Innhold Hva kjennetegner åpne og rike oppgaver? Hvorfor skal vi bruke tid på slike oppgaver? 25-Apr-12 Det er ikke den kunnskapen du fær, men den du sjøl finn, som du kan bruka (A.O. Vinje, 1869) Hva kjennetegner åpne og rike oppgaver? Hedrèn, Taflin og Hagland oppgir syv kriterier for slike oppgaver, de skal: 1. - introdusere viktige matematiske ideer og løsningsstrategier. 2. - ha lav inngangsterskel, slik at alle har mulighet til å komme i gang. 3. - oppleves som utfordrende, kreve arbeidsinnsats over tid. 4. - kunne løses på ulike måter, med ulike strategier og ulike representasjoner. 5. - initiere matematisk diskusjon ut fra elevenes løsningsforslag. Diskusjonen skal løfte frem ulike løsninger, representasjoner og matematiske ideer. 6. - fungere som brobygger mellom matematiske emner. 7. - kunne føre til at elevene sammen med lærer kan formulere nye interessante problem. Verdien av problemløsning og åpne oppgaver Matematikkundervisning ved hjelp av problemløsning innebærer at elevene konstruerer matematiske begrep og utvikler ferdigheter. Det utfordrer elevene til å utforske og undersøke mønster og ikke minst til å tenke kritisk. For å løse problemer må elevene observere, kommunisere, se sammenhenger, stille spørsmål, resonnere og konkludere. Suksessen med problemløsning settes i sammenheng med elevenes disposisjoner eller måter å angripe problemene på og ikke minst være bevisst sin egen tenkning; metakognisjon. En utfordring! Bruk alle sifrene fra 1 til 9. Skriv et siffer i hver sirkel slik at summen blir riktig. + = 1
Hvorfor så mange reaksjoner? Det å undersøke er motiverende! Indre motivasjon er i stor grad knyttet til to aspekter. Elever synes en aktivitet er motiverende hvis 1. Den er kognitivt stimulerende Utfordrer, er underlig, fantasifull 2. Den gir rom for en viss personlig kontroll Valgfrihet, innflytelse Hvorfor mange sinte og fortvilte? Andre er motivert av ytre faktorer Konkurranse, anerkjennelse Best i klassen, først ferdig Trygghet Undervisningen er rituell: Lærer viser metoden for hvordan oppgavene skal løses, så kommer en lang rekke så å si likelydende oppgaver hvor metoden skal brukes. (Middleton, Littlefield & Lehrer, 1992) Hvorfor så vanskelig? Det å vektlegge undersøkelser bryter med en tradisjonell matematikkundervisning: Tradisjonell Undersøkende Hva er læring? Formidling Egenkonstruksjon En god lærer Forklarer Inspirerer Hva skal læres? Ferdigheter Forståelse, dybde Hva skal gjøres? Pensum, lærebøker Aktiviteter, problemer Hvem styrer? Læreren Spredt: Lærer, elev Organisering Individuelt Gruppe Den norske virkeligheten PISA-undersøkelsen 2000 viste følgende for norske 8. klassinger: 40 % av elevene sier de er plaget av bråk og uro i de fleste timene. 24 % hører ikke etter på hva læreren sier. 42 % svarer at læreren må vente på at elevene roer seg ned i de fleste eller alle timene. 57 % sier at det bråk og uro fører til at det går mer enn fem minutter uten at noe blir gjort. Fornuftige konsekvenser: Fornuftige konsekvenser: Ettergivenhet Hvis læreren unnlater å ta opp vanskelig stoff, vil det hindre forstyrrelser fra elever som ikke forstår stoffet med en gang eller ikke er interessert i å gjøre en innsats. (Dale & Wærness, 2003) Stille små krav Det lærere ofte gjør i klasser [der de møter motstand], er at de inngår noen former for kompromisser der de lar være å utfordre disse elevene for mye og venter til gjengjeld at de ikke lager for mange vanskeligheter for normal undervisning. (Monsen, 1997) 2 + 2 =? 2
En stimulerende klasseromskultur Det er store forskjeller i hva som skjer i ulike matematikkklasserom Hvor aktive er elevene? Hvilke samtaler finner sted, elev-elev, lærer-elev? Konstruktive diskusjoner L: Hvordan fant du omkretsen av rektangelet? E: Jeg la sammen de to lengste sidene og så la jeg sammen de to korteste sidene. Og så la jeg sammen alt det og fikk 24 cm. L: Veldig bra! Alt som skjer styres av sosiale normer Bevisst eller ubevisst Hvordan avhenger elevenes læringsutbytte av disse normene? Konstruktive diskusjoner? Dette dialogmønsteret kalles I-R-E Lærerens initiativ Elevens respons Lærerens evaluering Gir elevene små muligheter til å bidra Alternativer: Stimuler og utnytt elevenes initiativ: Hva tenker du på? Ikke la din evaluering (alltid) være konklusjonen De gode spørsmålene Hvordan kom du på det? Kan du gjøre det på noen annen måte? På hvilken måte er de metodene like eller ulike? Hva skjer hvis jeg endrer det her? Hva gjør du nå? Ser du noe mønster i det du har gjort? Kan du finne på en ny, tilsvarende oppgave? (Clarke & Clarke, 2002) Hvordan få elevene til å delta? Ulike undervisningspraksiser Faglig fokus støtter elevenes tenkning. Det å dra dem gjennom pensum er noe annet! Lær elevene å argumentere. Lær dem at det ikke er farlig å spørre eller å svare. Bruk krevende oppgaver. Be elevene lage oppgaver og stille spørsmål. Verdsett elevenes bidrag. Gjenta elevenes utsagn, ev. omformuler, utdyp. Tradisjonell: Reproduktiv praksis Befester kunnskap Fokuserer på å huske og automatisere Innhold og form bestemt av lærer, lærebok og/eller aktiviteten Oppgaver og svar ofte gitt på forhånd Undersøkende: Produktiv praksis Innebærer utvikling av ny kunnskap, læring av noe nytt Utforskende og problemorientert Krever mer initiativ fra elevene Flere mulige veier og ofte flere mulige svar 3
Hva sier Kunnskapsløftet? Det er en del av den matematiske kompetansen å kunne kommunisere i og med matematikk. Det står at elevene skal lære: - å gjøre antagelser, stille spørsmål, argumentere og forklare en tankegang ved hjelp av matematikk. - Det innebærer videre å delta i samtaler, kommunisere ideer, drøfte problemer og løsningsstrategier med andre. - De skal beskrive en tankegang og sette ord på oppdagelser og ideer. - Det er vanskelig å se hvordan denne kompetansen skal stimuleres og utvikles hvis elevene for det mest sitter alene og arbeider i bøkene sine. God undersøkende matematikkundervisning Læreren har en helt sentral rolle: Introduksjon Sikre at alle elevene forstår aktiviteten, problemet. Legge til rette for arbeid med flere uttrykksformer. Underveis Legge opp til undersøkende virksomhet, dialog og diskusjoner. Skape en trygg atmosfære hvor elevene tør vise både det de vet og det de ikke vet. Variere mellom å presse i en retning og å la elevene selv finne ut. Oppsummering Framheve og stimulere fagligheten. Prøve å skape relasjoner mellom ulike begreper og ulike måter å tenke på. Eksempel åpen oppgave Herbert er overlykkelig fordi han har vunnet 10 millioner kroner. I banken ber Herbert om at pengene blir utbetalt i 50-kroner sedler. Klasse arbeider med åpen oppgave www.skoleipraksis.no Klarer han å bære med seg pengene hjem? Å gjøre lukket åpen Åpne oppgaver Emma tjener 80 kr i timen. Hva har hun tjent om hun arbeider i 5 timer? Hvordan åpne oppgaven? Eks Emma tjente 400 kr. Hvor mange timer arbeidet hun og hva tjente hun per time? Herr Morken fikk 3 bøter for trafikkforseelser på ett år. Hva kan han ha gjort og hvor mye fikk han i bot til sammen? Herr Morken fikk i løpet av et år trafikkbøter for kr 10 500 kr. Hva kan han ha gjort? Hjelpemiddel: Oversikt over trafikkbøter. 4
Godteri 32 godteribiter koster 10 kr. Hvor mange biter får du for 25 kr? Åpne oppgaver ved å starte med svaret Omkretsen er 24cm. Tegn en figur som har en slik omkrets. Kan du tegne flere? Hvilken av disse har størst areal (dekker flest ruter)? Du har 14 kr igjen etter handleturen. Hva har du kjøpt? Du har 14 kr mer enn Kari. Hvor mange penger har hver av dere? Åpne oppgaver Du har 14 gjerdebiter, hver på 1 m. Tegn ulike områder du kan gjerde inn med disse. Beskriv. Utvidelse: Regn ut areal. Hvilken figur har størst areal? Ekstra støtte i materiell. Kilde: Lisbet Karlsen Regning i andre fag; Bronsealderen Eksempel på åpne oppgaver i tilknytning til arbeid med bronsealderen: Familier i bronsealderbyen: I byen bodde det 40 personer. - Hvor mange familier fantes det, og hvor mange personer var det i hver familie? - Hvor mange menn, kvinner og barn fantes i hver familie? - Hvor mange fantes i hele byen? - Velg ut en familie der medlemmene til sammen er 100 år. Bestem alderen på hver person i familien. Eksempel: Bronsealderen Smeden i byen smeltet kopper og tinn til 15 kg bronse. Hvor mange økser kunne han laga av det? Hver familie bodde i et hus som var 40 m rundt hele (omkretsen). Hvor lang var hver side? De hadde også et mindre hus på gården der alle sidene var like lange. Hvor lang var hver side? Hvor stor var omkretsen? I bronsealderen var det varmere i Norden enn det er nå, kanskje 10 grader varmere. Hvor varmt var det hos menneskene i byen når det var høst, vinter, vår og sommer? Eksempel: Bronsealderen Kvinnene i byen hadde vevd 25 m stoff. Hvor mange kjoler, skjorter og kapper kunne de sy av det? Hvor mange kunne de sy om det gikk med 4 m til hver kjole, 2 m til hver skjorte og 3 m til hver kappe? I byen var det geiter, kyr og sauer. En natt kom det tyver til byen. De stjal mange av husdyrene. Om morgen var det bare igjen 3 geiter, 7 kyr og 15 sauer. Hvor mange dyr av hver sort hadde tyvene tatt? Hvor mange var det i byen dagen før? En dag hadde noen av mennene i landsbyen vært ute og fisket. De hadde fått nok fisk slik at alle i landsbyen ble akkurat mette. Hvor mange fisker hadde de fått? Hvor mange kilo fisk ble det? 5
Luksusfellen Figurtall 25-Apr-12 32 Figurtall Å beskrive mønstre med symboler Figur nr 1 Figur nr 2 Figur nr 3 Figur nr 4 Antall brikker 8 25 52 89 Øker med 17 27 37 Øker med +10 +10 +10 Hvor mange fyrstikker går det med til å lage figur 4, 5 og 6? Tegn en skisse. Lag tabell. Hvilken regel med tall og bokstaver passer til disse figurene? 3 n 2 n +1 3 + n 2 25-Apr-12 33 Lag figurene 4 n 2 eller 2n + 3 La elevene utforske Appelsinjuice-oppgave Hvis appelsinjuice-konsentratet er av samme styrke, hvilke oppskrift vil dere anta har den sterkeste appelsinsmaken? 6
La elevene utforske Frihetsgudinnen i New York Armen til frihetsgudinnen er 13 meter. Hvor lang er nesen hennes? Menneskets proporsjoner Hvis kroppen måles fra fot til isse, er den like lang som fra fingerspiss til fingerspiss. Når en mann står slik som på figuren til Leonardo, ser vi han er innskrevet i kvadratet. Leonardo delte i over- og underkropp med en vannrett linje gjennom navlen. Han påstod at da forholdet mellom totalhøyde og lengden av underkroppen, ville være lik forholdet mellom lengden av underkroppen og overkroppen: Totalhøyde = lengda av underkroppen = 1,6180 Lengda av underkroppen lengda av overkroppen 25-Apr-12 38 Forhold i ulike sammenhenger Hvilke mål ville en dukke hatt om den var så stor som oss? Hvor realistiske er dukker? Dukkers kroppsform 1. Mål lengden til dukken og finn forholdet mellom dukkens lengde og din. Om dukken er 25 cm og du er 175 cm, er forholdet 25:175 = 1:7 2. Mål ulike kroppsdeler på dukken. Finn ut hvor store de ville vært om dukken hadde vært like høy som deg! Kroppsdel Dukkens mål Mål i virkeligheten Hode 7,2 cm 50,4 cm Øye 7