ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr 4 Hvordan du regner med bokstaver, likninger og formler (elementær algebra) Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com

1 Opplsning: Faste, spesifiserte tall kalles for konstanter. Eksempel: 7 9, 4, 0,,,,14... osv. Kommentar: Tallet null for eks. er og blir null, det forandrer seg ikke. Derav ordet konstant eller fast tall. Opplsning: Uspesifiserte tall kalles for variabler (variable uttrkk) og betegnes med bokstaver eller en blanding av bokstaver og konstanter. Eksempel: Under er det noen mstiske variable uttrkk (som også kan inneholde konstanter).,, z,, 4, 7, ab, b ab... osv. z z ( multiplikasjonstegn utelates ofte)

Eksempel: Formelen for omkretsen av en sirkel er et godt eksempel på en variabel størrelse. Omkretsen på en sirkel er lengden på den veien du må labbe for å komme rundt sirkelen en gang (rundt et løpestadion). Formel for omkretsen (O) til en sirkel uttrkt ved diameteren (d): O, 14 d Omkretsen (O) er ca. ganger diameteren (d). Jeg klarer det aldri, fordi det er ca. 00m rundt! MÅL START d=100m At O og d er variabler, skjønner du når diameteren dobles (d = 00m). Da vil omkretsen bli ca. 600m (det dobbelte av 00m). La oss vise det ved regning:

Diameteren = d = 100m (som ovenfor). I formelen (likningen) for omkretsen erstatter vi variabelen d med en boks som verdien 100m skal puttes inni. O,14d, 14 100m Omkretsen når diameteren er 100m blir da: O,14100m 14m Vi fordobler diameteren til 00m og forventer at den ne omkretsen blir 68m: Diameteren = d = 00m. I formelen (likningen) for omkretsen erstatter vi variabelen d med en boks som verdien 00m skal puttes inni. O,14d, 14 00m Omkretsen når diameteren er 00m blir da: O,1400m 68m Oppgave: hvilke av følgende fem uttrkk (a til e) er konstanter? a ) 4, b) (0,6), c) z, d) 1, e) 0 Fasit: b) 0,6 og e) 0 er konstanter. Kommentar: Isolert sett er også 4, og 1 konstanter, men de er del av et uttrkk som også inneholder bokstaver (variabler). Opplsning: Konstanten som multipliseres med et bestemt bokstavuttrkk kalles koeffisient.

4 Eksempel: Finn koeffisientene til bokstavuttrkkene under. 1,,, 4 For å tdeliggjøre koeffisientene, må vi skrive uttrkkene med multiplikasjonstegn (gangetegn). har koeffisienten 1, fordi 1 Koeffisienten til er lik 1 har koeffisienten -1, fordi ( 1) Koeffisienten til - er lik -1 1 1 1 1 har koeffisienten, fordi Koeffisienten er en halv 4 har koeffisienten -4, fordi 4 ( 4) Koeffisienten er -4

Oppgave: Hva er koeffisientene til de variable uttrkkene under?,, t og 1 0,001a b Fasit: 1,, 1, 0, 001 Opplsning: Bokstavuttrkk eller tall med plusstegn eller minustegn i mellom kalles ledd. Bokstavuttrkk av samme slag (det er bare koeffisientene som varierer), kan vi trekke sammen ved å beholde bokstavutrkket og trekke sammen koeffisientene. Eksempel: (1 ) 0 0 1 eple pluss epler minus epler er lik null epler Koeffisientene trekkes sammen Summen av koeffisientene er lik 0 Merk: Null ganger et tall er alltid lik null. Eksempel: 4?

6 Ovenfor har vi to tper bokstavuttrkk: og. Vi sorterer uttrkkene slik at alle de tre -leddene settes samlet. 4 Lik tpe ledd kan nå telles sammen ved hjelp av koeffisientene. ( 4 ) ( ) Sum = Sum = 1 Eksempel: 4 kan ikke trekkes sammen, fordi og er ulike bokstavutrkk.

Eksempel: 7 Men snet kan bedra: 4? Bokstavuttrkkene og ser ulike ut, men er det ikke. Hvorfor? Vi faktoriserer bokstavuttrkkene og snur på faktorenes rekkefølge, så ser vi at tpen bokstavuttrkk er like. Merk: Faktorenes rekkefølge spiller ingen rolle. Vi ser på uttrkket : Her har vi snudd på rekkefølgen X er opphød i andre potens. Da må ganges med seg selv ganger. Da får vi at

8 4 4 6 Er lik 4, som vi fant rett ovenfor Oppgave: Trekk sammen leddene under og finn ut hva som skal stå i den tomme boksen. Legg merke til at summen er null (din første likning). Tips: Forsøk å finne bokstavuttrkkene som er like (selv om det ikke ser slik ut ved første øekast). Sorter dem og trekk disse sammen. 9ab ru 6b a 7r u b ba 7ur 0 Fasit: ru Opplsning: Parenteser med minus foran kan fjernes (inkludert minustegnet), bare du skifter fortegn på leddene inni. Minus foran parentesen gir: To formler: a b a b a b a b Merk deg fortegnsskiftet fra b til + b

9 Eksempel: Vi lar både a og b være positive tall: a =, og b = dette gir at a b Vi kunne selvfølgelig lagt og sammen i parentesen først, men når vi regner med ulike bokstaver er det ikke like lett. Se neste eksempel. Eksempel: + kan ikke trekkes sammen I neste eksempel skal vi bruke formelen (a b) = - a + b Eksempel: 0 1 0 1? Hvis du tror at svaret her blir positivt, så tar du skrekkelig feil: -0 (tve enheter mot venstre) +1 (femten enheter mot høre) - (rest) Fsikk: Vi skrumper pilen som representerer -0; med 1 enheter.

10 Restpilen vår (-) er svaret: 0 1 0 1 Eksempel: Opplsning: Parenteser med pluss foran kan fjernes uten videre. Eksempel: 6 8 6 8 Ingen fortegn er skiftet Eksempel: 6 8h 6 8h Ingen fortegn er skiftet Eksempel: 7 7 4 4 Ingen fortegn er skiftet

11 Og så et samlende eksempel til slutt hvor det er både pluss og minus foran parentesen. Eksempel: c b b c b c? c Her skal det skiftes fortegn Her skal det skiftes fortegn c c b b c b c? Her er det skiftet fortegn Her er det skiftet fortegn Husk: Hvis det ikke står noe fortegn, så betr det pluss. For eks. b = + b. Oppgave: Løs opp følgende parenteser og eventuelt trekk sammen. a) ( )? b) ( )? c) ( a b)? d) ( )? Fasit: a), b), c) a + b, d) 4 4

1 Formel: bc ac c b a ac ab c b a ) ( ) ( Eksempel: Vi skal trekke sammen uttrkket nedenfor (husk det er ingen likning).? ) 7 ( 4? ) 7 ( 4? ) ( 7 ) ( 4 Leddene i det ne uttrkket regner vi ut hver for seg nedenfor. Opplsning: Du ganger et tall (bokstavuttrkk) med en parentes ved å gange tallet med hvert av tallene inni parentesen. Først skal multipliseres med de tre leddene inni parentesen Dette er de tre leddene ovenfra Dette er det første av tre ledd i det ne uttrkket etter at vi har ganget inn i parentesen øverst

1 4 1. ne ledd: ( ) Vi foretar en fullstendig faktorisering av leddet for å vise hva som foregår. 4 ( ) 4 er en forkortet skrivemåte for 4 like faktorer Faktorenes rekkefølge er likegldig. Vi samler -faktorene og de konstante faktorene hver for seg ved å btte om på rekkefølgen. Til slutt ganger vi sammen. 6 6 er en forkortet skrivemåte for like faktorer 6, fordi ulike fortegn ved multiplikasjon gir minus. Dermed har vi regnet ut 1. Ledd. Vi fortsetter med det neste leddet (av totalt ledd).. ledd: 7 7 7 7 14.ledd: ( ) 1 1

14 Vi legger de utregnede leddene sammen og får resultatet: 14 6 ) 7 ( 4 Eksempel:? ) ( Vi må gange med hvert av leddene inni parentesen ( og ). Se strektegningen under: ) ( ) ( ) ( Utregning av 1. Ledd: 7 1 1 ) ( Utregning av. Ledd: 6 6 ) ( Summen av ledd 1 og ledd gir oss svaret på oppgaven. Resultat: 7 6 1 ) (

1 Oppgave: Regn ut og trekk sammen. a) ( 4 6 ) b) ( 6 ) Fasit: 7 a) 0, b) 1 0 8 ================================================================ Opplsning: To parenteser ganges sammen ved å gange hvert tall i den ene med === hvert tall i den andre. Formel: ( a b) ( c d) ac ad bc bd Eksempel: Multipliser sammen parentesene under ved å bruke regelen ovenfor. ( ) ( )? Fremgangsmåte: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 Faktorene og har bttet rekkefølge.

16 Eksempel: Regn ut uttrkket under.? ) 9 ( 9) ( Løsning: ) 9 ( 9) (? 9 9) ( 9 ) ( 9) ( ) ( 1 4 Utregning av ledd 1: 4 9 9 9) ( ) ( Utregning av ledd : 4 ) ( Like fortegn gir pluss Ulike fortegn gir minus Summere eksponenter

17 Utregning av ledd : 9 ( 9) 81 Utregning av ledd 4: 9 9 4 Resultatet på utregningen blir som følger: ( 9) ( 9 ) 4 4 81 4 4 90 81 Kommentar: Det er vanlig å skrive leddene med høest grad (eksponent) først. Oppgave: Regn ut og trekk sammen. ( a b) ( a b)? Fasit: a ab b Oppgave: ( 1)( 1) Kommentar: Det står egentlig et gangetegn mellom parentesene, men det skrives ikke alltid. Fasit: 4 1

18 Opplsning: Variablene kan erstattes av ulike konstanter (faste tall). Vi kan tenke oss en variabel som en tom boks som vi skriver et fast tall i. Når du skal sette tall i formler, kan det lønne seg å skrive bokstavene som tomme bokser du setter tallene inni. X= Eksempel: Hvis erstattes med, får vi 4 Uttrkket 4. er altså lik 4 når er lik. Dette kan også skrives: Hvis =, så er Eksempel: Arealet av en sirkel med radius lik r har formelen A r, hvor, 14. Finn arealet til sirkelen hvis radien r er m.

19 Utregning: Arealet av en sirkel = kan skrives,14r, 14 r r, slik at radien r = m, A= Areal av sirkelflaten =,14 m m = 1,6m m A 1m Oppgave: En sirkel har radien lik 4m. Hvor stort er sirkelens areal? Fasit: 0,m Eksempel: Under har vi en rettvinklet trekant (den rette vinkelen er 90 o ). Vi skal bruke Ptagoras formel (likning) som forutsetter en rettvinklet trekant. Den kan uttrkkes som setning: Kvadratet på hpotenusen er lik kvadratet på den ene kateten pluss kvadratet på den andre kateten. (Vi kvadrerer tall slik: Kvadratet av 9 er 9 99.) Ptagoras formel: ( Hpotenus ) ( Katet) ( Katet) Kommentar: Katetene står alltid vinkelrett på hverandre. Hpotenusen er alltid den lengste siden.

0 Katet Hpotenus (jeg er lengst) 90 o Katet Trekantberegning: Trekanten under er rettvinklet og vi skal vise at Ptagoras setning gjelder. Dvs. vi skal vise at: 4 4 Variablene i Ptagoras likning er altså hpotenusen og de to katetene. Vi gjør som ovenfor og btter ut variablene med tomme bokser og putter inn tallene, 4 og (du kan gjerne tenke i cm, men det kan like gjerne være m). Ptagoras formel: ( Hpotenus ) Katet ( Katet ) ( ) kan skrives = + Nå blir det en smal sak å putte inn konstantene, 4 og :

1 Ptagoras formel: ( Hpotenus ) ( Katet ) ( Katet ) = 4 + Ptagoras påstår altså at: 4 16 9 som blir Likningen stemmer, fordi faktisk er lik 16 + 9 (husk at et likhetstegn ikke bare er til pnt begge sider må være like når det puttes inn tall for alle variablene i en formel; som faktisk er en likning). Kommentar: tallene, 4 og kalles et ptagoreisk talltrippel. 10, 8 og 6 er etannet eksempel. Test ut selv! Eksempel: Et annet eksempel på en likning er den berktede andregradslikningen. En likning av andregrad vil inneholde variabler (bokstaver) som har en eksponent lik, men ikke større enn. For eks. vil være et andregradsledd. Dette er et andregradsledd Dette er en andregradslikning 0

Det strenge likhetstegnet i andregradslikningen like ovenfor, sier oss at dette skal være en likhet mellom venstre siden av likhetstegnet og høre siden. Det blotte øet ser selvfølgelig ingen likhet. Derfor kalles en likning med variabler for en åpen påstand (åpen setning). Det er først når vi erstatter variabelen (tenk tom boks) med et fast tall, at vi med sikkerhet kan si noe om likhet. Hvis venstre siden etter innsetting av et tall (verdi) blir lik 0, sier vi at denne spesielle -verdien er en løsning for likningen. Problemet er å finne det riktige tallet (eller to stkker andregradslikningen kan høst ha to løsninger). Å prøve seg frem kan være nttig som trening, men det tar tid. For å finne løsningen fortere bruker vi den berømte abc-formelen: b b 4 ac a Dette ser ut som et monster, så lenge en ikke vet hva bokstavene a, b, c og tegnet er for noe. Vi forklarer bokstavene først og rottegnet,, etterpå. Hvem er dere? a, b og c Den spesielle andregradslikningen 0 har nemlig en mer generell form: Den generelle andregradslikningen a b c 0 Ved sammenlikning med den spesielle andregradslikningen skal vi se hva a, b og c er:

0 a b c 0 Med øet ser vi at: a =, b = - og c = (bokstavene som inngår i abc-formelen). Andregradslikninger kan altså løses ved å slenge konstantene a = -, b = -, og c = (også kalt for koeffisientene til andregradslikningen) inn i abc-formelen: a b c 0 har løsningen b b a 4ac ( abc formelen) Vi skal løse likningen under og sette prøve: 0 Vi ser at a =, b = - og c = (håper du så det ovenfor også). Vi setter formelen opp i boksform (a, b, og c er bokser) og setter verdiene for a, b og c inn i boksene:

4 b b 4 ac a (a =, b = - og c = settes inn) - - 4 Dette kan vi renskrive: ( ) ( ) 4? Kvadratroten (bitte liten innføring) Først litt om kvadratroten : Kvadratroten av et tall er det tallet som ganget med seg selv gir tallet. For eks. er 1 4 osv. 1, fordi 1 11 1. 4, fordi Vi regner videre ( ) ( ) 4?

Steg 1: ( ) (like fortegn gir pluss) ( ) ( ) 4? Steg : 4 4 6 4 1 1 Like fortegn gir pluss Ulike fortegn gir pluss Se ovenfor Vi setter inn de beregnede verdiene: 1 ( ) ( ) 4 1 4 Pluss-minustegnet, ±, betr at andregradslikningen har to løsninger. Den ene løsningen får du ved å bruke +, og den andre løsningen får du ved å bruke -.

6 Forkorting 1 ) min 1 ( 4 4 4 1 ) ( 4 6 4 1 og til beregnet er Løsningene ustegnet brukt plusstegnet brukt Formuleringen beregnet til tder på at vi må teste løsningene ved å sette disse inn i den opprinnelige likningen (en av gangen). Vi setter inn først. Husk: X er en boks. Prøve venstre side av likningen (høre side er lik null): gir i renskrevet form:? Ledd 1: 4, 9 1 1 1 Et helt tall kan omformes til en brøk ved å sette 1 i nevneren. Slik: 1 Brøker multipliseres sammen ved å gange teller med teller og nevner med nevner

7 Ledd :? 1 Denne treeren må omformes til en brøk ved å gange brøken oppe og nede 1 med. Se under! Setter denne opp på ntt under 1 1 1 6 1 6 1 6 9 4, Denne treeren må omformes til en brøk ved å gange brøken oppe og nede 1 med. Brøker med like nevnere kan trekkes sammen, ved å beholde nevneren og trekke tellerne sammen Ved å legge sammen ledd 1 og ledd får vi endelig svar på om andregradslikningen, 0, blir null ved å putte inn løsningen. Ledd 1 + Ledd = 4, 4, = 0 Hvilket vi skulle vise.

8 Den andre løsningen = 1 gir ved innsetting i : 1 1 0 Begge - løsningene passet. Hvilket vi skulle vise. Eksempel: Strekning er lik fart ganger tid. Dette kan skrives som en formel: s v t strekning fart tid hvor s = strekningen, v = farten og t = tiden. Likningen inneholder tre variabler (tenk bokser eller bokstaver), som vi kan finne med en hjelpepramide (med mindre du løser likningen i hodet). s v t Vi skal finne strekningen s: Du holder fingeren over s (boksen på toppen). Det som da sns er v t. Dvs. at s v t strekning er lik fart (hastighet) ganger tid

9 s v t Vi skal finne farten v: Du holder fingeren over v (boksen til venstre). Det som da sns er t s. Dvs. at v s t fart er strekning (lengde) delt på tid Vi skal finne tiden t: Du holder fingeren over t (boksen til høre). Det som da sns er v s. Dvs. at t s v tid er strekning (lengde) delt på fart

Eksempel: 0 Hvis en bil kjører i to timer og 1 minutter, dvs. t = h1min, og farten er 90 km/h (90km i timen), hvor langt har bilen kjørt? Vi må først gjøre om minutter til timer. Vi gjør 1 min om til timer: Den vanlige benevningen på timer er h (engelsk: hour): 1 time = 1h Vi er smarte og stkker 1time som er 60min i 60 biter: 1min min min 4min min Krmpet del 7min 8min 9min 60min 1 1 1 1min h 1min må da være 1 ganger h 1min h 60 60 60 1 11 1 1min h h h 0, h 60 1 4 4 60 faktoriseres i 1 ganger 4, og 1 forkortes

1 Bilen kjører altså i t = h + 0,h =,h og farten er km v 90 h s v t Hold fingern over s for å finne strekningen (se pramide ovenfor). Det gir: s v t km 90,h h Strekningen blir da: km s v t 90,h 0, km h Benevningen stemmer, fordi: km h h km h h km Eksempel: Hvor lang tid bruker en bil på å kjøre 9mil med en fart på 100km/h? s v t

Vi skal finne tiden t: Du holder fingeren over t (boksen til høre). Det som da sns er v s. Dvs. at t s v tid er strekning (lengde) delt på fart Vi har at tiden blir: Siden 1mil = 10km, vil 9mil være 90km h = 1time = 60min t s v 90km 100km/ h 0,9h 0,9 60min 4min Forklaring på benevningen får du under Benevningen ovenfor, 90km 100km/ h, skal vi se nærmere på: km km h km h km h h km h km h h km h km h Vi må få bort nevneren h i den lille brøken under den store hovedbrøken. Det gjør vi ved å gange med h oppe og nede på hovedbrøken.

Eksempel: Hva er farten til en bil som 4min på 10mil? Vi skal finne farten v: Du holder fingeren over v (boksen til venstre). Det som da sns er t s. Dvs. at v s t fart er strekning (lengde) delt på tid 1mil er lik 10km, derfor er 10mil = 100km Vi får at farten blir v s 100km 1,km h t 0,7h / 4min time 0, 7h 4 1 Opplsning: I en likning hvor ikke har høere eksponent enn 1 ( ), kalles en første gradslikning eller en lineær likning (grafen til likningen gir en rett linje i et koordinatsstem).

Eksempel: 4 6 4 8 9 Førstegradslikning X er av første grad: X er av. grad: Kommentar: En andregradslikning inneholder bokstavledd av tpen 4, hvor eksponenten er lik. For eks. vil 9 7 0, være en andregradslikning. Oppgave: Hvilke av følgende likninger er lineære likninger? a) 7 6 1 b) 7 8 c) 6 Fasit: a) og c) er lineære likninger. Opplsning: Lineære likninger kan vi løse med fltteregelen, deleregelen og gangeregelen: Fltteregelen: Du kan fltte et ledd fra en side til den andre i en likning, bare du skifter fortegn på leddet. Deleregelen: Du kan dele alle ledd i en likning med samme tall. Gangeregelen: Du kan gange alle ledd i en likning med samme tall.

Eksempel: -ledd -ledd 4 konstantleddledd Fltteregelen: I likningen ovenfor samler vi alle -leddene på venstre siden og konstantleddet på høre siden. Først fltter vi -leddet fra høre siden over til venstre siden av likhetstegnet, samtidig som vi skifter fortegn. 4 Her ser vi at har skiftet fortegn til - Resultatet av flttingen av blir: 4 0 Neste steg er å fltte konstantleddet -4 over til høre siden av likhetstegnet, og samtidig skifte fortegn fra -4 til pluss 4, dvs. 4. 4 0 Her ser vi at -4 har skiftet fortegn til +4

6 Resultatet av flttingen av -4 blir: 4 På venstre side kan vi btte rekkefølge på -leddene, slik: (= ) Resultatet blir: Vi trekker sammen og får: 4 4 4 Vi er interessert i, ikke. Derfor må vi bruke deleregelen: Vi deler begge sider av likhetstegnet med Da får vi: 4 Likningen har løsningen =, fordi 4 delt på er lik :

7 Kommentar: Det betr at hvis vi erstatter (tenk på bokstaver som tomme bokser som kan flles med tall) med verdien, vil begge sidene i likningen 4, bli like på ordentlig. Vi skal ta det grundig senere. Men litt kjapt ser vi: Venstre side av likningen blir ved innsetting av = : 4 6 4 Høre side av likningen blir ved innsetting av = : Prøven viser at = er den riktige løsningen for likningen 4. Eksempel: I likningen nedenfor har vi nevneren som vi må kvitte oss med først. Det gjør vi ved å bruke gangeregelen. Vi ganger alle ledd i likningen med nevneren : 4 Alle ledd må ganges med (= nevneren) 4 Her ser vi at alle ledd er ganget med

8 I første ledd ovenfor skal ganges med en brøk. Totallet ganges rett inn i telleren. 8 4 Nå er vi kvitt nevneren (som var poenget) Resultatet blir dermed: 8 4 Etter å ha flttet 8 over på høre siden og skiftet fortegnet til pluss, får vi: 4 8 Etter å ha flttet 4 over på venstre siden og skiftet fortegnet til minus, får vi: 4 8 Vi trekker leddene 4 sammen og får (du har tre kroner og sklder 4, dvs. en saldo på -1 krone): 8

9 For å bli kvitt minustegnet, kunne vi ha ganget med (-1) på begge sider og av den grunn skiftet fortegn på - til. Men for å demonstrere deleregelen, vil vi dele med -1 på begge sider, selv om det virker tungvint her. For det er lett å skjønne med et blikk at må være lik -8. kan også skrives som -1 ganger 1-1 faktoren kommer vi til å forkorte i likningen, som vi skal se nedenfor. 1 8 Deleregelen: Vi deler begge sider av likningen med faktoren (-1) ( 1) ( 1) 8 ( 1) Nå har vi delt begge sider av likningen med faktoren (-1) ( 1) ( 1) 8 ( 1) Vi forkorter faktoren (-1) for å få 1 (= ). Husk at et tall delt på seg selv er lik 1

40 8 ( 1) Høre side av likhetstegnet 8 ( 1), er en skurk vi må se nærmere på. Hvorfor er 8 1 lik 8??? Dette skal vi gå nærmere inn på nedenfor. For å se at 8 blir 8 1, kan vi gange brøken oppe og nede med (-1): 81 1 1 Fortegnsregel: Ulike fortegn gir minus Fortegnsregel: Like fortegn gir pluss 81 1 1

41 Vi får videre 8 1 1 1 8 1 8 1 8 Likningen 4 har løsningen 8 (fordi -8 delt på 1 er lik -8) Eksempel: Løs likningen under og sett prøve. ( 1) 7 4 Det står minus foran parentesen, vi løser den opp ved å skifte fortegn inni. Leddene inni parentesen blir da: 1 Status på den ne likningen blir: 1 7 4 Vi samler -leddene på venstre side og konstantene på høre ved å bruke fltte regelen. 1 7 4

4 Etter flttingen av 4 får vi (vi legger også sammen 1+7 = 8): 4 8 N status: 4 8 Etter flttingen av 8 får vi: 4 8 Venstre siden av likningen: Vi tenker at minus 4 ligger 4 enheter til venstre for null på den vanlige tallinja. Forflttning av enda enheter mot venstre gir oss en posisjon 6 enheter til venstre for null. Det vil si posisjonen blir i dette tilfellet -6. Høre siden av likningen: Samme tpe resonnement gir oss -10. N likningsstatus: 6 10 Her bruker vi deleregelen for å bli kvitt -6. Det vil si at vi deler med -6 på begge sider av likningen 6 6 10 6

4 Etter forkortingen av -6 får vi: 10 6 Minustegnene kan settes i parentes, slik at det blir lett å forkorte: 1 1 6 10 Etter forkortingen faktoriserer vi 10 og 6 og forkorter deretter : Altså vi finner at -verdien blir fem tredeler: Kommentar: Vi må sjekke om dette er den riktige verdien. Vi setter prøve. Det vil si at vi regner ut venstre og høre siden av den opprinnelige likningen hver for seg, ved å putte fem tredeler inn i -boksene ( er en tom boks). Hvis vi får samme svaret (verdi) for begge sidene, er alt i boks. Da gjør vi det.

44 Vi setter den opprinnelige likningen opp på ntt: ( 1) 7 4 Vi btter med en ordentlig boks. Prøve venstre side: gir ( 1) 7 7 1 Totallet ganger vi rett inn i telleren Dette gir oss: 1 7 Det er minus foran parentesen. Vi skifter fortegn inni. To ganger fem er lik ti Vi får da En pluss sv er lik åtte 10 1 7 10 8

4 Vi må utvide 8 til en brøk med nevner ved å gange oppe og nede med (husk at et tall delt på en er lik tallet selv): 10 8 1 Brøker med samme nevner kan trekkes sammen ved å beholde nevneren og trekke sammen tellerne. Husk at en ganger tre er lik tre. Vi trekker brøkene sammen: 10 8 10 4 1 Vi har beholdt nevneren. Minus 10 pluss 4 er lik 14 14 Venstre siden = Prøve høre side: ( 1) 7 4

46 gir 4 4 4 4 må ganges rett inn i telleren 4 0 0 0 6 14 må utvides til en brøk med som nevner. Det gjør vi ved å gange brøken 1 oppe og nede med. Deretter trekkes tellerne sammen. Dvs. 0-6=14 (nevneren beholdes) 14 Prøven er i orden, siden begge sider ble lik (se resultat av prøven for venstre - og høresiden ovenfor).

47 Eksempel: En husstand brukte et år 1 000 kwh (kilowattimer, h = hour = time) i elektrisk energi. Det faste beløpet per år var på kr 000 per år pluss en energipris på øre per kilowattime (i 1991). a) Regn ut strømutgiftene til denne husstanden dette året. b) Sett opp en likning som viser sammenhengen mellom forbruket, antall kwh =, og strømutgiftene, antall kr i året =. Dvs. finn en formel for uttrkt ved det variable forbruket og de faste kostnadene. c) Finn en formel for det variable forbruket uttrkt ved antall kr. d) Regn ut forbruket hvis utgiftene et år er kr 10 000. e) Lag en formel som viser de samlede utgiftene z per kwh for et år. f) Regn ut de samlete utgiftene per kwh, hvis forbruket er 0 000 kwh. Løsning: a) Regn ut strømutgiftene til denne husstanden dette året. øre per kilowattime kan skrives slik øre kwh Utregning av utgiftene ved et forbruk på 1 000 kwh: øre 1 000 kwh kr000 kwh Prisen ganger strømforbruket Fast utgift per år Benevningen kwh i venstre ledd kan forkortes (fordi 1000kwh tilhører telleren, se under).

48 Altså utgiftene ved et forbruk på 1 000 kwh blir: øre 100 kwh kr000 kr0,100 kr000 kr70 kwh øre kan gjøres om til kr 0, Svaret får da den riktige benevningen kr. Svar på a): Strøm utgiftene dette året blir: kr 70 b) Sett opp en likning som viser sammenhengen mellom forbruket, antall kwh =, og strømutgiftene, antall kr i året =. Dvs. finn en formel for uttrkt ved det variable forbruket og de faste kostnadene. En slik likning finner vi ved å se på utregningen ovenfor (vi snur rekkefølgen på leddene): antall kwh = (her: 1000) antall kr i året = (her: 70) 70 0,1000 000 70 0,1000 000 Vi erstatter konstanten 70 med variabelen, og konstanten 1000 med variabelen. Variabelen kalles en avhengig variabel og for en fri variabel. Dvs. at når

49 forbruket (målt i antall kwh = ) varierer, så vil strømutgiftene (målt i antall kr i året = ) også variere. Svar: 0, som er likningen vi skulle finne. a) Vi må finne av likningen 0, 000, fltter 000 over på venstre side og skifter fortegn. - 000 000 0,, deler begge sider med 0, for å bli kvitt 0, på høre side. 000 0, 0, 0,, vi forkorter lik faktor i teller og nevner 0, på høre side. Svar: 000 0, (formel for det variable forbruket uttrkt ved strømutgiftene ). d) Utgiftene et år er = kr 10 000. For å finne forbruket, må vi erstatte i formelen med 10 000. I stedet for kan vi sette en boks. 000 0, 10 000 0, 000 10 000 000 000 0, Svar: Forbruket er 000 kwh, hvis utgiftene et år er kr 10 000. e) De samlede utgiftene z per kwh for et år, får vi ved å dele de samlede utgiftene (antall kr) med forbruket (antall kwh): 0, 000 skal altså deles med. Da får vi

0 z 0, 000 0, 000 000 0, Formelen for z blir altså Svar: z 000 0, f) De samlede utgiftene per kwh når forbruket er = 0 000 kwh, blir: -verdien skal inn i boksen under (vi har erstattet med en boks i formelen) z 0, 000 000 000 vi får at z 0, 0, 0, 0 000 0 000 Svar: de samlede utgiftene per kwh blir: 0,kr/kWh Oppgave: Løs likningen og sett prøve: 19 Fasit: ( 10) 9 4 Oppgave: Løs likningen og sett prøve: + 1 = 4. Fasit: = 1 Eksempel: Løs likningen og sett prøve. ( 4) (1 ) 1 ( ) 1 6 18

1 Vi bruker gangemetoden for å fjerne nevnerne. Vi må gange alle ledd i likningen med minste felles nevner (MFN). Denne finner vi på følgende måte: 1 6 18 MFN 6 Kommentar: Nevnerne står faktorisert på hver sin linje, slik at flest mulig like faktorer står under hverandre. Faktorene i MFN tilsvarer sølene som fremkommer (her 4 stk.). Vi må altså gange hvert ledd med 6, og ganger 6 rett inn i tellerene. ( 4) 6 (1 ) 6 16 ( ) 6 1 6 18 Siden 6: = 18, 6:1 =, 6:6 = 6 og 6:18=, får vi at ( 4 ) 18 (1 ) 16 ( ) Vi ganger tallene inn i parentesene ved å gange de med hvert av leddene inni. 18 418 (1 ) 6 Vi ganger ut og fjerner parentesen ved å skifte fortegn inni (minus foran parentesen). 6 7 6 6 10 Nå fltter vi alle -ledd over på venstre side av likhetstegnet (og skifter fortegn). Konstantene fltter vi over på høre side (og skifter fortegn). Vi får da -7 - + 10 = 6 6 + 6-6 = - Så bruker vi deleregelen og deler begge sider med (-6). ( 6) ( 1) ( 6) ( 1) 6 S var : 6

Vi setter prøve. Venstre side: 4 1 6 6 1 0,0641064 1 6 18 6 0,0641064 Begge sider ble like etter innsetting og utregning med kalkulator. Det bekrefter at vi har funnet riktig -verdi. Oppgave: Løs likningen og sett prøve. ( ) Fasit: 60 19 Opplsning: To størrelser og er proporsjonale dersom en dobling av den ene fører til en dobling av den andre, en tredobling av den ene fører til en tredobling av den andre, osv. Det er det samme som å si at forholdet mellom og er konstant. For eks. 10. Eksempel: En kilo epler koster kr 10,-. Vi kan sette opp følgende: 1kg koster kr10 kg koster kr0 (antall kg er doblet og prisen er doblet) kg koster kr0 (antall kg er tredoblet og prisen er tredoblet) 4kg koster kr40 (antall kg er firedoblet og prisen er firedoblet) osv. Vi kan finne en formel (likning) for denne proporsjonaliteten. Vi setter at = prisen for kg epler = antall kg epler

prisen for kgepler pris per kg antall epler 10 Renskriver vi dette, får vi likningen for proporsjonaliteten: 10 Hvis vi lager en tabell mellom og kan vi plotte verdiene som punkter i et koordinatsstem. 0 1 4 0 10 0 0 40 For eks. = gir at 10 10 0 (husk at en bokstav er en boks ) Se grafisk fremstilling under. Punktene (0, 0), (1, 10), (, 0), (, 0), (4, 40) er markert på grafen (den rette linjen).

4 Som vi kan se blir grafen en rett linje som går gjennom origo. Opplsning: Hvis to størrelser og er proporsjonale, vil vi kunne skrive den ene som et fast tall (konstant) multiplisert med den andre. k (k= konstant, for eks. k = 10) Og grafen til likningen (funksjonen) blir en rett linje gjennom origo (0,0). Eksempel: Strømprisen () og antall kwh (kilowatt timer) () er ikke proporsjonale, fordi strømprisen ikke bare er avhenging av antall kwh. I tillegg kommer det også en fastpris som ødelegger opplegget. Hvis pris per kwh er kr 0,8 og fastprisen en periode er kr 00, vil strømprisen kunne skrives som følgende likning: 0,8 00

Om vi dobler, så vil ikke fastprisen 00 dobles, og dermed ikke strømprisen. Grafen blir en rett linje, men den går ikke gjennom origo. Den skjærer -aksen i 00. Vi lager en tabell med tre punkter for å tegne grafen. 0 1000 000 00 100 100 Husk at vi bare er interessert i -verdier større eller lik null i dette tilfellet. Oppgave: I en opphengt fjør kan vi henge kan vi henge lodd med ulik vekt ( gram), og så måle forlengelsen av fjøra ( mm). Seks målinger er gjengitt i tabellen nedenfor. Tegn punktene i et passende koordinatsstem og avgjør om og er proporsjonale størrelser (den rette linja bør gå gjennom origo). Finn en formel (likning) hvor er uttrkt med. i gram 0 10 0 0 40 0 i mm 0 0 40 60 80 100 Fasit: og er prop.,.

6 Oppgave: Tegn de rette linjene nedenfor i et koordinatsstem. Avgjør i hvilke likninger og er proporsjonale størrelser. og Fasit: I den siste likningen er og proporsjonale. Opplsning: To størrelser og er omvendt proporsjonale dersom en dobling av den ene fører til en halvering av den andre, en tredobling av den ene fører til en tredling av den andre, osv. Det er det samme som å si at produktet av og er konstant. For eks. 000. Eksempel: En oljetank på 000 liter varer i 10 dager med et forbruk på 0 liter per dag. Med et forbruk på 40 liter per dag varer den 7 dager. Dvs en halvering av fringstiden ved en fordobling av forbruket per dag. Nedenfor er det gjengitt en tabell som viser fringstiden avhengig av forbruket per dag. Forbruk per dag i l 10 0 0 40 0 () Fringstid i dager () 00 10 100 7 60 Det er tdelig at og er omvendt proporsjonale av hverandre. Produktet av og er også konstant, dvs. 000 Hvis vi deler begge sider i likningen med får vi et utrkk for fringstiden () avhengig av forbruket per dag (). 000 Vi forkorter med på venstre side av likhetstegnet og får et uttrkk for fringstiden: 000 ( generelt har viat k, der k er en kons tant) Vi tegner grafen til funksjonen.

7 Vi er bare interessert i -verdier som er større null (dvs. grafen over -aksen som ligger i første kvadrant). Oppgave: Undersøk om følgende måleverdier av og er omvendt proporsjonale. 4 6 7 8 0,40 0, 0,7 0, 0,0 Fasit: og er omv.prop. Opplsning: Regning med prisindeks er en form for prosentregning, slik at prisene på enkeltvarer i et bestemt år blir sammenliknet med prisene i et såkalt basisår (vanligvis 1979). Prisindeksen for basisåret settes lik 100.

8 Eksempel: En vare kostet i 1979 kr 4. Den samme varen kostet i 1998 kr 19. Hva er prisindeksen for akkurat den varen i 1998? Løsning: År Pris Indeks 1979 4 100 1998 19 7,4 Forholdstallet mellom 19 og 4 (merk rekkefølgen) er lik 19,74,74 1,74 100% 7,4% 4 Prisen i 1998 er altså over to og en halv gang så hø som i 1979 (19 er 7,4% av 4). Forholdstallet mellom de tilsvarende prisindeksene er lik 7,4,74 7,4% 100 Svar: Prisindeksen for varen i 1998 er 7,4. Opplsning: Forholdet mellom prisindeksene er lik forholdet mellom prisene uansett hvilke år vi sammenlikner. Eksempel: Varen i eksempelet ovenfor hadde i 198 prisindeksen 164,8. Hva kostet den i 198? År Pris Indeks 198 164,8 1998 19 7,4 Løsning: Vi bruker opplsningen rett ovenfor. 19 164,8 7,4 eller 19 7,4 164,8 Den første likningen er lettest å løse. Vi ganger begge sider i likningen med 19.

9 Svar: Varen kostet i 198 kr 89. 164,8 19 88,99 7,4 Opplsning: Konsumprisindeksen (levekostnadsindeksen) gjelder ikke for enkeltvarer, men for et visst utvalg av ca. 770 alminnelige varer og tjenester. Konsumprisindeksen forteller oss hvor drt det er å leve sammenliknet med basisåret. Konsumprisindeksen i 1979 settes lik 100 indekspoeng. Eksempel: Hvis konsumprisindeksen er 70 indekspoeng i dag, vil prisnivået på alminnelige varer og tjenester være,7 ganger så høt som basisåret 1979. Regningen med konsumprisindeks er den samme som for prisindeksen for enkeltvarer. Opplsning: Ved å sammenlikne konsumprisindeksene for ulike år, kan vi få et mål på hvor me en krone et år er i forhold til en krone et annet år. Eksempel: Konsumprisindeksen i 1981 var 16,0 og i 1996 var den 6,. Dette betr at 16 kroner i 1981 hadde samme kjøpekraft som 6, kroner i 1996. Kroneverdien er omtrent halvert fra 1981 til 1996 (inflasjon). For å opprettholde levestandarden bør lønningene være dobbelt så store i 1996 som i 1981. Dette kan kort uttrkkes 16 kr 1981 = 6, kr 1996 Vi kan nå regne ut hvor me en 1981 krone er i 1996 kroner, eller hvor me en 1996 krone er i 1981 kroner, henholdsvis å dele begge sider med 16,0 eller 6,: 1kr 1981 6, 1kr 16 1996,09 kr 1996 1kr 1996 16 1kr 6, 1981 0,48kr 1981 Opplsning: Når vi går via 1kr slik som ovenfor, kan vi deflatere lønna (nominell lønn) vår i et bestemt år til et annet år.

60 Eksempel: Arild tjente kr 10 000 i 1981 og kr 4 000 i 1996. Konsumprisindeksen var 16 i 1981 og 6, i 1996 (se ovenfor). Finn lønningen hans uttrkt i 1981 kroner (dvs. deflatere lønningen hans til 1981). Løsning: Vi skal bruke resultatet fra forrige eksempel. Dvs. 1kr 1996 = 0,48kr 1981. 4 000kr1996 4 0001kr1996 4 0000,48kr198110 00kr1981 Som vi ser, hadde ikke levestandarden forandret seg særlig i forhold til 1981 (han tjente da kr 10 000). Opplsning: Hvis vi deflaterer lønna et bestemt år (nominell lønn) til basisåret blir den deflaterte lønna kalt reallønn. Eksempel: Hva var reallønna til Arild i 1996? Løsning: For å finne reallønna i 1996 må vi sammenlikne konsumprisindeksen i 1996 med den i basisåret 1979. Vi må finne 1996 kroner uttrkt i 1979 kroner (se ovenfor). 6,kr 1996 100kr 1979 100kr1979 1kr1996 0,798kr 6, 4 000kr1996 4 000 1kr (deler med 6, på begge sider) 1979 1996 4 000 0,798kr 1979 9 01kr 1979 Svar: Arilds reallønn i 1996 var kr 9 01 (underforstått at det er basiskroner, dvs. 1979 kroner det er snakk om). Oppgave: En vare kostet kr 0 i år 00. Hvor me kostet den i år 00, når indeksene er som i tabellen under? Opplsning: 1kr for et år uttrkt i 1979 kroner kalles kroneverdien i det året. For eksempel var kroneverdien i 1996 lik 0,798 kr 1979 (se eksempel ovenfor). Fasit: kr 414 År Pris Indeks 00 0 17,4 00 07, Oppgave: Hans tjente kr 17 000 i 1990. Konsumprisindeksen i 1990 var 1,. Hva var reallønna til Hans. Fasit: Reallønna til Hans er kr 616 (1979 kroner).