To likninger med to ukjente

To likninger med to ukjente 1. En skisse av undervisningsopplegget Mål Målet er at elevene skal lære seg addisjonsmetoden til å løse lineære likningssett med to ukjente. I stedet for å få metoden forklart skal elevene utforske en GeoGebra modell. Modellen gir forhåpentligvis tilstrekkelige antydninger til hvordan det kan gjøres, men elevene må finne ut metoden selv. Kort fortalt har GeoGebra modellen følgende egenskaper: Programmet kan generere nye likningssett basert på tilfeldige tall. Ved hjelp av to glidere kan likningene multipliseres med valgfrie positive eller negative tall De modifiserte likningene blir automatisk lagt sammen til én likning. Dersom elevene klarer å se løsningen ved å eliminere en av de ukjente, kan de skrive inn svaret og få tilbakemelding hvorvidt det er riktig eller galt. Utskrift av skjermbilder fra bruk av GeoGebra modellen finnes i vedlegget. Forankring i læreplanen Addisjonsmetoden er relevant i 1T, S1 og S2 hvor vi finner følgende kompetansemål: 1T - Tal og algebra omforme uttrykk og løyse likningar, ulikskapar og likningssystem av første og andre grad og enkle likningar med eksponential- og logaritmefunksjonar, både ved rekning og med digitale verktøy S1 Algebra løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad, både ved regning og med digitale hjelpemidler S1 -Lineær optimering løse lineære optimeringsproblemer grafisk, ved regning og med digitale hjelpemidler S2 Algebra modellere praktiske problemer ved hjelp av lineære likningssystemer med flere ukjente, og løse dem med og uten digitale hjelpemidler Pedagogisk opplegg Utgangspunktet er at elevene har lært grafisk løsning av to likninger med to ukjente. De får så beskjed om at det finnes flere måter å finne løsningen ved regning, og at de skal få utforske en modell for å se om de klarer å komme fram til en metode på egen hånd. Læreren viser dem lenken til modellen uten å forklare for mye av hvordan den virker. Det kan de finne ut selv. Rent konkret får de som hjemmearbeid: Utforsk modellen og se om du kan finne en metode for å løse lineære likningssett med to ukjente ved regning. Forbered deg på å presentere det du finner ut til en medelev i neste matematikktime 29.11.13 Ola Lie Side 1 av 5

Bruk det du har funnet ut til å løse likningssettet 4x+4y=-4 og 2x-2y=10 ved regning Forbered deg på å overbevise en medelev om at løsningen er riktig. I neste matematikktime går læreren går rundt blant elevene for å fange opp noe av hva de forteller hverandre. Etterpå diskuteres løsningsmetoder i plenum. Et tema kan være hvordan vi finner verdien til den andre ukjente når vi har funnet verdien til den første. Noen finner kanskje y på samme måte som x i stedet for å sette inn i en av likningene. Er det greit? Før læreren oppsummerer, får han tilbakemelding fra elevene om hva de synes om denne måten å lære seg matematikk. Elevene kan nå lage oppgaver til hverandre. Ikke talloppgaver, men tekstoppgaver fra dagliglivet. Etter hvert introduserer læreren oppgaver hvor det inngår likningssett med ingen eller mange løsninger, eksempelvis 2x y = 1 og 6x + 3y = 3 eller x 2y = 3 og 2x + 4y = 6. Hvordan blir dette grafisk? Hva skjer når vi bruker addisjonsmetoden? En ny oppsummering kan være på sin plass etter dette. 2. Refleksjon Hvilket utbytte kan elevene få fra å jobbe på denne måten sammenlignet med tradisjonell gjennomgang? Jeg velger å definere tradisjonell gjennomgang som at læreren gjennomgår nytt stoff på tavla. Etterpå får elevene regne oppgaver hvor de anvender hva læreren har gjennomgått. Hva er viktigst: huske eller forstå? Tradisjonelt skal elevene huske en framgangsmåte som de senere skal anvende når de løser oppgaver. Dersom de ikke husker hele metoden riktig steg for steg, blir det som oftest feil, og de har ikke lært stort. Her får elevene utforske og selv innse hvordan det kan gjøres uten å få det forklart. Det gir forståelse, selvtillit og de lærer bedre (se siste avsnitt). En utforskende tilnærming stimulerer nysgjerrigheten og øker motivasjonen for matematikk. Elevene får erkjenne at matematikkoppgaver kan på løses forskjellige måter. Det øker matematisk forståelse av begreper, ferdigheter og strategier knyttet til oppgaveløsning. Når elevene lager tekstoppgaver til hverandre, får de anledning til å bruke sin kreativitet. Det er en åpen oppgave som ikke låser tankemåten og bidrar til å gjøre matematikk mer spennende enn å pugge prosedyrer. Opplegget er differensiert fordi elevene ikke har tidspress på seg. De kan sitte hjemme i ro og mak og bruke den tiden de trenger. Tidspress kan skape engstelse og hemme måloppnåelse selv om eleven er god i matematikk. Det er ingen presis relasjon mellom hurtighet og intelligens. Den franske matematikeren og professoren Laurent Schwartz, som fikk Fields-medaljen i 1950, følte seg dum på skolen fordi han var tregest i matematikk i sin klasse. Integrert i kompetansemålene finner vi de grunnleggende ferdighetene hvor elevene blant annet skal kunne uttrykke seg muntlig i matematikk. Her får de øve seg på å overbevise andre om at deres løsning er riktig. Å kunne vinne fram med sine synspunkter vil elevene få nytte av også senere i livet. 29.11.13 Ola Lie Side 2 av 5

Her jobber elevene sammen i par. Samarbeid er sentralt i det sosiale livet og på arbeidsplassen. Matematikk er intet unntak. Noen liker å lære alene, men da går de glipp av å lære hvordan andre tenker annerledes og benytter andre strategier og løsningsmetoder. Når elevene skal forklare for hverandre hva de har funnet ut, oppnår vi elevaktivisering og de lærer bedre. Den amerikanske psykiateren William Glasser fant ut at vi lærer 10 % av det vi leser 20 % av det vi hører 30 % av det vi ser 50 % av det vi både ser og hører 70 % av det vi diskuterer med andre 80 % av personlig erfarer 95 % av det vi lærer bort til noen andre 3. Vedlegg Eleven får presentert en webside med GeoGebra modellen: 29.11.13 Ola Lie Side 3 av 5

De kan nå utforske forskjellige "produktsummer" ved å dra i gliderne: Forhåpentligvis kommer de fram til en strategi hvor får fram til en likning med én ukjent så de kan enkelt se hva løsningen er. Når eleven skriver inn løsningen i tekstboksen og klikker Sjekk svar knappen, må verdiene for både x og y være riktige. Her får de galt svar fordi det bare er riktig verdi for y: 29.11.13 Ola Lie Side 4 av 5

Her er verdiene for både x og y riktige: Eleven kan så prøve seg på en ny oppgave ved å klikke knappen Nye tall. Kanskje snubler de over et likningssett som nedenfor og får et hint på veien: 29.11.13 Ola Lie Side 5 av 5