UNIVERSITETET I OSLO Det matematik-naturvitenkapelige fakultet Ekamen i: Oppgaveettet er på: Vedlegg: Tilatte hjelpemidler Fy60 4 ider ingen Elektronik kalkulator, godkjent for videregående kole Rottman: Matematik formelamling Øgrim og Lian: Fyike tørreler og enheter To A4 ark med notater arkene kan bekrive på begge ider Kontroller at oppgaveettet er komplett før du begynner å bevare oppgavene. Du må i oppgavene begrunne dine var. Oppgave Vi kal i denne oppgaven tudere overflatevekt av atomer av en betemt type. Vi er på et ytem med temperatur T, volum V og kjemik potenial µ for atomene. Når det er N atomer i ytemet kan du tenke deg at det danner en øyle med høyde h = bn, hvor b er en typik tørrele lengde for et atom. Du kan anta at for N atomer er det kun en mulig tiltand for ytemet og at denne tiltanden har energien Nɛ, dv. at det er en energi ɛ aoiert med bindingen av hvert enkelt atom til overflaten eller til andre atomer. Du kan i denne oppgaven få bruk for ummene: x i = x og ix i x = x. i=0 i=0 a Vi at Gibb um, T, V, µ for dette ytemet er = e µ ɛ/kt For dette ytemet er Gibb um gitt om = N hvor ɛ = Nɛ og Det gir e Nµ ɛs/kt = e Nµ ɛ/kt = q N = q, 3 q = e µ ɛ/kt. 4 = e µ ɛ/kt 5 b Finn midlere antall atomer N i ytemet.
Vi finner N fra N = N = N enµ ɛ/kt = Nq N = Ne Nµ ɛ/kt 6 q q q = q q = eµ ɛ/kt e µ ɛ/kt = e ɛ µ/kt. 8 Vi kjenner dette igjen om Boe-Eintein fordelingfunkjonen. c Finn midlere energi E for ytemet. 7 Vi kan finne denne på flere måter. Vi kan direkte e at E = ɛn, og dermed er E = ɛ N. Dette fremkommer ogå om vi prøver å regne ut E direkte: E = N ɛ e Nµ ɛ/kt = N ɛn e Nµ ɛ/kt = ɛ N. 9 d Vi antar at en overflate betår av mange like øyler etter hverandre. Hvordan kan vi finne bredden av en lik overflate, målt om tandardavviket til høyden? Du kal kun finne et uttrykk for hvordan vi kan finne bredden, du behøver ikke å regne den ut. Vi finner bredden om tandard avviket av høyden w = h h = h h hvor h = Nb. Det gir w = N N b e Nµ ɛ/kt b N. 0 Z g Oppgave Vi kal i denne oppgaven tudere faelikevekt mellom en væke og et fat toff. Ført utvikler vi en modell for en ideell væke baert på en ideell ga. For en partikkel i en tre-dimenjonal bok er energitiltandene gitt om ɛn x, n y, n z = h n ml x + n y + n z = an, hvor a = h /ml, L er tørrelen på boken, m er maen til partiklene, og n k = 0,,,... angir tiltanden på vanlig måte for k = x, y, z. a Vi at partijonfunkjonen for en partikkel i en bok V = L 3 er Z = n Q T V, hvor n Q T = πmkt/h 3/. Vi finner partijonfunkjonen ved å ummere over alle mulige tiltander, dv.
over alle mulige verdier av n x, n y, n z : Z = e an /kt = e an /kt dn x dn y dn z = n e an x /kt dn x 3 = z 3. Vi kriver dette integralet om ved å innføre u = n x a/kt /, lik at z = e u a/kt / du = a/kt / e u du = π/ a/kt, 3 hvor vi har funnet integralet fra en formelamling. Vi etter inn og finner Z = z 3 = πmkt/h 3/. b Vi at Helmholtz frie energi for gaen med N partikler er F g = NkT [ln n Q /n + ], 4 hvor n = N/V. Hint: Bruk Stirling formel lnx! = xlnx x. Vi finner Helmholtz frie energi fra F = kt ln Z N = kt lnz N /N!, hvor vi etter inn uttrykket for Z og bruker Stirling tilnærming til fakultetetfunkjonen: F g = kt ln Z N ln N + N = NkT lnn Q V ln N + = NkT lnn Q /n +. 5 Vi kal lage en modell for en væke baert på modellen for en ideell ga. I væken er den en tiltrekkende kraft mellom alle partikler, lik at alle partiklene har en poteniell energi bindingenergi ɛ v hvor ɛ v > 0. Deuten har hver partikkel i væken et volum v v, lik at volumet til væken er V v = N v v v. Helmholtz frie energi for væken er: [ ] F v T, V v, N v = N v kt ln n Q T v v e ɛv/kt +. 6 c Finn Gibb frie energi, GT, p, N v, for væken. G v T, p, N v = N v kt [ ] ln n Q T v v e ɛv/kt + + pn v v v. 7 d Finn det kjemike potenialet, µ v p, T, til væken. Gv µ v = N v T,p = kt [ln n Q T v v + ] ɛ v + pv v. 8 Vi ønker å bruke en Eintein-krytall om modell for det fate toffet. Du kan anta at hver partikkel i krytallen opptar et volum, v, lik at volumet til krytallen er V = N v. 3
e Vi at partijonfunkjonen for en enkelt harmomik ocillator med energinivåer ɛ i = i ɛ er Z = e ɛ/kt. 9 Vi finner partijonfunkjonen ved å ummere over alle mulige energitiltander: Z = e ɛn/kt = q n = q =. 0 e ɛ/kt n=0 n=0 f Vi at Helmholtz frie energi for en krytall med N partikler er F T, V, N = 3N kt ln e ɛ/kt N ɛ, hvor ɛ er bindingenergien for en enkelt partikkel. For et ytem med N adkillbare partikler lik det er i en krytall er partijonfunkjonen Z N til N partikler gitt om Z N = Z N. Men for hver partikkel er det tre ocillatorer, lik at partijonfunkjonen varer til Z 3N. Dermed er Helmholtz frie energi: F = kt ln Z = 3NkT ln Z = 3NkT ln e ɛ/kt. Vi må deuten ta henyn til bindingenergien, om er ɛ for hver partikkel, tilammen N ɛ : F = 3N kt ln e ɛ/kt N ɛ. 3 g Finn Gibb frie energi for krytallen. Vi finner Gibb frie energi fra G = F + pv lik at G = F + pv = F + pn v = 3N kt ln e ɛ/kt N ɛ + pn v, 4 hvor V = N S v. h Finn det kjemike potenialet for krytallen. Vi finner det kjemike potenialet ved G µ = = 3kT ln e ɛ/kt ɛ + pv. 5 N T,p i Vi at damptrykket, p, for likevekt mellom væke og fat toff i modellene er gitt om p v v v = 3kT ln e ɛ/kt +kt [ln n Q v v + ] ɛ ɛ v. 6 4
Når væke og fat toff er i likevekt må det kjemike potenialet være det amme i de to faene. Det gir at: µ v = kt [ln n Q T v v + ] ɛ v +pv v = µ = 3kT ln e ɛ/kt ɛ +pv, 7 pv v v = kt ln e ɛ/kt + kt [ln n Q T v v + ] + ɛ v ɛ, 8 j Bruk Clauiu-Clapeyron likning til å vie at fordampningvarmen per partikkel, l = L/N, for høye temperaturer i denne modellen er l p v v v + ɛ ɛ v 3 kt, 9 og kommenter reultatet. Du kan her få bruk for at xe x / e x når x 0. Clauiu-Clapeyron likning gir at Vi finner v v v dp/dt : dp dt = v vt dp dt = l, 30 v v v dp dt = 3k ln e ɛ/kt + 3kT ɛ/kt e ɛ/kt e ɛ/kt = T pv v v ɛ v ɛ 3kT xe x e x + 3 kt + k [ln n Q T v v + ] + kt 3 T 3 3 om gir at l = p v v v ɛ v ɛ 3 kt. 33 Oppgave 3 Vi kal i denne oppgaven tudere et ytem med to-dimenjonale pinn i det kanonike ytemet, det vil i i et ytem med gitt T, V, N. Ett enkelt pinn kan være i fire mulige tiltander angitt ved en enhetvektor S, om kan peke i poitiv x-retning S =, 0, i negativ x-retning S =, 0, i poitiv y- retning S = 0,, eller i negativ y-retning S = 0,. Spinnet vekelvirker med et ytre magnetfelt B = B 0 0,. Energien til pinnet er ɛ S = m B S, hvor m er en kontant. a Finn partijonfunkjonen til et ytem med ett enkelt pinn. Vi finner partijonfunkjonen ved å ummere over alle tiltandene. Tiltandene er S =, 0, S =, 0, S 3 = 0,, og S 4 = 0,. De repektive 5
energiene er E = S B = 0, E = 0, E 3 = mb 0, og E 4 = mb 0. Partijonfunkjonen er da Z = e 0 +e 0 +e mb0/kt +e mb0/kt = + coh mb 0 /kt = + coh mb 0 /kt. 34 b Finn partijonfunkjonen til et ytem med N pinn om ikke vekelvirker. For et ytem med N pinn om ikke vekelvirker og om er adkillbare er partijonfunkjonen: Z N = Z N = + coh mb 0 /kt N. 35 c Vi at Helmholtz frie energi for et ytem med N pinn er F T, V, N = NkT ln + coh mb 0 kt. 36 Helmholtz frie energi er F = kt ln Z N om er F = kt ln Z N = NkT ln + coh mb 0 /kt. 37 d Finn entropien ST, V, N til et ytem med N uavhengige pinn. Vi finner S fra F S = T V,N = Nk ln + coh mb 0 /kt NkT inh mb 0/kT mb 0 /kt + coh mb 0 /kt 38 Vi ønker nå å lage et program om imulerer et likt ytem med N pinn. e Skier en funkjon m = pinnyteml om returnerer en tiltand m med N tilfeldige pinn S. f Skier en funkjon e = energym om returnerer energien til en tiltand m og forklar hvordan vi kan bruke denne til å etimere partijonfunkjonen og energien til ytemet i likevekt. g Forklar hvordan metoden vil endre eg hvi vi ogå innfører en vekelvirkning mellom pinnene lik at energien til pinn i ogå er avhengig av energien til pinn i og i + : ɛ i = m S i B i J S i S i J S i S i+, 39 hvor J er en kontant om er oppgitt. 6
Oppgave 4 Vi kal i denne oppgaven tudere en modell for en ga-turbin. Denne modellen kalle en Brayton makin. En ideell Brayton yklu betår av fire delproeer med en ideell ga om medium: En ientrop komprejon. Luft trekke inn i kompreorene og trykke ammen. 3 En iobar ekpanjon. Den komprimerte luften trømmer gjennom forbrenningkammeret, hvor ga brenne og varmer opp luften. Dette er en profe ved kontant trykk. 3 4 En ientrop ekpanjon. Den oppvarmede luften ekpanderer gjennom en turbin. 4 En iobar komprejon. Varmen lippe ut til atmofæren. Ført kal vi e på noen egenkaper til en ideell ga. Entropien til en ideell monatomik ga er gitt av Sackur-Tetrode likning: [ ] 3/ V 4πmE SE, V, N = Nk ln N 3Nh + 5. 40 a Utled adiabatlikningen pv 5/3 = cont.. b Skier en ideell Brayton makin i et p-v -diagram. Marker punktene til 4 fra bekrivelen ovenfor. c Finn arbeidet W,3 uttrykt ved p, V, og V 3, hvor V i er volumet i punkt i og p i er trykket i punkt i. d Finn varmen Q,3 uttrykt ved p i og V i. 7