Eksamen 1T høsten 015 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 1,8 10 0,0005 = 1,8 10 5,0 10 = 9,0 10 1 1 4 8 Oppgave Vi bruker innsettingsmetoden. I x+ 3y = 13 II 4x y = II y = x 1 I x+ 3( x 1) = 13 I x+ 6x 3 = 13 I 8x = 16 II x = I y = 1 I y = 3 Vi finner at x = og y = 3. Oppgave 3 x + x< 6 0 xx ( 3) < 0 For å finne ut hvilke verdier av x som gjør at uttrykket blir positivt, tegner vi fortegnsskjema. Av fortegnslinja for uttrykket på venstre side ser vi at L =,0 3,. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 17
Oppgave 4 3 3 8 3 3 1 1 3 18 18 1 3 3 3 ( ) + 8 = + = + 64 = + = = 3 Oppgave 5 Nullpunktmetoden forteller oss at venstresiden i andregradslikningen kan faktoriseres slik: ( x+ 4)( x ) Det gir ( x+ 4)( x ) = x + 4x x 8 = x + x 8 = x + bx+ c Da ser vi at b= og c = 8. Oppgave 6 x+ 1 x 3 1 + x 1 x Fellesnevneren er ( x 1). Det gir x+ 1 x 3 1 ( x+ 1) x 3 1( x 1) + = + x 1 x ( x 1) ( x 1) ( x 1) x+ x+ 3+ x 1 = ( x 1) x + 4 = ( x 1) ( x + ) = ( x 1) x + = x 1 Oppgave 7 x 4xy + 4y 3xy 6y Vi bruker andre kvadratsetning for å faktorisere telleren. Det gir ( ) x y x y = 3 yx ( y) 3y Aschehoug www.lokus.no Side av 17
Oppgave 8 4x x 3 = 4x + x 5 = Det gir x x + 4x= 5 + 4x 5= 0 Vi bruker abc-formelen. ± x = 1 4 4 4 1 ( 5) 4 ± 36 x = 4± 6 x = x = 5 x = 1 Oppgave 9 Siden A 90 og B 45 = =, blir C = 45. Det viser at ABC er likebeint der AB = AC. Vi setter AB = AC = x og bruker pytagorassetningen. Det gir x + x = x x = ( ) = 1 x = ± 1 Vi kan bare bruke den positive løsningen. Det gir at AB = AC = 1. Arealet av ABC blir da AB AC 11 1 A = = = Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 17
Oppgave 10 f( x) = x x a x x = 0 ± x = 1 ( 1) ( 1) 4 1 ( ) 1± 9 x = 1± 3 x = x= 1 x= f har nullpunkter x = 1 og i x =. b f ( x) = x 1 x 1= 0 x = 1 1 x = Funksjonen synker i intervallet Grafen har derfor bunnpunkt for 1, og vokser i intervallet 1 x =. 1 1 1 1 1 1 8 9 f = = = = 4 4 4 1 9 Bunnpunkt:, 4 1,. c f () = = 0 Tangeringspunktet er (,0 ) og svarer til punktet (, ) f () = 1 = 3 Likningen for tangenten er da y 0 = 3( x ) y = 3x 6 x y i ettpunktsformelen. 1 1 Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 17
d Parallelle linjer har samme stigningstall. Linja l har da stigningstallet 3. e Likningen for linja l er da y 7 = 3( x 3) y = 3x 9+ 7 y = 3x Vi finner skjæringspunktene mellom linja l og grafen til f ved å sette opp x x x = 3 x 4x= 0 xx ( 4) = 0 x= 0 x 4= 0 x= 0 x= 4 Vi finner y -koordinatene slik: f f (0) = 0 0 = (4) = 4 4 = 10 Skjæringspunktene er (0, ) og (4, 10). Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 17
Oppgave 11 Arealet av et trapes er gitt ved A = ( a+ b) h Siden trapesene er formlike, må de parallelle sidene i det største trapeset ha lengdene 3a og 3b. Da regner vi ut arealet av det største trapeset slik: (3a+ 3 b) 3h 3( a+ b) 3h 3 3( a+ b) h = = = 9A Oppgave 1 a Smittet Ikke smittet Sum Tester positivt 58 10 68 Tester ikke positivt 90 9 Sum 60 300 360 58 9 P = = 60 30 10 5 P ikke smittet tester positivt = = 68 34 b ( tester positivt smittet) c ( ) Oppgave 13 5 Siden B= 90 og tan A=, kan vi tenke oss en trekant der AB = 1 og BC = 5. 1 Vi bruker pytagorassetningen for å beregne AC. Det gir AC = AB + BC AC AC = 1 + 5 = 169 AC = 13 Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 17
Det gir 5 cos C =. 13 Oppgave 14 h sin A = BC 3 h = BC sin A = 0 = 1 5 Vi bruker pytagorassetningen for å beregne BD. Det gir BD h BC BD + = > 0 BD BD = 0 1 = 56 BD = 56 = 16 Vi bruker pytagorassetningen for å beregne AD. Det gir Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 17
AD h AC AD + = > 0 AD AD = 13 1 = 5 AD = 5 = 5 Da er AB = 5 + 16 = 1. Arealet av trekant ABC blir da AB h 1 1 = = 16 Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 17
0B0B0BDEL Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 a I GeoGebra åpner vi regnearket. Vi legger inn antall år etter år 000 i kolonne A og antall elbiler i kolonne B. Antall år etter år 000, x 0 1 3 4 5 6 7 Antall elbiler 383 607 83 1081 1193 135 1667 1905 Vi merker cellene og velger regresjonsanalyse. Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 17
Vi klikker på analyser. I rullegardinmenyen velger vi Lineær. Den lineære funksjonen som passer best, er gitt ved f( x) = 10x+ 393 b f (8) = 10 8 + 393 = 073 f (1) = 10 1 + 393 = 913 f (14) = 10 14 + 393 = 3333 Den lineære funksjonen i oppgave a passer dårlig med disse verdiene. Veksten i antall elbiler har økt betydelig i årene etter 007. Økningen er spesielt stor fra 01. Aschehoug www.lokus.no Side 10 av 17
Oppgave Siden hver av de tre blå trekantene har like stort areal, kan vi sette opp 6 x (6 x )(6 x ) = Vi løser likningen med CAS. Siden x < 6, blir x = 9 3 5 Arealet av de tre blå trekantene blir da ( ) 6 9 3 5 3 = 9 ( 9 3 5 ) = 81 7 5 Arealet av den hvite trekanten blir da 36 ( 81 7 5) = 7 5 45 Aschehoug www.lokus.no Side 11 av 17
Oppgave 3 a Vi skriver inn funksjonen f( x) = x x i kommandolinja i GeoGebra og får opp grafen til funksjonen i grafikkfeltet. Vi tegner en rett linje som går gjennom punktene ( 1, f(1) ) og ( 3, f (3)), og en rett linje som går gjennom punktene ( 0, f(0) ) og ( 4, f (4)). Vi bruker kommandoen Tangentl[x-verdi,funksjon] for å tegne tangenten i punktet (, f ()). b Vi åpner CAS og bruker kommandoen Tangentl[x-verdi,funksjon]. Da finner vi likningen for tangenten i punktet ( c, f() c ). Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 17
I CAS ser vi at tangenten blir ( ) y = c + cx x = c 1 x c Linja l gjennom punktene ( c h, f( c h) og ( c h, f( c h) ( 1) y = c x c + h + + er gitt ved Vi ser at tangenten og linja l har samme stigningstall c 1. Da er linjene parallelle. Oppgave 4 Vi setter lengden i rektanglet lik x og bredden lik y. Da får vi følgende likningssett: I II 3 x y = 8 5 x+ y = Vi bruker CAS til å løse likningssettet og finner at lengden er 3 4 og bredden er 1, eller at lengden er 1 og bredden er 3. 4 Aschehoug www.lokus.no Side 13 av 17
Oppgave 5 a 1350 + 10 + 100 = 1570 I telleperioden ble 1570 kjøretøyer registrert i kollektivfeltet. 1350 135 4 = = 0,86 = 0,80 1570 157 5 Vi ser at andelen elbiler i kollektivfeltet er litt større enn angitt i sitatet. Som et overslag kan vi si at det er grunnlag for overskriften som er valgt. b Bilene som passerer, er elbil eller ikke elbil. Sannsynligheten for at en elbil passerer, er 0,80, og at ikke elbil passerer, er 0,0. Vi definerer P(elbil passerer) = PE ( ) = 0,80 ( ) P(ikke elbil passerer) = P E = 0, 0 Da kan vi sette opp P ett av de tre neste kjøretøyene er elbil ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = P( E) P E P E + P( E) P E P E + P E P E P( E) 0,80 0, 0 0, 0 + 0, 0 0,80 0, 0 + 0, 0 0, 0 0,80 = 0,096 Sannsynligheten er 9,6 % for at nøyaktig ett av de tre neste kjøretøyene som passerer, er elbil. c P ( minst to av de tre neste kjøretøyene er elbiler ) = 1 P ( ett av de tre neste kjøretøyene er elbiler) P ( ingen av de tre neste kjøretøyene er elbiler) = 1 0,096 0, 0 3 = 0,896 Sannsynligheten er 89,6 % for at minst to av de tre neste kjøretøyene som passerer, er elbiler. Aschehoug www.lokus.no Side 14 av 17
Oppgave 6 a Vi bruker cosinussetningen. Vi åpner CAS og bruker kommandoen Løs[likning,variabel]. AB = 4 eller AB = 4 + b To trekanter: Men a < 8. Aschehoug www.lokus.no Side 15 av 17
Én trekant: Også én trekant når a 8. Ingen trekant: Aschehoug www.lokus.no Side 16 av 17
c Av rad ser vi at likningen har ingen løsning når 0 < a < 4. Av radene 3 og 4 ser vi at det er én løsning når a = 4 eller når a 8. Av rad 4 ser vi at det er to løsninger når 4 < a < 8. d Vi ser av skissen i oppgave c at BC blir for kort når a < 4. Dette stemmer med ingen løsning. Vi ser av skissen i oppgave c at BC blir akkurat lang nok når a = 4. Dette stemmer med én løsning. Vi ser også at det blir én løsning når a 8. Vi ser av skissen i oppgave c at BC vi får to løsninger når a > 4. Men a kan ikke være større enn eller lik 8. Da kommer punktet C til venstre for A, eller faller sammen med A, noe som ikke gir løsning. Aschehoug www.lokus.no Side 17 av 17