9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ 2 2 2 Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall. a n ¼ a a a a... x 2 ¼ x x b 5 ¼ b b b b b ðn a-erþ Vi møter potenser når vi skal regne med areal, volum og bankinnskudd/lån. Det kan være nyttig å kunne noen regneregler for potenser. Regel 1 2 2 2 3 ¼ 2 2 2 2 2 ¼ 2 2þ3 ¼ 2 5 a m a n ¼ a a a a...¼ a mþn Vi multipliserer to potenser med samme grunntall ved å opphøye det felles grunntallet i summen av eksponentene. Regel 2 2 5 : 2 2 ¼ 25 2 2 ¼ 2 2 2 2 2 ¼ 2 3 ¼ 2 5 2 2 2 a m : a n ¼ a m n 131

www.ebok.no Vi deler to potenser med samme grunntall ved å opphøye det felles grunntallet i differansen mellom eksponentene. Regel 3 2 3 : 2 3 ¼ 8 : 8 ¼ 1 ð2 3 ¼ 2 2 2 ¼ 8Þ Men hvis vi bruker regel 2, vil vi få følgende: 2 3 : 2 3 ¼ 2 3 3 ¼ 2 0 Vi vet at svaret skal være 1. Derfor må vi definere 2 0 til å være 1. Hvis vi ikke kan gjøre det, vil regel 2 ikke være allmenngyldig. VIKTIG! a 0 ¼ 1 per definisjon ða 6¼ 0Þ Dette gjelder uansett hvilken verdi a har, bortsett fra når a ¼ 0. 0 0 har ingen mening! Regel 4 ð2 3 Þ 2 ¼ 2 3 2 3 ¼ 2 3þ3 ¼ 2 32 ¼ 2 6 ða m Þ n ¼ a mn Hvis vi har en potens som skal opphøyes i en eksponent, gjør vi dette ved å opphøye potensens grunntall i produktet av eksponentene. (Her har vi egentlig to potenser en indre (a m ) og en ytre (a m Þ n.) Regel 5 ð2 3Þ 3 ¼ð2 3Þð2 3Þð2 3Þ ¼2 2 2 3 3 3 ¼ 2 3 3 3 ðabþ m ¼ða bþ m ¼ a m b m Hvis potensens grunntall er et produkt av tall, opphøyer vi hvert av tallene i felles eksponent og multipliserer ut. Regel 6 2 3 : 2 5 ¼ 23 2 5 ¼ 2 2 2 2 2 2 2 2 ¼ 1 2 2 ¼ 1 2 2 Ved å bruke regel 2, får vi følgende: 2 3 : 2 5 ¼ 2 3 5 ¼ 2 2 for at regel 2 skal være all- Dette betyr at vi må definere 2 2 som 1 2 2 menngyldig. 132

VIKTIG! a m ¼ 1 a m per definisjon Regel 7 Vi skal definere 9 0;5. Vi bruker regel 4 for å definere en potens med brøkeksponent: Vi setter 9 0;5 ¼ x ð9 0;5 Þ 2 ¼ 9 0;52 ¼ 9 1 ¼ 9 x 2 ¼ 9, x ¼ 3 ðx ¼ 3 forkastes her.þ Dette betyr at 9 0;5 ¼ 3, dvs. 9 1 2 ¼ 2p ffiffiffiffi 9 1 ¼ 3, ð0,5 ¼ 1 2 ). «Andreroten av 9 opphøyd i første» betyr det samme som kvadratroten av 9. Mer generelt kan vi si at en potens med brøkeksponent vil bli et rotuttrykk: an t np ¼ ffiffiffiffi a t (a opphøyd i tn-te-deler er lik n-te-roten av a opphøyd i t.) Oppgave 1 a) a 5 a 3 : a 4 ¼ b) a 2 þ a 1 a 3 ¼ c) ðabþ 3 a 2 b 3 1 b 2 ¼ d) a0 a 2 ða 3 Þ 2 a 4 a a 2 a 1 a) a 5þ3 4 ¼ a 4 ¼ b) a 2 þ a 1þ3 ¼ a 2 þ a 2 ¼ 2a 2 c) a 3 b 3 a 2 b 3 b 2 ¼ a 3þ2 b 3 3þ2 ¼ a 5 b 2 d) a0þ2þ6 4 a 1 2 1 ¼ a4 a 2 ¼ a4 a 2 ¼ a 6 133

www.ebok.no 9.2 Standardform Som tidligere nevnt er en brøk en vanlig divisjon: 3 2 ¼ 3 : 2 ¼ 1,5 1,5 kalles for en desimalbrøk eller et desimaltall. Hvis vi har svært små og svært store tall, kan vi skrive tallene på en kortere form. Denne formen kaller vi for standardform. Ethvert tall kan skrives på formen k 10 n, der k ligger mellom 1 og 10. 10 n kalles for en potens. Eksempler med store tall (større enn 10): 25 ¼ 2,5 10 1 2 000 000 ¼ 2 1 000 000 ¼ 2 10 6 87 300 000 ¼ 8,73 10 7 For å finne ut hva vi må opphøye grunntallet 10 i, teller vi antall plasser vi må flytte kommaet for å få tallet til å ligge mellom 1 og 10. For tallet 25 teller vi én mot venstre, for 2 000 000 teller vi 6 mot venstre, osv. Eksempler med små tall (mindre enn 1): 0,025 ¼ 2,5 10 2 og 0,000 000 057 6 ¼ 5,76 10 8 Som ovenfor teller vi antall plasser vi flytter kommaet for å få et tall mellom 1 og 10. Her teller vi mot høyre, og 10 opphøyes i minus ð Þ antall plasser. Hvis vi bruker regel 6 i kapittel 9 (avsnitt 9.1), finner vi ut at 10 2 ¼ 1 10 2 ¼ 1 100 og 10 8 ¼ 1 10 8 ¼ 1 100 000 000 Oppgave 2 Skriv tallene på standardform, og skriv svaret så enkelt som mulig: 320 000 5 000 000 160 3,2 10 5 5 10 6 3,2 5 1011 16 1011 1,6 1012 ¼ ¼ ¼ 1,6 10 2 1,6 10 2 1,6 102 1,6 10 ¼ 2 1010 10 10 ¼ 10 000 000 000 (10 milliarder) 134

Her er det vist «grundig» hvordan vi kan multiplisere/dividere store tall ved å skrive tallene på standardform først. Oppgave 3 ð3,18 10 4 Þð5,7 10 3 Þ : ð1,05 10 8 Þ ð18,126 10 7 Þ : 1,05 10 8 ¼ð18,126 : 1,05Þð10 7 : 10 8 Þ ¼ 17,26 10 7 ð 8Þ ¼ 17,26 10 1 ¼ 1,726 10 1 10 1 ¼ 1,726 10 2 ð¼172,6þ (3,18 5,7 ¼ 18,126 og 18,126 : 1,05 ¼ 17,26 og 17,26 ¼ 1,726 10 1 ) Her er det vist hvordan en oppgave som er gitt på standardform løses, og hvordan vi kommer fram til svaret på standardform. OBS! På lommeregneren brukes bokstaven E i stedet for 10. Tallet 25 er på lommeregneren 2,5E þ 0,1 og tallet 0,025 ¼ 2,5E 02. Tallene bak E forteller hvor mange plasser vi skal flytte kommaet (þ mot høyre og mot venstre). 9.3 Logaritmer Når vi skal løse likninger der den ukjente er en eksponent i en potens, har vi behov for en regneteknikk for å mestre slike likninger. Som vi skal se senere, vil logaritmeregning, i tillegg til grafiske løsninger, være relevant i forbindelse med eksponentialfunksjoner. Eksempelvis vil likningen 3 x ¼ 27 være av den enkle sorten. 27 kan skrives som 3 3 slik at likningen kan skrives 3 x ¼ 3 3.Påbegge sider av likhetstegnet har vi potenser med samme grunntall, og likevekten vil gjelde for samme eksponenter, dvs. x ¼ 3. Hvis vi har likningen 3 x ¼ 50, kan vi ikke løse likningen direkte som ovenfor. Det vi kan si, er at x må være et tall mellom 3 og 4 fordi 3 3 ¼ 27 og 3 4 ¼ 81. I dette tilfellet har vi behov for en ny regnemetode. Den kaller vi logaritmeregning. Briggske logaritmer Logaritmeregning går ut på å gjøre alle positive tall om til potenser med et bestemt grunntall. Det grunntallet vi skal bruke i våre oppgaver, er 10. Dette logaritmesystemet kalles for det briggske system etter den britiske matematikeren Henry Briggs (1561 1631). 135

www.ebok.no Eksempler 100 ¼ 10 2 Vi sier at 2 er logaritmen til 100 og skriver log 100 ¼ 2 1000 ¼ 10 3 log 1000 ¼ 3 10 ¼ 10 1 log 10 ¼ 1 1 ¼ 10 0 log 1 ¼ 0 1 100 ¼ 1 10 2 ¼ 10 2 log 1 100 ¼ 2 Av disse eksemplene kan vi se at logaritmer er de eksponentene vi må opphøye 10 i for å få tallene. Når 100 ¼ 10 2 og log 100 ¼ 2, kan vi skrive log 100 100 ¼ 10 Dette leder til den generelle definisjonen a ¼ 10 log a ða > 0Þ Ved briggske logaritmer brukes ofte skrivemåten «lg» i stedet for «log». Regneregler 1) Vi skal vise hvordan vi regner ut x ¼ 5 13 ved bruk av logaritmer. Svaret ser vi skal være 65. 5 ¼ 10 log 5 ¼ 10 0;6990 13 ¼ 10 log 13 ¼ 10 1;1139 x ¼ 10 0;6990 10 1;1139 ¼ 10 1;8129 ¼ 65 ð64,998þ Tallene for log 5 og log 13 fant vi på lommeregneren. Vi ser også at vi la sammen logaritmene (eksponentene) for å finne produktet av de to tallene. Vi kunne ha skrevet log x ¼ log 5 þ log 13 ¼ 0,6990 þ 1,1139 ¼ 1,8129 Vi vet da at eksponenten med 10 som grunntall er 1,8129. For å finne tallet (svaret) tar vi antilog på lommeregneren. På lommeregneren er det det samme som å ta «shift log 1,8129» ivårt eksempel. 136

Oppsummering: x ¼ 5 13 j Vi tar log på begge sider: log x ¼ logð5 13Þ log x ¼ log 5 þ log 13 De to siste høyresidene indikerer: Logaritmen til et produkt er lik summen av logaritmene til tallene: logða bþ ¼log a þ log b 2) Vi skal gjøre en tilsvarende divisjon ved bruk av logaritmer: y ¼ 330 : 15 ¼ 330 15 330 ¼ 10 2;5185 15 ¼ 10 1;1761 y ¼ 10 2;5185 : 10 1;1761 ¼ 10 1;3424 ¼ 22 ð21,99885þ y ¼ 102;5185 10 1;1761 ¼ 102;5185 1;1761 ¼ 10 1;3424 ¼ 22 log y ¼ log 330 log 15 ¼ 2,5185 1,1761 ¼ 1,3424 «shift log 1,3424» ¼ 22 De to høyresidene indikerer: log y ¼ logð330 : 15Þ ¼log 330 15 log y ¼ log 330 log 15 Logaritmen til en brøk (divisjon) er lik differansen mellom logaritmene til tallene: log a ¼ log a log b eller logða : bþ ¼log a log b b 3) Her skal vi bruke logaritmer for å regne ut z ¼ 3 7. 3 ¼ 10 0;4771 z ¼ð10 0;4771 Þ 7 ¼ 10 3;3397 ¼ 2186;25 Det korrekte svaret skal være 2187. Vi har regnet med bare fire desimaler for logaritmene her, derfor kan det bli litt unøyaktig. 137

www.ebok.no Vi ser at log z ¼ðlog 3Þ7 ¼ 7 log 3 ¼ 3,3397 «shift log 3,3397» ¼ 2186,25 ð2187þ log z ¼ log 3 7 ¼ 7 log 3 Logaritmen til en potens er lik eksponenten multiplisert med logaritmen til grunntallet: logða n Þ¼n log a Denne regelen får du mye bruk for! Før lommeregnere (kalkulatorer) ble aktuelle hjelpemidler i matematikk, var logaritmeregning arbeidssparende ved utregning av produkt, ved divisjon og ved potensregning. Da hadde man tabeller som man kunne finne logaritmene i (på videregående skole var logaritmene oppgitt med fire desimaler). Når vi har lært de tre regnereglene for logaritmer, kan vi løse likningen 3 x ¼ 50, som vi nevnte innledningsvis. Ifølge regel 3 får vi: 3 x ¼ 50 j Vi tar «log» på begge sider: logð3 x Þ¼log 50 x log 3 ¼ log 50 j : log 3 log 50 x ¼ log 3 x ¼ 3,560 876 795 ð3 3;560 876 795 ¼ 50Þ Oppgave 4 Ole setter kr 10 000 i banken til 5,5 % rente p.a. (pro anno = per år). Hvor mange år tar det før det står kr 15 347 på kontoen? Vekstfaktor: Antall år: x 1 þ p 100 ¼ 1 þ 5,5 100 ¼ 1,055 138

10 000 1,055 x ¼ 15 347 j : 10000 1,055 x ¼ 1,5347 j Vi tar log på begge sider: x log 1,055 ¼ log 1,5347 x ¼ log 1,5347 log 1,055 x ¼ 8,000 16 Det tar åtte år før innskuddet har økt til kr 15 347. Oppgave 5 En bedrift har som mål åredusere utslippet av farlige gasser med 10 % per år. Hvor mange år tar det før utslippet er halvert? Vekstfaktor: 1 p 100 ¼ 1 10 ¼ 0,90 ð0,9þ 100 Antall år: x. Når vi ikke vet utslippet i dag, kan vi sette inn et hvilket som helst tall, for eksempel 100: 100 0,90 x ¼ 50 j : 100 0,90 x ¼ 0,5 j Vi tar log på begge sider: x log 0,90 ¼ log 0,5 log 0,5 x ¼ log 0,90 x ¼ 6,5788 Det tar litt over 6,5 år før utslippet er halvert. Løsning av likning på formen x n ¼ a Denne type likninger kan vi løse på to måter ved regning. La oss vise dette ved et eksempel: Oppgave 6 Et innskudd på kr 1200 vokser til kr 1585 etter seks år. Finn vekstfaktoren og den årlige rentefoten. 139

www.ebok.no Vi setter vekstfaktoren lik x. Da får vi følgende likning: 1200 x 6 ¼ 1585 j Vi deler på 1200 x 6 ¼ 1,320833... 6p ffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 6 ¼ 6p 1,320833 x ¼ 1,0475 j Vi tar 6. roten på begge sider: Vekstfaktoren 1 þ p 100 er lik 1,0475. Det betyr at rentefoten p er 4,75 % p.a. løst med logaritmer: x 6 ¼ 1,320833 6 log x ¼ log 1,320833 j : 6 log x ¼ 0,02014 ðx ¼ 10 0;02014 ¼ 1,0475Þ På kalkulatoren trykker vi «shift log 0,02014» EXE, og får 1,0475. x ¼ 1,0475 Oppgave 7 Løs disse likningene: a) 7x 4 ¼ 112 b) 10x 0;2 ¼ 4,17 c) 12,5x 3 ¼ 100 aþ 7x 4 ¼ 112 x 4 ¼ 16 x ¼ 2 j Vi deler på 7 og tar 4. roten bþ cþ 10x 0;2 ¼ 4,17 x 0;2 ¼ 0,417 x ¼ 0,01 12,5x 3 ¼ 100 x 3 ¼ 8 x ¼ 2 j Vi deler på 10 og tar 0,2. roten j Vi tar 3. roten. j (Lommeregneren viser dette!) Dette er feil løsning. Vi kan ikke ta «minusroten» av et tall på lommeregneren. Derfor må oppgaven løses på en annen måte. Det enkleste er å skrive om x 3 til 1 x 3. 140

Dette gir 1 x 3 ¼ 8 jx3 1 ¼ 8x 3 j : 8 0,125 ¼ x 3 j Vi tar 3. roten på begge sider 0,5 ¼ x Kontroller svarene ved å bruke logaritmer! 141