Oppgaver Innhold.1 Faktorisering... Polynomdivisjon.... Omforme og forenkle sammensatte rasjonale funksjoner og andre symbolske uttrykk... 6 Rasjonale uttrykk som inneholder andregradspolynomer... 6 Rasjonale uttrykk som inneholder tredjegradspolynomer... 7. Likninger... 8 Tredjegradslikninger... 8 Likninger med rasjonale uttrykk... 9.4 Ulikheter Ulikheter av andre grad... 10 Ulikheter av tredje grad... 10 Rasjonale ulikheter... 11.5 Logaritmer... 1.6 Implikasjon, ekvivalens og noen matematiske bevistyper... 0 Direkte bevis... 1 Irrasjonale likninger... Kontrapositive bevis... Bevis med moteksempel... 4.7 Eksamensoppgaver... 6 Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Eksamensoppgavene er hentet fra www.udir.no 1
.1 Faktorisering.1.1 Faktoriser uttrykkene. d) e) f) 18a b 4a a a 6a 16 4 5 18 g) 6 h) i) j) k) b 1b 1 14 49 6 4b 4b
.1. Faktoriser uttrykkene. d) 4a 6a 4 18 4 8 e) f) Faktoriser uttrykkene ovenfor ved å bruke et digitalt hjelpemiddel. Polynomdivisjon.1. Utfør polynomdivisjonene. 1 : 1 : 1 :
.1.4 Gitt polynomuttrykkene nedenfor. Avgjør i hvert tilfelle hvilke faktorer uttrykkene er delelige med. Fyll ut resten av tabellen. Polynom Faktoren ( 1) Faktoren ( 1) Faktoren ( ) Ja Ja Nei 1 6 14 1 4 4.1.5 Bestem tallet a slik at divisjonene går opp. : a a a:. a 5 6 :.1.6 Utfør polynomdivisjonene og faktoriser tredjegradspolynomene. 6 11 6 : 1 6 9 4 : 1 4 4 : 1 4
.1.7 Faktoriser uttrykkene. 4 6 14 1 4 6 d) e) 4 f) 4 5
. Omforme og forenkle sammensatte rasjonale funksjoner og andre symbolske uttrykk Rasjonale uttrykk som inneholder andregradspolynomer..1 Forkort brøkene. 1 8 168 8 8 1 d) 4 5.. Finn fellesnevner og trekk sammen. 1 1 1 1.. Bestem a slik at brøken kan forkortes. a 6 8 6
Rasjonale uttrykk som inneholder tredjegradspolynomer..4 Forkort brøkene dersom det er mulig. 1 4 4 96 1 d) 6 7
. Likninger Tredjegradslikninger..1 Vis at 1 er en faktor i polynomet. Løs likningen 0... Prøv deg fram og finn en løsning av likningen 4 6 0. Løs likningen 4 6 0... Gitt tredjegradspolynomet a 4 4 Bestem a slik at polynomet er delelig med 1. Løs likningen a 4 4 0 ved regning når en av løsningene av likningen er 1...4 Løs likningen ved regning. 0 10 0 4 0 d) 4 5 4 0 8
Likninger med rasjonale uttrykk..5 Løs likningene. 1 1 6 1 1 1 1 1 d)..6 Løs likningene. 1 4 1 4 1 5 6 9
.4 Ulikheter Ulikheter av andre grad.4.1 Løs ulikhetene ved regning. (Dersom du behersker abc-formelen godt, kan du løse andregradslikningene ved hjelp av et digitalt verktøy.) 6 d) 1 1 Ulikheter av tredje grad.4. Løs ulikhetene ved regning. (Dersom du behersker polynomdivisjon og abc-formelen godt, kan du løse tredjegradslikningene ved hjelp av et digitalt verktøy.) d) e) 4 4 0 0 10 0 0 4 0 10
Rasjonale ulikheter.4. Løs ulikhetene ved regning. 1 0 1 d) 1 1 1 1 1.4.4 Løs ulikhetene ved regning. (Dersom du behersker abc-formelen godt, kan du løse andregradslikningene ved hjelp av et digitalt verktøy.) 1 1 1 1 1.4.5 Vis at 1er en løsning av likningen 4 4 0 1. Løs likningen i ved regning. Løs ulikheten ved regning. 4 4 0 1 11
.5 Logaritmer.5.1 Bruk potensreglene og regn ut. 4 ab ab a b a a ab d).5. Skriv uttrykkene enklere. 1 7 1 5 4 4 d) 1 4 4 e) 4 1 1 1
.5. Bruk digitalt hjelpemiddel og bestem svarene med 4 desimaler. lg 19 ln 100000 lg 0,5 d) lg 0,0001 e) ln 489.5.4 Bruk definisjonen til å bestemme lg 10000 lg 0,0001 5 lg 10 d) lg 10 e) lg 1 10 4 f) lg 10 1
.5.5 Bruk definisjonen av logaritmer og skriv så enkelt som mulig. lg 10 10 lg 0,5 10 lg 456 10 d) lg 5 10 e) lg 9 10 f) lg 64 10.5.6 Utled logaritmesetningene for den naturlige logaritmen! 14
.5.7 Bruk regnereglene for logaritmer til å forenkle følgende uttrykk når a, b og er større enn null. a lg lg a a lg a lg lg a ln 8b ln 4b ln lnb d) lg a b a lg a b lg lg b b 4 e) f) ln ln g) lg 1 lg.5.8 Tegn grafene til funksjonene g, h og i gitt ved g 10 h i 0,5 Hva kan du si om grafen til en funksjon gitt ved f a der 0,? 15
.5.9 Temperaturen i et kjøleskap målt i celsiusgrader de første timene etter et strømbrudd er gitt ved T 1,15 der er antall timer etter strømbruddet. Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet? Tegn grafen til T. Velg -verdier mellom 0 og 0. Hvor lang tid går det før temperaturen i kjøleskapet er 10 grader? d) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (mer enn 1 døgn)? Begrunn svaret ditt..5.10 Vi antar at hummerbestanden øker med,5 % i året. Hvor mange år tar det før bestanden er doblet?.5.11 Løs eksponentiallikningene. 10 100 10 100 5 15 d),00,5 16 e) 1 4 16 4 16
.5.1 Løs eksponentiallikningene 46 6 6 0 e 6e 1 d) 4 4 0.5.1 Løs likningene. Husk at logaritmer bare er definert for positive tall. lg,4 ln 1,85 lg 0,4 d) lg 0,1 0,4 e) ln,0 0 f) lg lg 0,4 g) lg lg lg 8 h) lg lg lg 4 0 17
.5.14 Gitt likningene. lg 1 1) For hvilke verdier av er likningen gyldig? ) Løs likningen ved regning lg 1 6 1) For hvilke verdier av er likningen gyldig? ) Løs likningen ved regning lg 5lg 6 0 1) For hvilke verdier av er likningen gyldig? ) Løs likningen ved regning d) lg 5lg 6 0 1) For hvilke verdier av er likningen gyldig? ) Løs likningen ved regning e) 4 lg lg 18 1) For hvilke verdier av er likningen gyldig? ) Løs likningen ved regning f) ln 4 ln 0 1) For hvilke verdier av er likningen gyldig? ) Løs likningen ved regning 18
g) lg lg 1 1 1) For hvilke verdier av er likningen gyldig? ) Løs likningen ved regning h) ln ln 0 1) For hvilke verdier av er likningen gyldig? ) Løs likningen ved regning.5.15 Løs ulikheten. 5 15 46 6 1 00 000 100 000 d),5lg 6,5 e) ln 14 19
.5.16 Løs ulikhetene. lg lg 0 1) For hvilke verdier av er ulikheten gyldig? ) Løs ulikheten ved regning ln ln ln4 1) For hvilke verdier av er ulikheten gyldig? ) Løs ulikheten ved regning lg 6 lg lg5 1) For hvilke verdier av er ulikheten gyldig? ) Løs ulikheten ved regning.6 Implikasjon, ekvivalens og noen matematiske bevistyper.6.1 Avgjør i hvert tilfelle om implikasjonen er riktig. Vi har et kvadrat Vi har en firkant Vi har en firkant Vi har et kvadrat Vi har et kvadrat Vi har en rombe d) Vi har et kvadrat Vi har et rektangel e) Vi har en rettvinklet trekant Ingen av hjørnene har en vinkel større enn 90 0
.6. Avgjør i hvert tilfelle om ekvivalensen er riktig. Vi har en rombe Vi har et kvadrat Det regner i Norge Det regner i Bergen Det er et furutre Det er furunåler på grenene d) 4 e) 4 f) 4 Direkte bevis.6. Før et direkte bevis for påstanden: Summen av to påfølgende oddetall er delelig med 4. Hint: Et oddetall kan skrives som k 1. Finn et uttrykk for neste oddetall, og summer disse to oddetallene..6.4 Før et direkte bevis for påstanden: Summen av fire påfølgende partall er delelig med 4. 1
.6.5 Før et direkte bevis for påstanden: Summen av to rasjonale tall er et rasjonalt tall. (Rasjonale tall er tall som kan skrives som en brøk hvor telleren og nevneren er hele tall.).6.6 Før et direkte bevis for påstanden: Hvis n et oddetall, så er n 1 delelig med 4..6.7 Før et direkte bevis for påstanden: Produktet av to påfølgende tall er et partall. Irrasjonale likninger.6.8 Løs likningene. Sett prøve på svarene. 1 4 1
.6.9 Løs likningene. Sett prøve på svarene. 4 4 4 d) 4 4 Kontrapositive bevis.6.10 Formuler den kontrapositive påstanden til følgende påstand: Det er feil å si at jeg ikke bestod eksamen..6.11 Formuler den kontrapositive påstanden til følgende påstand: De som ikke liker å se en fotballkamp har ikke selv spilt fotball.
.6.1 Før et kontrapositivt bevis for påstanden: n er et oddetall n er et oddetall. Før et direkte bevis for påstanden: n er et oddetall n er et oddetall..6.1 Før bevis for påstanden: n er et partall n er et partall. Bevis med moteksempel.6.14 Påstand: Alle firkanter er rektangler. Bevis med moteksempel at denne påstanden ikke er riktig..6.15 Påstand: Hvis. 5så er 5 Bevis med moteksempel at denne påstanden ikke er riktig. 4
.6.16 Vis med moteksempler at påstandene ikke er riktige. y y y y y y.6.17 Nå følger et direkte bevis for at = 5. Kan dette være riktig? 15 15 9 4 5 40 9 4 16 5 40 16 ( 4) (5 4) 4 5 4 5 4 4 5 q.e.d.6.18 Ta en vanlig kortstokk. Be din venn ta ut 1 tilfeldige kort. Be ham snu de 1 kortene med billedsiden opp og legge dem inn igjen i kortstokken på tilfeldige steder. Be så din venn om å ta av de 1 øverste kortene slik at det blir bunker med kort. Be din venn om å legge de bunkene under et tørkle slik at han ikke kan se hva du gjør med dem. Når tørkle fjernes ligger det fortsatt bunker der. Du ber din venn om å telle kortene med billedsiden opp i de bunkene. Han vil oppdage at det ligger like mange kort med billedsiden opp i de bunkene. Hva gjør du under tørkleet? Hvis du lurer på om dette er riktig så kan du be læreren din om å utføre kortkunsten. 5
.7 Eksamensoppgaver.7.1 Eksamen MX med IKT, Våren 001 Løs ulikheten ved regning 4.7. Eksamen MX med IKT, Våren 004 Løs likningene. e 4 1 10 10000 1 d) 17 1.7. Eksamen MX med IKT, Høsten 004 Løs likningene ved regning. lg 1 1 e 6 d) 1 1000 10 6
.7.4 Eksempelsett R1, April 007 Skriv så enkelt som mulig 4 4.7.5 Eksempelsett R1, April 007 Vis at 1er en løsning på likningen 0. Bruk dette til å løse ulikheten 0..7.6 Eksempelsett R1, Desember 007 Finn de eksakte løsningene av likningene ln 4 0 e e 0.7.7 Eksempelsett R1, Desember 007 Skriv så enkelt som mulig 4 1 a ab b 1 b a b 7
.7.8 Eksempelsett R1, Desember 007 Vis at polynomet f 6 11 6 er delelig med. Skriv f som et produkt av førstegradsfaktorer. Løs ulikheten 6 11 6 0. 9 d) Bestem a slik at likningen verdien av a. a 5 0 får en løsning lik 1. Løs likningen for denne.7.9 Eksamen R1, Våren 008 Utfør polynomdivisjonen 4 6 :.7.10 Eksamen R1, Våren 008 Skriv så enkelt som mulig y lg y lgy lg 8
.7.11 Eksamen R1, Høsten 008 Vi har gitt polynomfunksjonen f. Vis at f er delelig med 1. Faktoriser Løs ulikheten f 0. f i førstegradsfaktorer..7.1 Eksamen R1, Våren 009 Trekk sammen 4 4.7.1 Eksamen R1, Våren 009 Gitt polynomfunksjonen Regn ut f 1. Faktoriser f. f 8 1. Løs ulikheten f 0..7.14 Eksamen R1, Våren 009 Skriv så enkelt som mulig 1 lg lga a 9
.7.15 Eksamen R1, Høst 009 Likningen 10 10 0 har tre løsninger. Vis at 1 1 er en løsning og finn de to andre..7.16 Eksamen R1, Høsten 009 Skriv så enkelt som mulig lg ab lg ab 1 0