 233, #Gonzalo Azumendi s. 257 Samfoto: #Svein Grønvold/NN s. 19, #Øystein Søbye/NN s. 102 (bier), #Bjørn-Owe Holmberg s. 102 (blad), 111 (blad), #Tore Wuttudal/NN s. 103 (votter), #Jann Lipka/Mira s. 115, #Fredrik Naumann s. 116, #Tom Schandy/NN s.127, #Jens Sølvberg s. 133, #Helge Sunde s. 137, #Bård Løken/NN s. 139, #Johannes Haugan/NN s. 184, #Ove Bergersen/NN s. 184, 197 Scanpix: AP s. 15, #Royalty-Free/Corbis s. 31, Ørn E. Borgen/Aftenposten s. 32, Morten Holm s. 74, s. 87, #Bettmann/Corbis s. 88, #Historical Picture Archive/Corbis s. 95, #Alinari Archives/Corbis s. 101, #Bo Zaunders/Corbis s. 102 (kirkespir), #Christine Osborne/Corbis s. 102 (mosaikk), #Jean Guichard/ Corbis s. 102 (spriral), #Lester Lefkowitz/Corbis s. 102 (skjell), #Roger Ressmeyer/Corbis s. 103 (heksagon), #Visuals Unlimited/Corbis s. 103 (snøkrystall), #David Samuel Robbins/Corbis s. 103 (postkasse), #Royalty-Free s. 111 (fotball), #Jim Winkley/Ecoscene s. 111 (ruiner), #Knut Falch s. 179, #Maurizio Gambarini/dpa/Corbis s. 180, #NRKP2 s. 228

Innledning Velkommen til Faktor 2. Dette er den andre av i alt tre grunnbøker du skal bruke på ungdomstrinnet. Til hver grunnbok hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene som følger deg gjennom alle bøkene. Fra venstre rundt bordet: Martin, Lotte, Herman, Hanna, Simen og Sara Kapitlene i grunnboka er delt inn i fire deler: Lærestoff og oppgaver Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering Noen av oppgavene er merket med disse symbolene: Kalkulator Regneark Finn ut Utfordrende oppgave I oppgaveboka finner du oppgaver i tre vanskelighetsgrader og repetisjonsoppgaver til hvert kapittel. Kategori 1 Kategori 2 Kategori 3 Litt av hvert Bakerst i boka finner du Digital manual for arbeid med kalkulator og regneark. Vi håper du får glede av arbeidet med Faktor! Hilsen Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen Innledning 3

Innhold Innhold 1 Tall og tallforståelse...7 Potenser...8 Kvadrattall...16 Regning med fortegnstall...20 Forhold...23 Figurtall og tallrekker...27 Prøv deg selv...30 Noe å lure på...32 Oppsummering...34 2 Algebra...37 Bokstavuttrykk...38 Likninger...47 Ulikheter...57 Prøv deg selv...59 Noe å lure på...61 Oppsummering...63 3 Geometri...67 Mangekanter...68 Omkrets og areal av mangekanter...72 Omkrets og areal av en sirkel...84 Pytagoras-setningen...88 Konstruksjon og beregninger...96 Geometri i natur og kunst...102 Det gylne snitt og det gylne rektangel...107 Prøv deg selv...113 Noe å lure på...117 Oppsummering...119 4 Statistikk og sannsynlighetsregning...123 Relativ frekvens...124 Sektordiagram...130 Andre diagrammer...135 Kritisk bruk av diagrammer...140 Sentralmål og variasjonsbredde.. 143 Antall mulige utfall...148 Å finne sannsynligheten...151 Å finne sannsynligheten ved flere hendelser...155 Like stor sannsynlighet hver gang?...162 Prøv deg selv...164 Noe å lure på...167 Oppsummering...169 5 Måling og beregninger...173 Målenøyaktighet...174 Målestokk...177 Volum, og areal av en overflate.. 185 Prøv deg selv...196 Noe å lure på...198 Oppsummering...199 6 Funksjoner...201 Koordinatsystemet...202 Formler og funksjoner...207 Grafen til en funksjon...211 Mer om funksjoner...215 Prøv deg selv...218 Noe å lure på...220 Oppsummering...222 4

7 Økonomi...225 Prosent og promille...226 Merverdiavgift...231 Rabatt...234 Tilbud...236 Renteregning...239 Avbetaling...246 Prøv deg selv...249 Noe å lure på...251 Oppsummering...253 Digital manual...254 Kalkulatoren...255 Regneark...258 Fasit...287 Stikkord...308 Innhold 5

Alpha Kentauri er 40 000 000 000 000 km unna jorda. Det er 384 000 km til månen. Er det 400 000 000 000 eller 40 000 000 000 stjerner i vår galakse, Melkeveien? Et romskip flyr med ca. 40 000 km/h. Hvor lang tid ville det tatt å reise dit?

0,0 1 Tall og tallforståelse Noen ganger har vi bruk for å skrive svært store tall, for eksempel i forbindelse med avstander i verdensrommet. For å få bedre oversikt kan vi skrive tallene som produkter av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens: 384 000 = 3,84 10 5 Mål I dette kapitlet vil du få lære om. tall på standardform. faktorer, potenser, kvadratrot og forhold mellom størrelser i beregninger. fortegnstall. tallmønstre Mange nuller å holde orden på! 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

Potenser? To i femte er en potens. 2 5 Hva betyr to i femte? 2 5 er en potens med 2 som grunntall og 5 som eksponent. 2 5 uttales to i femte. Tall og tallforståelse 2 5 =2 2 2 2 2=32 Regel Et produkt der alle faktorene er like, kan vi skrive på potensform. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Oppgaver 1.1 Skriv som potens. a) 2 2 2 2 b) 3 3 3 3 c) 10 10 10 d) 7 7 7 7 7 1.2 Regn ut potensen. a) 2 3 b) 3 5 c) 5 3 d) 10 5 e) 5 5 f) 2 10 e) 5 5 5 5 5 5 f) 9 9 9 9 8

1.3 Skriv av tabellen og fyll inn det som mangler. Grunntall Eksponent Potens 3 2 6 6 4 5 3 5 1 8 4 2,3 4 1.4 Regn ut. a) 3 4 4 4 b) 5 2 3 c) 2 4 3 3 Multiplikasjon og divisjon av potenser Når vi skal multiplisere to potenser som har samme grunntall, lar vi grunntallet stå og summerer eksponentene. 2 3 2 4 = 2 2 2 2 2 2 2=2 3 + 4 =2 7 Når vi skal dividere en potens med en potens som har samme grunntall, lar vi grunntallet stå og subtraherer eksponentene. 5 6 5 2 =56 : 5 2 =5 6 -- 2 =5 4 Husk! 2 = 2 1, 3=3 1 osv. Regel Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og summerer eksponentene. Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og subtraherer eksponentene. Hvis vi dividerer to like potenser med hverandre, blir svaret lik 1 fordi telleren og nevneren er like store. Tall og tallforståelse 9

Hvis vi bruker regelen for divisjon av potenser, får vi 5 3 5 3 =53 -- 3 =5 0 Det betyr altså at 5 0 = 1. Regel For alle tall a er a 0 = 1. Når vi skal multiplisere eller dividere to potenser som ikke har samme grunntall, må vi regne ut potensene hver for seg. Eksempel Regn ut. Skriv svaret som én potens hvis det mulig. a) 2 2 2 5 c) 3 2 4 3 b) 4 6 : 4 2 d) 4 4 : 2 3 Løsning a) 2 2 2 5 =2 2 + 5 = 2 7 b) 4 6 : 4 2 =4 6 -- 2 = 4 4 c) 3 2 4 3 =9 64 ¼ 576 d) 4 4 : 2 3 = 256 : 8=32 Tall og tallforståelse Oppgaver 1.5 Regn ut. Skriv svaret som én potens. a) 3 2 3 5 b) 5 2 5 2 c) 2 2 2 3 d) 5 2 5 4 e) 10 2 10 3 f) 7 2 7 3 1.6 Regn ut. Skriv svaret som én potens. a) 13 2 13 3 b) 5 2 5 c) 12 2 12 3 d) 10 2 10 4 e) 10 0 10 5 f) 7 0 7 3 1.7 Regn ut. Skriv svaret som én potens. a) 3 2 3 b) 15 2 15 2 c) 2 2 2 6 d) 10 2 10 4 10 2 e) 10 3 10 5 10 f) 7 7 3 7 0 7 2 10

1.8 Regn ut. Skriv svaret som én potens. a) 27 2 4 b) 65 6 2 c) 106 10 2 d) 312 3 8 e) 55 5 2 f) 35 3 4 1.9 Regn ut. Skriv svaret som én potens. a) 5 5 : 5 2 b) 10 5 : 10 3 c) 3 5 : 3 4 d) 7 4 : 7 3 e) 15 5 : 15 3 f) 10 9 : 10 3 1.10 Regn ut. Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. a) 9 5 : 9 2 b) 3 4 +3 3 c) 2 6 -- 2 4 d) 10 4 + 10 3 e) 12 4 : 12 3 f) 3 4 +2 4 1.11 Regn ut. Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. a) 3 2 3 5 b) 5 2 5 3 c) 12 2 2 3 d) 5 2 10 2 e) 8 2 8 f) 5 4 3 1.12 Regn ut. Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. a) 13 6 : 13 4 b) 8 4 -- 4 4 c) 5 4 2 -- 16 d) 3 5 2 +5 3 2 Potenser med 10 som grunntall Nedenfor ser du noen eksempler på potenser med 10 som grunntall. 10 0 =1 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000 10 4 = 10 000 10 5 = 100 000 10 6 = 1 000 000 Vi bruker tallene 1, 10, 100 osv. når vi skriver naturlige tall på utvidet form: 3456 = 3 1000 + 4 100 + 5 10 + 6 1 Ettersom 10, 100, 1000 osv. kan skrives som potenser med 10 som grunntall, får vi: 3456 = 3 10 3 +4 10 2 +5 10 + 6 1 Tall og tallforståelse 11

Eksempel Skriv 1 205 604 på utvidet form ved å bruke potenser av 10. Løsning 1 205 604 = 1 1 000 000 + 2 100 000 + 0 10 000 + 5 1000 + 6 100 +0 10 + 4 1 1 205 604 = 1 10 6 +2 10 5 +5 10 3 +6 10 2 +4 1 Oppgaver 1.13 Skriv tallene som potenser med 10 som grunntall. a) 100 b) 1000 c) 100 000 d) 1 000 000 e) Ti millioner f) En milliard 1.14 Skriv tallene på utvidet form ved å bruke potenser av 10. a) 6543 b) 3409 c) 12 675 d) 125 308 e) 2 450 565 f) 2 907 530 Tall og tallforståelse 1.15 Skriv tallene på vanlig måte. a) 5 10 3 +4 10 2 +1 10 + 6 1 b) 3 10 4 +4 10 3 +5 10 2 +6 10 + 5 1 c) 7 10 5 +4 10 4 +5 10 3 +6 10 2 +3 10 + 4 1 d) 2 10 5 +4 10 3 +5 10 2 +6 1 e) 1 10 6 +4 10 5 +5 10 3 +6 10 2 +1 10 + 2 1 f) 3 10 5 +4 10 2 +9 10 + 1 1 1.16 Skriv 6 milliarder på vanlig måte og deretter ved å bruke tierpotens. Det er over 6 milliarder mennesker på jorda! Menneskemengde 12

Tall på standardform For å få bedre oversikt over et stort tall kan vi skrive tallet som et produkt av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens. Avstanden fra jorda til sola er ca. 150 000 000 km! Sola, vår egen stjerne 150 000 000 km kan vi skrive slik: 1,5 10 8 km Tierpotens Desimaltall mellom 1 og 10 Når vi skriver om store tall på denne måten, flytter vi desimaltegnet og setter det mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Ovenfor har vi flyttet desimaltegnet åtte plasser. Derfor blir tierpotensen 10 8. Skrivemåten 1,5 10 8 kaller vi standardform. Tall og tallforståelse 13

Regel Vi skriver store tall på standardform ved å plassere desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Eksponenten i tierpotensen svarer til antallet plasser vi har flyttet desimaltegnet. Eksempel Skriv tallet 340 000 000 på standardform. Løsning 340 000 000 = 3,4 10 8 Oppgaver 1.17 Skriv tallene på standardform. a) 25 000 b) 14 000 c) 24 000 000 d) 910 000 e) 4 500 000 f) 4 500 000 000 Tall og tallforståelse 1.18 Skriv avstandene fra sola til planetene på standardform. a) Sola Venus 108 000 000 km b) Sola Jorda 150 000 000 km c) Sola Jupiter 778 000 000 km d) Sola Pluto 6 000 000 000 km 14

1.19 Skriv tallene på vanlig måte. a) 4,5 10 3 b) 2,7 10 4 c) 9,1 10 5 d) 4,5 10 6 e) 1,05 10 7 f) 4,08 10 9 1.20 Massen til månen har blitt beregnet til ca. 73 500 000 000 000 000 000 tonn. Skriv tallet ved å bruke tierpotens. Apollo 11 var det første romfartøyet som landet på månen, 20. juli 1969. 1.21 Finn ut hvor mye jorda veier. Skriv tallet både på vanlig måte og ved å bruke tierpotens. Massen til månen er ca. 0,0123 av massen til jorda! Tall og tallforståelse 15

Kvadrattall? Alle tallene er kvadrattall! 4 9 16 25 Hva mener vi med kvadrattall? Vi kan legge ut fire brikker på denne måten: && && Tall og tallforståelse Vi får et kvadratformet mønster. Vi kan legge ut ni brikker på tilsvarende måte: &&& &&& &&& Se på regnestykkene nedenfor. 1 1=1 2 =1 2 2=2 2 =4 3 3=3 2 =9 4 4=4 2 = 16 5 5=5 2 = 25 Tallene 1, 4, 9, 16, 25 osv. kaller vi kvadrattall. 16

Regel Hvis x er et helt tall, er x x = x 2 et kvadrattall. Oppgaver 1.22 Hvilke av tallene er kvadrattall? 4 9 7 8 16 25 1.23 Lag en tegning som illustrerer kvadrattallene. a) 4 b) 9 c) 16 d) 25 1.24 Hvilke kvadrattall illustrerer figurene? a) c) b) 1.25 Regn ut kvadrattallet x 2 når x er a) 5 b) 8 c) 10 d) 15 e) 20 f) 100 1.26 81 brikker blir lagt ut som et kvadrat. Hvor mange brikker er det langs siden av kvadratet? 1.27 Stolene i en kinosal er plassert som et kvadrat. Det er 625 plasser i salen. Hvor mange stoler er det i hver rad? Tall og tallforståelse 17

Kvadratrot Når vi multipliserer to like tall med hverandre, får vi et kvadrattall. 3 3=9 Det vil si at 9 er et kvadrattall. Motsatt sier vi at 3 er kvadratroten av 9. p ffiffiffi Tegnet for kvadratrot er. Vi kan skrive kvadratroten av 9 slik: p ffiffiffi 9 =3 På samme måte er pffiffiffi 2 5 = 5 fordi 5 5 = 25: Regel Vi finner kvadratroten av et bestemt tall ved å finne det positive tallet som multiplisert med seg selv gir det bestemte tallet. Eksempel Tall og tallforståelse Finn kvadratroten av 36. Løsning p ffiffiffiffiffi Ettersom 6 6 = 36, er 36 = 6. Oppgaver 1.28 Finn kvadratroten av a) 9 b) 25 c) 16 d) 36 e) 81 f) 100 Vi må bruke kalkulator for å regne ut kvadratroten av tall som ikke er kvadrattall. 18

1.29 Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 25 pffiffiffiffiffi b) 36 1.30 Regn ut. p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 25 + 81 p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi b) 36 + 100 pffiffiffiffiffiffiffi c) 144 pffiffiffiffiffiffiffi d) 400 p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi c) 25 + 16 p ffiffiffi pffiffiffiffiffi d) 9 + 36 pffiffiffiffiffi e) 85 pffiffiffiffiffiffiffi f) 128 1.31 a) Sidene i et kvadrat er 6,5 cm. Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 23,04 cm 2. Hvor lang er siden? 1.32 En håndballbane har form som et rektangel som er dobbelt så langt som det er bredt. Arealet av håndballbanen er 800 m 2. Regn ut lengden og bredden av håndballbanen. Håndballcup i Ski Tall og tallforståelse 19

Regning med fortegnstall? 5 3=2 5 2=3 5 1=4 5 0=5 5 ( 1)=? 5 ( 2)=? 1 3= 3 1 2= 2 1 1= 1 1 0=0 1 ( 1)=? 1 ( 2)=? Hm... Hva blir svaret på oppgavene? Vi kan legge til og trekke fra negative tall. Jo mindre tall vi legger til, desto mindre tall får vi til svar. Jo mindre tall vi trekker fra, desto større tall får vi til svar. Tall og tallforståelse 5+1=6 5--1=4 5+0=5 5--0=5 5+ð--1Þ = 4 5 -- ð--1þ =6 5+ð--2Þ = 3 5 -- ð--2þ =7 5+ð--3Þ = 2 5 -- ð--3þ =8 Regel Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. Hvis vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall: --6 ð--3þ = 18 --6 : ð--3þ =2 --3 ð--3þ = 9 --3 : ð--3þ =1 20

Regel Når vi multipliserer eller dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. Når vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall. Minus minus = pluss! Minus pluss = minus Eksempel Regn ut. a) 10 + ð--12þ b) 10 -- ð--12þ c) 5 ð--4þ Løsning a) 10 + ð--12þ =10--12=--2 b) 10 -- ð--12þ = 10 + 12 = 22 c) 5 ð--4þ = --20 d) --5 ð--4þ e) --20 : 4 f) --20 : ð--4þ d) --5 ð--4þ = 20 e) --20 : 4=--5 f) --20 : ð--4þ = 5 Oppgaver 1.33 Regn ut. a) 5 -- ð--4þ b) 9 -- ð--9þ c) 10 -- ð--5þ d) 50 -- ð--100þ 1.34 Regn ut. a) 5 + ð--2þ b) 20 + ð--12þ c) 13 + ð--12þ d) 25 + ð--20þ Tall og tallforståelse 21

1.35 Regn ut. a) 12 + ð--3þ b) 12 -- ð--3þ c) 12 -- ð+3þ d) 12 + ð+3þ 1.36 Hvilket av svarene er riktig? A) 5 -- ð--5þ -- ð+1þ =1 B) 5 -- ð--5þ -- ð+1þ =9 C) 5 -- ð--5þ -- ð+1þ = 11 D) 5 -- ð--5þ -- ð+1þ = --1 1.37 Regn ut. a) 5 ð--6þ b) --4 6 c) --3 ð--7þ d) 5 ð--10þ 1.38 Regn ut. a) 25 : ð--5þ b) --25 : 5 c) --30 : ð--6þ d) --42 : 7 1.39 Regn ut. a) 2,5 ð--6þ b) 4 ð--2,5þ c) --3 1,5 d) --10 ð--3,7þ 1.40 Regn ut. a) 4 + ð--3þ -- ð--4þ b) 5 -- ð--3þ + ð--4þ 1.41 Regn ut. a) 15 -- ð+17þ b) --2 -- ð+2þ c) 10 + ð--4þ -- ð--15þ d) 50 + ð+50þ -- ð--100þ c) 50 -- ð--50þ + ð--25þ d) --100 -- ð+100þ -- ð--100þ + ð--100þ Tall og tallforståelse 1.42 Skriv av og sett de riktige tallene inn i rutene. a) 5 ð--7þ = & b) --3 & = 21 c) & ð--8þ = --80 d) --10 ð--10þ = & 22

Forhold? Barna blander saft og vann i forholdet én til fem, det vil si én del saft og fem deler vann. Hvordan kan vi skrive forholdet med tall? Når vi blander saft og vann i forholdet én til fem, blander vi én del saft med fem deler vann. Det kan for eksempel være 1 dl saft og 5 dl vann. Ettersom 10 dl er fem ganger så mye som 2 dl, kan vi også blande 2 dl saft og 10 dl vann. Forholdet mellom mengden av saft og mengden av vann blir også da én til fem. Forholdet én til fem kan vi skrive slik: 1 : 5 eller 1 5 Brøkstreken er her det samme som et divisjonstegn. Når vi skal finne forholdet mellom to størrelser, forkorter vi brøken så mye som mulig. Regel Vi finner forholdet mellom to tall ved å dividere tallene med hverandre. Tall og tallforståelse 23

Eksempel Hanna bor 12 km fra skolen, mens Simen bor 3 km fra skolen. Hva er forholdet mellom 12 km og 3 km? Løsning 12 km 3 km = 12 3 = 4 1 Forholdet er 4 : 1 Husk! I noen av oppgavene må du gjøre om til samme benevning. Oppgaver 1.43 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 2 km og 10 km b) 3 bøtter og 12 bøtter c) 500 kr og 250 kr e) 2 cm og 20 cm d) 15 kg og 45 kg f) 4 cm og 80 000 cm 1.44 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 500 kr og 125 kr d) 12 km og 3 cm b) 4 cm og 1 m e) 50 øre og 50 kr c) 3 g og 12 kg f) 500 km og 5 cm Tall og tallforståelse 1.45 Simen blander 2 dl iste med 16 dl vann. Sara blander 3 dl iste med 27 dl vann. Hvem lager den sterkeste blandingen? 1.46 Martin tjener 240 kr på 4 timer. Hanna arbeider i 5 timer. Hvor mye må Hanna få i lønn hvis hun skal tjene like mye per time som Martin? 1.47 Elevene i 9A solgte vafler for 375 kr. Det er 25 elever i gruppa. I 9B er det 28 elever. Hvor mye må elevene i 9B selge vafler for hvis de skal selge like mye i forhold til elevtallet? 24

Regning med forhold Vi regner med forhold i mange sammenhenger, for eksempel når vi blander saft og vann når vi blander sement og sand når vi får lønn i forhold til den tiden vi arbeider Martin og Lotte hjalp naboen med å male huset. Martin arbeidet i 10 timer og Lotte i 8 timer. For dette fikk Martin 750 kr og Lotte 600 kr. Vi regner ut timelønnen: Martin: 750 kr : 10 = 75 kr Lotte: 600 kr : 8 = 75 kr Det betyr at forholdet mellom 750 og 10 er det samme som forholdet mellom 600 og 8. Martin og Lotte har derfor fått like mye betalt i forhold til de timene de har arbeidet, selv om de har fått forskjellige kronebeløp. Eksempel Herman arbeider i 3 timer, og Sara arbeider i 4 timer. De får 560 kr til sammen for dette arbeidet. Hvor mye får hver av dem? Løsning Herman arbeider: Sara arbeider: Til sammen: 3 timer 4 timer 7 timer Lønnen for én time blir: 560 kr : 7 = 80 kr Herman får: 3 80 kr = 240 kr Sara får: 4 80 kr = 320 kr Vi kontrollerer svaret: 240 kr + 320 kr = 560 kr Tall og tallforståelse 25

Oppgaver 1.48 Martin og Lotte skal dele 450 kr i forholdet 4 : 5. Hvor mye får hver av dem? 1.49 Sara og Herman skal dele et overskudd fra et loddsalg. Sara solgte 50 lodd, og Herman solgte 75 lodd. Overskuddet var 150 kr. a) Regn ut forholdet mellom antallet lodd Sara og Herman solgte. b) Hvor stor del av overskuddet fikk hver av dem? 1.50 Simen skal fylle 2 dl olje og 48 dl bensin på mopeden. Hanna skal fylle olje og bensin i samme forhold. Tall og tallforståelse a) Regn ut forholdet mellom mengden av olje og mengden av bensin. b) Hvor mange desiliter bensin må Hanna fylle hvis hun bruker 1 dl olje? 1.51 Sara skal blande iste og vann i forholdet 1 : 9. Hun vil bruke 2 dl iste i blandingen. Hvor mange desiliter ferdigblandet iste får hun? 1.52 I en oppskrift på hasselnøttbrød står det blant annet at vi skal bruke 7 dl grovt rugmel 6 dl hvetemel Herman skal lage en brøddeig med 9 dl hvetemel. Hvor mye rugmel må Herman bruke hvis forholdet mellom mengden av hvetemel og mengden av rugmel fortsatt skal være det samme? 26

Figurtall og tallrekker? 1 3 6 Hvilke tall får vi videre etter dette mønsteret? Hvis vi fortsetter å legge ut brikker etter det samme mønsteret, får vi følgende figurer og tall: & & && & && &&& & && &&& &&&& & && &&& &&&& &&&&& 1 3 6 10 15 osv. Antall brikker er: 1 brikke 3 brikker ð1 +2Þ 6 brikker ð1 +2+3Þ 10 brikker ð1 + 2 + 3 + 4Þ 15 brikker ð1 + 2 + 3 + 4 + 5Þ Osv. Husk! 1, 4, 9, 16 osv. kaller vi kvadrattall. Tallene 1, 3, 6, 10, 15 osv. kaller vi trekanttall fordi vi kan illustrere disse tallene i et geometrisk trekantet mønster. Tallene 1, 3, 6, 10 og 15 er de fem første trekanttallene. Tall og tallforståelse 27

Vi kan lage andre tallrekker ved å bruke et bestemt system eller mønster. Det er vanlig å se etter mønsteret i tallrekkene ved å undersøke differansen mellom leddene eller forholdet mellom leddene. En tallrekke begynner slik: 1 3 7 13 21 Her ser vi at differansen mellom ett ledd og leddet foran øker med 2 hver gang vi går fra ett ledd til det neste: 3 1=2 7 3=4 13 7=6 21 13 = 8 De sju første tallene i tallrekken blir da: 1 3 7 13 21 31 43 En annen tallrekke begynner slik: 1 3 9 27 Tall og tallforståelse Her ser vi at: 3:1=3 9:3=3 27:9=3 De sju første tallene i tallrekken blir da: 1 3 9 27 81 243 729 Oppgaver 1.53 Hvilke av tallene er kvadrattall? A 9 B 36 C 50 D 81 1.54 Hvilke av tallene er trekanttall? A 10 B 15 C 20 D 25 E 20 F 144 E 21 F 100 G1 H 169 G 28 H 50 28

1.55 Hvilke av tallene er ikke kvadrattall? A 16 B 8 C 14 D 18 E 20 F 24 G 36 H 38 1.56 Se på regnestykkene nedenfor. Fortsett fire linjer til etter det samme systemet. Skriv en regel ut fra den sammenhengen du ser. 1=1=1 2 1+3=4=2 2 1+3+5=9=3 2 1.57 De seks første trekanttallene er 1, 3, 6, 10, 15 og 21. Legg sammen a) det første og det andre trekanttallet b) det andre og det tredje trekanttallet. c) det tredje og det fjerde trekanttallet d) Hva slags tall får du i oppgave a, b og c? 1.58 Skriv de tre neste tallene i tallrekkene. a) 1 4 9 & & & b)1 2 4 7 11 & & & c) 2 4 8 16 & & & d) 2 6 18 54 & & & 1.59 Skriv av og sett inn tallene som mangler i tallrekkene. a) 2 4 8 & & & 128 b)1 4 8 13 & & 34 c) 1 9 25 & & & 169 1.60 Se på regnestykkene nedenfor: 1 1=1 2 =1 11 11 = 11 2 = 121 111 111 = 111 2 = 12321 Ser du et system som gjør at du raskt kan finne ut hvilket tall 11 111 2 er? Tall og tallforståelse 29

Prøv deg selv 1 Skriv som potens. a) 3 3 b) 5 5 5 5 c) 2 2 2 2 2 d) 7 7 7 2 Regn ut potensen. a) 10 3 b) 3 3 c) 5 4 d) 2 8 3 Skriv svaret som én potens. a) 10 3 10 2 b) 4 3 4 4 c) 5 3 5 2 d) 10 2 10 4 Skriv svaret som én potens. a) 5 5 : 5 2 b) 10 6 : 10 2 c) 7 4 : 7 2 d) 2 5 : 2 4 5 Skriv tallene på utvidet form ved å bruke potenser av 10. a) 3563 b) 12 875 c) 20 456 d) 120 503 6 Skriv tallene på standardform. a) 24 000 b) 540 000 c) 760 000 000 d) 50 100 000 000 7 Regn ut arealet av et kvadrat når sidene i kvadratet er a) 4 cm b) 9 cm c) 7 cm d) 3,6 cm Tall og tallforståelse 8 Regn ut x 2. a) x = 2 b) x = 7 c) x = 1 d) x = 0,5 9 Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 64 pffiffiffiffiffi b) 81 10 a) Sidene i et kvadrat er 4,5 cm Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 12,96 m 2. Hvor lange er sidene? 11 Regn ut. a) 4 -- ð--2þ +3 b) 15 + ð--5þ -- 10 c) --20 -- ð--30þ -- 2 c) pffiffiffiffiffiffiffi 121 p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi d) 16 + 49 d) 23 -- ð12 -- 5Þ e) ð12 -- 4Þ -- ð15 -- 2Þ f) ð7 --4+23Þ -- 3 + ð6 --3Þ 30

12 Regn ut. a) --2 3 b) 5 ð--10þ c) --4 ð--8þ d) --32 : ð--8þ e) 45 : ð--9þ f) --45 : 9 13 Lotte blander 2 dl iste med 10 dl vann. a) Hvor mange desiliter ferdigblandet iste får Lotte? b) Regn ut forholdet mellom volumet av iste og volumet av vann. 14 Murer Sand blander sement og sand i forholdet 1 : 5. Han har 6 skuffer sement i blandemaskinen. a) Hvor mange skuffer sand har mureren i blandemaskinen? b) En annen gang har mureren 20 skuffer sand i blandemaskinen. Hvor mange skuffer sement og sand har han da til sammen i blandemaskinen? Pantheon i Roma (118 125 e.kr.) har en selvbærende kuppel av betong. 15 Hvilke tall mangler i tallrekkene? a) 1 4 9 & & 36 b)1 1 2 3 & & 13 c) 1 3 6 & & 21 16 Hvilke av tallene er kvadrattall, og hvilke av tallene er trekanttall? 16 4 21 25 10 36 6 Tall og tallforståelse 31

Noe å lure på 1 En flaske inneholder 6 dl saft. Simen skal blande saft og vann ved å bruke 1 del saft og 9 deler vann. På flasken står det at det kan bli 6 liter ferdigblandet saft. Forklar hvorfor det er riktig. 2 Se på utregningene nedenfor. 1=1 3 3+5=2 3 7+9+11=3 3 Hvordan fortsetter dette mønsteret? 3 Avstanden fra jorda til månen er ca. 380 000 km, og avstanden fra jorda til sola er ca. 150 000 000 km. Månens diameter er ca. 3480 km, og solas diameter er ca. 1 400 000 km. Regn ut forholdet mellom a) avstanden fra jorda til sola og avstanden fra jorda til månen b) diameteren til månen og diameteren til sola Tall og tallforståelse c) Hva har svarene i a) og b) å si for en solformørkelse? Solformørkelse fotografert fra Oslo 31.05.2003 32

pffiffiffi 4 Sidene i et kvadrat er 5 cm. Regn ut arealet av kvadratet. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p pffiffiffiffiffiffiffi 5 Regn ut 256. 6 Vi vet at 2,5 10 6 = 2 500 000: Men hva er 2,5 10 -- 6? 7 a) Hvordan fortsetter dette mønsteret? 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 b) Hva kjennetegner tallene du finner? 8 Tegn av og plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonner og bokser (2 3Þ inneholder disse tallene. Samme tall kan ikke opptre to ganger i en rad, kolonne eller i en boks. 4 3 5 1 2 1 5 4 1 2 6 3 Sudoku Tall og tallforståelse 33

Oppsummering Potenser Når vi multipliserer tall som er like store, kan vi skrive dem som en potens. 5 5 5 5 5 5=5 6 x x x = x 3 Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentene i de potensene vi multipliserer. 2 3 2 4 =2 3 + 4 =2 7 x 3 x 2 = x 3 + 2 = x 5 Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i telleren minus eksponenten i nevneren. 5 6 5 2 =56 -- 2 =5 4 x 6 : x 2 = x 6 -- 2 = x 4 Tall og tallforståelse Tall på standardform Tall kan skrives på vanlig form eller på standardform. Vanlig form: 450 000 000 Standardform: 4,5 10 8 Kvadrattall Hvis x er et helt tall, kaller vi x 2 et kvadrattall. 5 5=5 2 = 25 25 er et kvadrattall. Kvadratrot Kvadratroten av et tall x er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir tallet x. p ffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25 34

Regning med fortegnstall Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. 10 + ð--7þ =10--7=3 Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. 10 -- ð--7þ =10+7=17 Når vi multipliserer et positivt tall og et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 ð--5þ = --125 Når vi dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 : ð--5þ¼--5 Når vi multipliserer to negative tall, blir svaret et positivt tall. --25 ð--5þ = 125 Når vi dividerer et negativt tall med et negativt tall, blir svaret et positivt tall. --25 : ð--5þ =5 Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved å dividere tallene med hverandre. Forholdet mellom 5 og 25 er 5:25=1:5 Trekanttall Vi får trekanttall ved å summere naturlige tall fortløpende fra 1 og oppover. 1 + 2 = 3 3 er et trekanttall 1 + 2 + 3 = 6 6 er et trekanttall Tall og tallforståelse 35

2xei + xei + 5 = 3xei + 5 2x + x + 5 = 3x+ 5

2 Algebra Det var araberne som først begynte å regne med bokstaver. De brukte ordet «sai» når de regnet med ukjente tall. I middelalderen ble mange bøker oversatt fra arabisk til spansk av spanske munker. De oversatte ordet «sai» med «xei», og etter hver gikk man over til å bruke bare den første bokstaven i ordet «xei», nemlig x, når man regnet med ukjente tall. Derfor er det vanlig å bruke bokstaven x når vi regner med ukjente tall i dag. Mål I dette kapitlet vil du få lære om. enkle algebraiske uttrykk. regning med parenteser. likninger med en ukjent. løsning av ulikheter. praktiske problemer med tall og regnemetoder Han bruker x i stedet for den ukjente!

Bokstavuttrykk? Jeg vil gjerne ha to x-er og sju y-er. Hm, det blir 2x +7y. Hva kaller vi et regneuttrykk som inneholder bokstaver? Talluttrykk inneholder bare tall. Uttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstavene står da i stedet for tall. Hver bokstav kaller vi en variabel. En variabel er noe som varierer, det betyr at den kan ha forskjellig verdi. 2 5+7 10 er et talluttrykk. Algebra 2x + 7y er et bokstavuttrykk. 38

Eksempel Familien til Hanna skal på bilferie. De skal kjøre y kilometer. Lag et bokstavuttrykk som viser kilometerutgiftene dersom de må beregne 4 kr per kilometer. Løsning Kilometerutgiftene i kroner blir: 4y Oppgaver 2.1 Forklar forskjellen på talluttrykk og bokstavuttrykk. 2.2 Hvilke av regneuttrykkene er talluttrykk og hvilke er bokstavuttrykk? A 235 -- 34 B 3x 5 C 15 -- y D2ð5 +4Þ 2.3 I en kiosk koster en brus 15 kr og et skolebrød 9 kr. Sara handler 3 flasker brus og 2 skolebrød. Hvilket talluttrykk viser hvor mye Sara må betale? A15+3+9+2 B 15 3+9+2 2.4 Skriv et bokstavuttrykk som viser a) x multiplisert med 3 b) summen av 2x og 3y c) differansen mellom 2x og 3 2.5 Lotte kjøper smågodt til 99 kr per kg. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Lotte må betale for x kg. 2.6 Sara leser n blader hver uke. Hvilket av disse regneuttrykkene står for hvor mange blader Sara leser på 6 uker? A 6 n B 6+n C n -- 6 D n + n 6 C 15 3 9 2 D 15 3+9 2 Algebra 39

2.7 Herman sykler 2 km hver vei til skolen. Han sykler i x dager. Hva står bokstavuttrykket 4x for? 2.8 Lag et bokstavuttrykk som viser hva som finnes i sirkelen. z z x x x x y z y y x x z z 2.9 Lag et bokstavuttrykk som viser omkretsen av figurene. a) b b) 2b c) a a b a a b a b 2.10 Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Simen må betale for x liter melk, y liter jus og z liter brus. Algebra 2.11 Martin svømmer to ganger i uka. Prisen for buss tur retur svømmehallen er 42 kr, og det koster 25 kr i inngangspenger. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Martin må betale for n uker med svømming. 40

Sette tall inn i bokstavuttrykk Vi regner ut verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn verdien til variablene. 2x + 7y =? Hva blir svaret når x = 4 og y = 2? Hvis x =4ogy = 2 i bokstavuttrykket 2x +7y, setter vi inn verdien til variablene og regner ut. 2x +7y = 2 4+7 2=8+14=22 Eksempel Regn ut 3a +2b når a = 5 og b =6 Løsning 3a +2b =3 5+2 6=15+12=27 Oppgaver 2.12 Sett inn x =8ogy = 7. Regn ut. a) x + y b) 2x +6y c) 4y 4x d) 4x +3y Algebra 41

2.13 a) Lag et bokstavuttrykk for omkretsen av figuren. b) Regn ut omkretsen av figuren når 1 a = 2, b = 3 og c =1 2 a = 4, b = 6 og c =2 a 3 a = 8, b = 12 og c =4 c 2.14 Sara er x år eldre enn Aurora, som er 13 år. a) Skriv et bokstavuttrykk som viser hvor gammel Sara er. b) Hvor gammel er Sara hvis x = 4? 2.15 Regn ut omkretsen (O) av figurene når a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm, d = 4 cm, g = 4 cm og h =3cm. a) O =2a +2b b) O = d c) O = g + h + c b a d h c b 2.16 Sett inn x = 3, y =4ogz = 2. Regn ut. a) 4x b) y c) 2x + y y z z g 2x +2y d) x z Regning med bokstavuttrykk Vi kan regne med variabler på samme måte som vi regner med tall. Vi vet at 2+2+2=3 2 6+6+6=3 6 Husk! Vi sløyfer gangetegnet mellom tall og bokstaver (variabler). Algebra På samme måte er x + x + x =3 x a + a + a =3 a 3 a =3a 42

Når vi har bokstavuttrykk med flere variabler, trekker vi sammen ledd med for eksempel x og y hver for seg. Vi ordner bokstavleddene i svaret etter alfabetet. 4x +2y -- 2x +3y = 4x -- 2x + 2y +3y =2x +5y Regel Når vi skal trekke sammen et bokstavuttrykk, adderer eller subtraherer vi ledd med like variabler. Eksempel Regn ut. a) 7y +3y y b) 4a +6b 2a +3b Løsning a) 7y +3y y = 9y b) 4a +6b 2a +3b =4a 2a +6b +3b = 2a +9b Oppgaver 2.17 Regn ut. a) x + x + x + x b) b + b + b 2.18 Regn ut. a) 2b +2b b) 4x +7x 2.19 Regn ut. a) x + y +3x +5y b) 5b +2a +4a 2b c) a + a + a + a d) xy + xy + xy c) 11a 7a d) 4y +2y +3y c) 3ab 2ab +3ab + 3ab d) 3a +4b +4a 6b Algebra 43

Potenser og bokstavuttrykk På samme måte som vi kan skrive tall som potens, kan vi også gjøre det med variabler. 4 4 4=4 3 x x x = x 3 Vi multipliserer og dividerer potenser med samme variabel på samme måte som med tall. 5 3 5 4 =5 3 + 4 =5 7 a 3 a 4 = a 3 + 4 = a 7 7 6 : 7 4 =7 6 -- 4 =7 2 y 6 : y 4 = y 6 -- 4 = y 2 Eksempel Regn ut. a) a 6 a 2 b) 2y 3 3y 2 c) x 7 : x 5 Løsning a) a 6 a 2 = a 6 + 2 = a 8 b) 2y 3 3y 2 =2 3 y 3 + 2 = 6y 5 c) x 7 : x 5 = x 7 -- 5 = x 2 d) ab ab e) 2x 3 + x + x d) ab ab = ðabþ 2 e) 2x 3 + x + x = 2x 3 +2x (ab)²=a²b² Oppgaver Algebra 2.20 Regn ut og skriv svaret som potens. a) y y b) a a a a c) x x x x x x d) ab ab ab 2.21 Regn ut og skriv svaret som potens. a) y 4 y 3 b) a 2 a 8 c) b 4 b 3 b 2 d) x x 6 x 3 2.22 Regn ut og skriv svaret som potens. a) a 4 : a 2 b) x 8 : x 4 c) y 5 : y 5 d) ð2aþ 9 : ð2aþ 5 44

2.23 Regn ut. a) 3b 5b b) 3x 2 5x 3 c) 7ðabÞ 2 8ab d) 3x 2x 2 4x 3 x¹ = x¹ˉ¹ = x =1 x¹ 2.24 Trekk sammen. a) y 4 + y 2 + y 2 b) 3x -- 2x 2 + x þ 2x 2 c) 3a +3a 2 + a -- 2a 2 d) 3x +2x 2 +4x 3 2.25 Regn ut. a) 2ab 6ab b) 4b : 4b c) 5z 2 4yz 3 d) 3y x 4 3y 3 2x 5 Parenteser og bokstavuttrykk Når vi skal trekke sammen bokstavuttrykk som inneholder parenteser, løser vi opp parentesene på denne måten: +ð4x +3xÞ =4x +3x =7x +ð4x -- 3xÞ =4x -- 3x = x --ð4x +3xÞ = --4x -- 3x = --7x --ð4x -- 3xÞ = --4x +3x = --x Legg merke til at vi bytter fortegn i parentesen når det står et minustegn foran. Regel Når vi løser opp parenteser med plusstegn foran, forandrer vi ikke fortegnene i parentesen. Når vi løser opp parenteser med minustegn foran, forandrer vi fortegnet foran alle leddene inne i parentesen. Hvis det står et tall eller bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi dette med hvert ledd inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi også forandre fortegn. Algebra 45

5ð2a +4aÞ =5 2a +5 4a = 10a + 20a = 30a --5ð2a +4aÞ = --5 2a -- 5 4a = --10a -- 20a = --30a Regel Vi multipliserer et tall eller bokstavuttrykk med en parentes ved å multiplisere med hvert ledd inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi også forandre fortegn. Eksempel Regn ut. Skriv svaret så enkelt som mulig. a) -- ð3a -- aþ b) 4xð2x--3Þ c) --2að2a--3aÞ Løsning a) --ð3a -- aþ = --3a + a = --2a b) 4xð2x -- 3Þ =4x 2x -- 4x 3=8x 2 -- 12x c) --2að2a -- 3aÞ = --2a 2a -- 2a ð--3aþ = --4a 2 +6a 2 = 2a 2 Oppgaver 2.26 Løs opp parentesene og regn ut. a) +ð3x +4xÞ b) +ð5a -- 3aÞ c) --ð4y +4yÞ d) --ð--4b -- 2bÞ Vi skriver bokstavuttrykk før talluttrykk i svaret. 2+a =a +2 2.27 Løs opp parentesene og regn ut. a) 2ða + bþ b) 4ð2x -- yþ c) --3ð2 +xþ d) --4ða + bþ 2.28 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3að2a + aþ b) 2xð3x -- 2xÞ c) --xðx +2Þ d) --3aða -- 3aÞ Algebra 2.29 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3ð5 +6Þ +4ð2 --5Þ b) 2að3 --5Þ -- 3að2 +3Þ c) 3xð2x +4xÞ +2xðx +3xÞ d) --að--4 -- 5aÞ -- 3að2 +aþ 46

Likninger? Lurer på hva x kan være... Hvordan løser vi likningen 2x = 9? Vi kan løse likninger ved å legge til eller trekke fra like mye på hver side av likhetstegnet. Vi kan også multiplisere eller dividere alle leddene med det samme tallet. Når vi løser en likning vil vi vanligvis at den ukjente skal stå alene på venstre side av likhetstegnet, men den ukjente kan også stå alene på høyre side. Vi bruker ofte x for den ukjente i en likning, men vi kan også bruke andre bokstaver, som for eksempel a, t eller y. Regel Vi kan løse en likning ved å legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet. Vi kan også løse en likning ved å multiplisere eller dividere alle leddene med det samme tallet. Algebra 47

Eksempel Løs likningene. a) 7 + x = 12 b) 15 = a -- 6 Løsning a) 7+x = 12 7+x -- 7 = 12 -- 7 x =5 c) 3x = 18 d) z 12 =8 Trekker fra 7 på begge sider b) 15 = a -- 6 15 + 6=a -- 6 + 6 Legger til 6 på begge sider 21 = a a = 21 Ettersom 21 = a, er også a = 21 c) 3x = 18 3x 3 = 18 3 x =6 Dividerer alle ledd med 3 d) z 12 =8 z 12 = 8 12 12 z = 96 Multipliserer alle ledd med 12 Oppgaver Algebra 2.30 Løs likningene. a) x +3=13 b)x 5=17 c)56=x 22 d) 11 = x +7 2.31 Løs likningene. a) 2x = 42 b) 7x = 28 c) 3a = 15 d) 100 = 5x 2.32 Løs likningene a) x 7 = 6 b) x 5 = 3 c) 12 = x 2 d) a 12 = 10 48

2.33 Løs likningene. a)9=3--x b) 2x + x = 12 c) 3x 2 = 6 d) 3x = 3 2 Husk! Likningen må alltid balansere! Addere og subtrahere med x Vi kan legge til og trekke fra samme tall eller bokstavuttrykk på begge sider av likhetstegnet i en likning. Vi løser likningen 2x = 9 + x slik: 2x =9+x 2x -- x =9+x -- x x =9 Trekker fra x på begge sider Eksempel Løs likningene. a) 4x =3x +9 b) x =10--4x Løsning a) 4x =3x +9 4x -- 3x =3x +9--3x 1x =9 x =9 Trekker fra 3x på begge sider Algebra 49

b) x =10--4x x + 4x =10--4x + 4x 5x = 10 5x 5 = 10 5 x =2 Legger til 4x på begge sider Dividerer alle leddene med 5 Oppgaver 2.34 Løs likningene. a) 2x =9+x b) 5x =15+2x c) 3x =12 x d) x 8= 3x 2.35 Løs likningene. a) 2x 4=11 3x b) 7x +6=12+3x 2.36 Løs likningene. a) 4ðx -- 3Þ =8 b) xð2 +3Þ = 10 c)8+6x =3x + 20 d) 7x 6= 6x 5 c) 3ð2 +xþ =4ðx -- 3Þ d) 2ðx +5Þ -- 3ðx -- 2Þ =4x -- 4 Multiplisere med x På samme måte som vi kan multiplisere alle leddene i en likning med tall, kan vi også multiplisere alle leddene med en variabel (bokstav). For å løse likningen 2 = 4 x må vi «fjerne» x i nevneren i brøken 4. Det gjør vi ved x å multiplisere alle leddene med x. Algebra 2= 4 x 2 x = 4 x x 2x 2 = 4 2 x =2 Multipliserer alle leddene med x Dividerer alle leddene med 2 50

Hvis likningen består av flere ledd, må vi huske på åmultiplisere eller dividere alle leddene med samme tall eller samme bokstavuttrykk. Husk! Vi skiller leddene fra hverandre med + tegn og tegn. 3+ x 3 =9 x Regel Vi kan løse en likning ved å addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med det samme tallet eller bokstavuttrykket på begge sider av likhetstegnet. Eksempel Løs likningene. a) 9 4x =3 b) x 3 =8+x Løsning a) 9 x =3 9 x x =3 x 9 3 = 3x 3 Multipliserer alle ledd med x Dividerer alle ledd med 3 3=x x =3 b) 4x 3 4x 3 =8+x 3=8 3+x 3 4x =24+3x 4x -- 3x =24+3x -- 3x 1x = 24 x = 24 Multipliserer alle ledd med 3 Trekker fra 3x på begge sider Algebra 51

Oppgaver 2.37 Løs likningene. a) 2 x =4 b) x 2 =4 c) 6 = 3 x 2.38 Løs likningene. a) 15 x =3 b) x 5 = 100 c) 4 = 24 2x d) 4x 2 =8 d) 5x 2 = 25 2.39 Løs likningene. a) 6 + 3 x =9 b) 4 x +4=2 c) 3 + x 3 =9--x d) x 4 + x = x 2 +3 Kvadratiske likninger Hm, denne likningen har to løsninger... x ² = 16 Likninger av typen x 2 = 16 kaller vi kvadratiske likninger. Ettersom både 4 2 og ð--4þ 2 er lik 16, så vil både x =4ogx = 4 være løsningen på likningen x 2 = 16: Algebra Det vil altså si at x =4ogx = 4 er løsningen på likningen x 2 = 16: Regel Kvadratiske likninger har alltid to løsninger. 52

Eksempel Løs likningene. a) x 2 = 25 b) x 2 +5=55 Løsning a) x 2 = 25 p x = ffiffiffiffiffi 25 b) pffiffiffiffiffi og x = -- 25 x = 5 og x = --5 x 2 +5=55 x 2 +5--5=55--5 x 2 = 50 p x = ffiffiffiffiffi 50 pffiffiffiffiffi og x = -- 50 x 7,07 og x --7,07 Trekker fra 5 på begge sider Oppgaver 2.40 Løs likningene. a) x 2 = 16 b) x 2 =4 2.41 Løs likningene. a) x 2 = 62 b) x 2 = 9,5 2.42 Løs likningene. a) x 2 +4=40 b) x 2 -- 5 = 76 2.43 Løs likningene. a) 2x 2 = 50 b) 3x 2 -- 5 = 28 c) x 2 = 36 d) x 2 = 64 c) x 2 = 121 d) x 2 = 30,25 c) x 2 +17=66 d) 78 = x 2 -- 67 For å finne kvadratroten av et tall bruker jeg som regel kalkulatoren! c) 4x 2 +3=9 d) 5x 2 -- 7 = 3x 2 + 11 Algebra 53

Å sette prøve på likninger Vi kan sette prøve på en likning ved å undersøke om venstre og høyre side av likningen har samme verdi. Vi setter da inn verdien for x og regner ut venstre og høyre side av likningen hver for seg. Jeg tror svaret blir 6! Er du helt sikker? 5x 3 = 4 + x Venstre side: 5x 3 5 6 3 30 3 10 Høyre side: 4+x 4+6 10 Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 6 er derfor en riktig løsning. Algebra Oppgaver 2.44 Hvilken av likningene gir x = 6 til svar? A 45 = 2x B 3x = 18 C 21 = 4x 2.45 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 7x = 42 b) 5x = 50 c) 64 = 4x 2 d) x 2 + 4 = 125 54

2.46 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 2x 3=x c) x 6 =7 b) 2 -- 3x = 8 -- 5x d) 2x 2 -- 5 = x 2 + 31 2.47 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) x 7x +5=9--3x b) 2 3 + x = 30 c) 3x2 +8=2x 2 + 152 Problemløsing og likninger Vi kan løse mange ulike problemer ved hjelp av likninger. Noen ganger kan det være lurt å lage en hjelpefigur. Omkretsen av den likebeinte trekanten er 30 cm. Hvor lange er sidene? 2x 2x x I en likebeint trekant er de lengste sidene dobbelt så lange som den korte. Vi kaller den korte siden for x. De lange sidene blir da 2x. Vi får likningen 2x +2x + x = 30, der x er den korte siden. 2x +2x + x = 30 5x = 30 5x 5 = 30 5 x =6 Algebra 55

De lange sidene finner vi slik: 2x =2 6=12 De lange sidene er 12 cm, og den korte siden er 6 cm. Vi kan kontrollere svaret slik: Omkretsen er 12 cm + 12 cm + 6 cm = 30 cm Oppgaver 2.48 I et rektangel er lengden dobbelt så stor som bredden. Omkretsen av rektangelet er 42 cm. a) Kall bredden for x cm og still opp en likning. b) Hvor lange er sidene i rektangelet? 2.49 Du trekker 23 fra et ukjent tall og får 71 til svar. a) Kall det ukjente tallet for x, og still opp likningen. b) Løs likningen. 2.50 Hanna kjøper 5 pizzaer og 10 brus til en klassefest. Det koster til sammen 650 kr. Hvor mye koster en pizza dersom brusen koster 18 kr per flaske? Løs oppgaven ved hjelp av likning. 2.51 Hanna og Herman vil dele en pose med 47 karameller slik at Hanna får 11 karameller mer enn Herman. Hvor mange karameller får de hver? Løs oppgaven ved hjelp av likning. Algebra 2.52 Simen har to søsken som heter Tone og Espen. Espen er to år eldre enn Simen, mens Tone er dobbelt så gammel som Simen. Til sammen er de 54 år. Hvor gamle er hver av dem? 56

Ulikheter? Jeg er 13 år og større enn deg. Ja, jeg er bare 8 år og mindre enn deg. Hvordan kan vi lage et uttrykk som viser aldersforskjellen? Vi bruker symbolene < (mindre enn) og > (større enn) for å vise ulikheter. Vi skriver 13 > 8 13 er større enn 8 8 < 13 8 er mindre enn 13 Vi kan legge til eller trekke fra like mye på hver side i en ulikhet, som for eksempel: 13 > 8 13 + 3 > 8+3 16 > 11 Legger til 3 på begge sider 16 > 11 16 -- 3 > 11 -- 3 13 > 8 Trekker fra 3 på begge sider Algebra 57

Eksempel Løs ulikheten. x +4< 8 Løsning x +4< 8 x +4--4 < 8 -- 4 x < 4 Trekker fra 4 på begge sider Oppgaver 2.53 Løs ulikhetene. a) x +3< 9 b) x +7< 12 c) x -- 5 < 5 d) x +3> 11 2.54 Løs ulikhetene. a) x + 1,5 < 6,5 b) x + 3,5 > 6 c) --2,5 + x < 4 d) x + 11 > 3 2.55 Løs ulikhetene. a) 2x +2< x +8 b) 3x + 5,5 > 2x + 6,5 c) --2,5 -- 5x < 3,5 -- 6x Vi kaller uttrykket for en ulikhet. 6 > 3 Algebra 58

Prøv deg selv 1 Hva er forskjellen på et talluttrykk og et bokstavuttrykk? 2 a) Lag et bokstavuttrykk som viser omkretsen av figuren. b a a c b b) Hanna kjøper kjøttdeig til 69 kr/kg. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Hanna må betale for x kg. 3 Skriv så enkelt som mulig. a) z + z + z + z b) 6a +5a c) 2r +4r r d) 7y +2x 3x + y 4 Sett inn x =3ogy = 5 og regn ut. a) 2x +3y b) x + y c) 3x + 2y d) x 2y 5 Skriv som potens. a) a a a b) x x x x x c) z z d) 2b 2b 2b 2b 6 Regn ut. a) x 3 + x 3 c) 2x 5 +2x 5 b) a 4 + a 4 d) 2y 2 + y 3 c 7 Regn ut. a) a 4 a 3 b) x 3 x 3 c) x 7 : x 2 d) 3a 3 2a 4 8 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3ðx -- 5Þ b) 3ð4a +3aÞ c) --ð4x +3xÞ d) --ð2x -- 5xÞ 9 Løs likningene. a) 42 = 13 + x b) a 9=0 c)x 12 = 12 d) 22 + 2 = 14 + x Algebra 59

10 Løs likningene. a) 2x = 16 b) 35 = 5x 11 Løs likningene. a) 1 = 3 x b) 4x -- 2 = 3x +4 12 Løs likningene. a) x 2 = 49 b) x 2 = 64 c) x 4 =4 d) 3x 2 = 15 c) --x +2=3x -- 8 d) 3x = x 2 + 15 c) 2x = 8 x d) 3x 2 +3=x 2 + 27 13 Sett prøve og vis hvilke av likningene som har løsningen x = 4. A 6x = 24 B x 2 +2=18 C 4 x =2 14 Fra vannkranen på badekaret kommer det 20 liter vann på ett minutt. Hvor lang tid vil du bruke på åfylle hele badekaret hvis det rommer 200 liter? Still opp en likning og finn svaret. Algebra 15 Løs ulikhetene. a) 9 + x > 10 b) x -- 50 < 145 c) x -- 8 > 2 d) x + 60 > 200 60

Noe å lure på 1 Matematikkgeniet Carl Friedrich Gauss (1777 1855) fant i ung alder en formel for å summere de hundre første naturlige tallene. Summen blir 5050, men hva er formelen? Hva blir summen av de ti første naturlige tallene? Carl Friedrich Gauss 2 Sara har like mange 10-kronestykker som Martin har 5-kronestykker. 10-kronestykkene til Sara er verdt 75 kr mer enn 5-kronestykkene til Martin. Hvor mange kroner har de til sammen? 3 En blomst med potte koster 260 kr. Blomsten koster 190 kr mer enn potta. Hvor mye koster blomsten, og hvor mye koster potta? Sett opp en likning og finn svaret. Algebra 61

Gullbarre 4 En gullbarre veier 4,5 kg mer enn en sølvbarre. Seks gullbarrer og to sølvbarrer veier like mye som tre gullbarrer og seks sølvbarrer. Hvor mye veier én gullbarre, og hvor mye veier én sølvbarre? 5 Her ser du en vekt som er i balanse. Hvilke tall skal stå i stedet for x og y? Algebra x y 2 kg 62

Oppsummering Bokstavuttrykk Regneuttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstaven står da i stedet for et hvilket som helst tall. Bokstaven kaller vi en variabel. A = g h O =2a +2b Sette inn tall i bokstavuttrykk Vi finner verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn tall for variablene og regne ut uttrykket som et talluttrykk. Hvis vi setter a =4ogb = 6 inn i bokstavuttrykket 2a +2b får vi: 2a +2b =2 4+2 6=8+12=20 Regning med bokstavuttrykk Når vi regner med bokstavuttrykk, kan vi bare trekke sammen ledd som har den samme variabelen. Hvis vi skal multiplisere eller dividere ulike bokstavledd med hverandre, multipliserer eller dividerer vi tall med tall og bokstavledd med bokstavledd. 5a +3b +2a -- 2b =7a + b 3x 5y = 15xy 3a 2 2a 3 =6a 5 x 7 : x 3 = x 4 Bokstavuttrykk og parenteser Når vi løser opp en parentes med plusstegn foran, endrer vi ikke fortegnene inne i parentesen. Vi løser opp en parentes med minustegn foran ved å endre alle fortegnene på alle leddene inne i parentesen. 4x + ð2x +3Þ =4x +2x +3=6x +3 6x -- ð3x -- yþ =6x -- 3x + y =3x + y Algebra 63

Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi tallet eller bokstavuttrykket med alle leddene inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi bytte fortegn på alle leddene inne i parentesen. 2xð5 +7Þ =2x 5+2x 7=10x + 14x = 24x --2xð5 --7Þ = --2x 5--2x ð--7þ = --10x + 14x =4x Likninger Vi kan legge til eller trekke fra samme tall eller samme bokstavuttrykk på begge sider av likhetstegnet i en likning. Vi kan også multiplisere eller dividere alle leddene i en likning med det samme tallet eller det samme bokstavuttrykket. 6= 4 x +4 6 x = 4 x x +4 x 6x =4+4x 6x -- 4x =4+4x -- 4x 2x 2 = 4 2 x =2 Likninger av typen x 2 = 25 kaller vi kvadratiske likninger. Kvadratiske likninger har alltid to løsninger. x 2 = 25 p x = ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 25 og x = -- 25 x =5 og x = --5 Algebra 64

Å sette prøve på likninger Vi setter prøve på en likning ved å sette inn verdien for den ukjente og undersøke om venstre og høyre side av likhetstegnet får samme verdi. 3x +4=8+2x 3x -- 2x =8--4 x =4 Prøve: Venstre side: 3x +4 3 4+4 12 + 4 16 Høyre side: 8+2x 8+2 4 8+8 16 Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 4 er derfor riktig løsning. Ulikheter Vi løser ulikheter ved å legge til eller trekke fra samme tall på begge sider av ulikhetstegnet. Symbolet < betyr mindre enn, og symbolet > betyr større enn. x +4< 12 x +4--4< 12 -- 4 x < 8 x er mindre enn 8 Algebra 65

Kongen skal ha betaling for kvadratene dine! Slapp av, jeg måler så fort jeg kan...