Funksjoner R Løsninger. Trigonometriske definisjoner.... Trigonometriske sammenhenger.... Trigonometriske likninger....4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting... 7.5 Omforming av trigonometriske uttrykk... 4.6 Ubestemte integraler... 6 Integrasjon med variabelskifte... 65 Delvis integrasjon... 66 Delbrøkoppspalting... 68 Diverse integrasjonsoppgaver... 7.7 Bestemte integraler... 76.8 Arealberegninger og andre anvendelser av bestemte integraler... 87.9 Modellering... 0 Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen
. Trigonometriske definisjoner.. a) Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkelv 0,60 som har samme sinusverdi som en vinkel på ) 0 ) 60 ) 90 4) 5 5) 5 6) 0 Figuren til høyre viser hvilken vinkel v i første omløp som har samme sinusverdi som en vinkel på 0. Vi ser at sin0 sin50. På tilsvarende måte finner vi sin60 sin0 sin90 sin 5 sin45 sin5 sin5 sin0 sin0 Vi bruker symmetri, se figuren til høyre. Legg merke til at ingen andre vinkler i første omløp har samme sinusverdi som vinkelen på 90.
b) Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkelv 0,60 som har samme cosinusverdi som en vinkel på ) 0 ) 60 ) 90 4) 5 5) 80 6) 5 7) 0 cos0 cos0 cos60 cos00 cos90 cos70 cos5 cos5 cos80 Svarene fremgår av figuren til ovenfor. Vinkler på samme loddrette linje har samme cosinusverdi. Legg merke til at ingen vinkler i første omløp har samme cosinusverdi som vinkelen på 80. c) Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel v0,60 som har samme tangensverdi som en vinkel på ) 0 ) 60 ) 90 4) 5 5) 50 6) 5 7) 0 Vinkler som ligger symmetrisk om origo har samme tangensverdi. Se figuren til høye.
.. Gitt en vilkårlig vinkel u 0,60. Finn en generell formel som viser hvilke vinkler som har samme a) sinusverdi som vinkel u sinu sin 80 u Se figuren til høyre. b) cosinusverdi som vinkel u cosu cos 60 u cos u. Se figuren til høyre. c) tangensverdi som vinkel u tanu tan u80 Vi har tidligere sett at sinu tanv cosu Av figuren til høyre ser vi at Vi har da sinu sin 80 u cosu cos 80 u sinu sin 80 u sin 80 u tan80 u cosu cos 80 u cos 80 u 4
.. Finn vinklene i første omløp som har følgende verdier for sinus, cosinus og tangens. I hvilken kvadrant ligger hver av vinklene? a) 0,5 b) 0,8 c) 0,5 sin0 0,5 sin50 0,5 cos600,5 cos00 0,5 tan6,50,5 tan06,5 0,5 sin5, 0,8 sin6,9 0,8 cos6,80,8 cos, 0,8 tan8,60,8 tan8,6 0,8 sin0 0,5 sin0 0,5 cos0 0,5 cos40 0,5 tan5,4 0,5 tan,4 0,5. kvadrant. kvadrant. kvadrant 4. kvadrant. kvadrant. kvadrant. kvadrant. kvadrant. kvadrant 4. kvadrant. kvadrant. kvadrant. kvadrant 4. kvadrant. kvadrant. kvadrant. kvadrant 4. kvadrant 5
d) 0,8 sin, 0,8 sin06,9 0,8 cos4, 0,8 cos6,8 0,8 tan4, 0,8 tan,4 0,8. kvadrant 4. kvadrant. kvadrant. kvadrant. kvadrant 4. kvadrant e) sin90 cos0 tan45 tan5 f) sin70 cos80 tan5 tan5. kvadrant. kvadrant. kvadrant 4. kvadrant g) 0 sin00 sin80 0 cos90 0 cos70 0 tan00 tan80 0 h),5 tan56,,5 tan6,,5. kvadrant. kvadrant i) Kommenter resultatet i h). Hvorfor er det kun tangens som gir svar? Ingen vinkel har sinus- eller cosinusverdi lik,5. Sinus- og cosinusverdiene ligger i intervallet,. ingen punkt på enhetssirkelen har koordinater utenfor [, ]. Cosinusverdien er forholdet mellom hosliggende katet og hypotenus. Dette forholdet kan aldri bli større enn. 6
..4 I hvilket omløp ligger hver av vinklene nedenfor? a) 67 67 0,60 Vinkelen ligger i første omløp. b) 840 840 70,080 Vinkelen ligger i tredje omløp. c) 60 60 60,70 Vinkelen ligger i andre omløp. d) 500 500 440,800 Vinkelen ligger i femte omløp...5 Du får vite følgende om vinklene u, v - Vinklene ligger i første omløp - cosu cosv - sinu sinv - tanu 0 I hvilken kvadrant ligger u og i hvilken kvadrant ligger v? Siden cosu cosv gir symmetrien at vinklene må ligge i.kvadrant og 4. kvadrant, eller i. kvadrant og. kvadrant. Siden sinu sinv, er det vinkel u som ligger i. kvadrant eller i. kvadrant. Siden tanu 0, må vinkel u ligger i. kvadrant. Vinkel u ligger i. kvadrant. Vinkel v ligger i 4. kvadrant. 7
..6 Du får vite følgende om vinklene u, v - Vinklene ligger i første omløp - sinu sinv - cosv 0 - tanu Finn vinklene. Når tanu, betyr det at sinu cosu. Ut fra symmetri vet vi at det er to vinkler i første omløp som har tangensverdi, det er 45 og 80 45 5. Siden cosv 0 vet vi at v ligger i første eller fjerde kvadrant. Siden sinusinv gir symmetrien at u 5 og v 80 5 45 60 45 5..7 Lag en oppgave etter samme mønster som..5 og..6. Test oppgaven ut på en av dine medelever! 8
..8 Finn radiantallet til vinklene nedenfor. 0, 45, 60, 90, 0, 5, 50, 80, 70, 60 0 6 45 4 60 90 0 5 4 5 50 6 80 70 60 9
..9 Gjør om disse vinklene fra grader til radianer. a) 50, 75, 05, 0 50 50 0,876 80 75 75,08 80 05 05,8 80 0 0 5,40 80 b) 50, 75, 05, 0 50 50 0,876 80 75 75,08 80 05 05,8 80 0 0 5,40 80 c) 400, 70, 900, 080 400 400 6,98 80 70 70,56 80 900 900 5,70 80 080 080 8,84 80 0
..0 Gjør om disse vinklene fra radianer til grader. a) 0,5 b) 0,8 c),5 80 0,5 0,5 8,64 80 0,8 0,8 45,8 80,5,5 4, d) -4, 80 4, 4, 40,6.. Vinklene nedenfor er gitt i radianer. I hvilken kvadrant ligger hver av vinklene? a), Vinkelen ligger i. kvadrant. b),5,5, Vinkelen ligger i. kvadrant. c),, 0, Vinkelen ligger i. kvadrant. d) 5 5, Vinkelen ligger i 4. kvadrant.
. Trigonometriske sammenhenger.. Finn den eksakte verdien til a) cos0 cos0 cos8060 cos60 b) sin0 sin0 sin 8060 sin60 c) tan0 sin0 tan0 cos0.. Finn den eksakte verdien til a) cos0 cos0 cos 60 0 cos0 b) sin0 sin0 sin0 c) tan0 sin0 tan0 cos0
.. Finn de eksakte verdiene til koordinatene til punktene A og B på figuren nedenfor. A cos0, sin0, B cos50, sin50,..4 Finn de eksakte verdiene til koordinatene til punktene A og B på figuren nedenfor. A cos0,sin0, B cos0,sin0,
..5 Finn de eksakte verdiene til koordinatene til punktene A og B på figuren nedenfor. A cos60,sin60, B cos00,sin00,..6 Finn de eksakte verdiene til koordinatene til punktene A og B på figuren nedenfor. A cos60,sin60, B cos40,sin40, 4
..7 I firkanten ABCD er AB AC AD, BAC 60 og BAD 90. a) Finn lengden BC. Vi tegner en hjelpefigur. Trekant ABC er likesidet siden AB AC og A 60. Det betyr at BC. b) Finn den eksakte høyden fra C til linjen gjennom AB. h sin60 h sin60 c) Finn det eksakte arealet av firkanten ABCD. Areal Areal Areal ABCD ABC ACD AD AB ABh 4 4 4 5
d) Sett AB r og finn arealet av firkanten ABCD uttrykt ved r. Areal Areal Areal ABCD ABC ACD AD AB ABh r r r r r r 4 4 4 r..8 Bruk enhetsformelen til å regne ut uttrykkene nedenfor hvis mulig. sin0 cos0 a) b) c) sin 0cos 0 sin cos 6 6 d) 4cos 0 4cos 0 4sin 0 sin 0 4 4 e) sin 4cos sin cos cos sin cos cos cos 4 f) sin 0 sin 70sin 0cos 9070 sin 0cos 0 g) h) co s 5cos Her kan vi ikke bruke enhetsform 65 ee l n. cos cos cos sin cos sin 6 6 6
..9 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler og skriv uttrykket ved hjelp av sinus og cosinus. a) sin0v v v v v v v v sin 0 sin0 cos sin cos0 cos sin cos sin b) cos60v v v v v v v v cos 60 cos60 cos sin60 sin cos sin cos sin c) sinv 45 sin 45 sin cos45 sin45 cos sin cos sin cos v v v v v v v d) cosv 45 cos 45 cos cos45 sin sin45 cos sin cos sin v v v v v v v..0 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler og skriv uttrykket ved hjelp av sinus og cosinus. a) cosv cosv cos sinv sin cosv sinv cosv sinv b) sin sin cos cos sin sin cos 0 sin c) cos 6 cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin 6 6 d) sin 4 sin cos sin cos sin cos sin cos 4 4 7
.. Bruk formlene for sum og differanse av vinkler til å finne eksakte verdier for a) sin75 6 sin75 sin450 sin45cos0 cos45sin0 4 b) cos75 6 cos75 cos45 0 cos45 cos0 sin45sin0 4 sin75 cos75. c) Bruk resultatene fra a) og b) til å vise at 6 6 6 6 6 sin75 cos75 4 4 6 6 6.. Bruk formlene for sum og differanse av vinkler til å finne eksakte verdier for a) cos5 6 cos5 cos45 0 cos45cos0 sin45sin0 4 b) sin5 6 sin5 sin450 sin45cos0 sin0cos45 4 c) cos05 6 cos05 cos45 60 cos45 cos60 sin45sin60 4 Vis hvordan du kan bruke resultatet fra a) til å finne d) sin75 sin75 cos 90 75 cos5 cos 45 0 6 4 e) sin85 6 6 sin85 sin75 cos90 75 cos5 4 4 8
.. Bruk formlene for sum og differanse av vinkler for sinus og cosinus, og vis at a) tanu v tanu tanv tanu tanv sinu cosv sinv cosu sinu v sinucosv sinv cosu cosu cosv tanu v cosu cos v cosu v cosucosv sinusinv cosu cosv sinu sinv cosu cosv cosucosv b) tanu v tanu tanv tanu tanv sinu cosv sinv cosu sinuv sinucosv sinv cosu cosu cosv tanu v cosu cos v cosu v cosucosv sinusinv cosu cosv sinu sinv cosu cosv cosucosv tanu tanv tanu tanv tanu tanv tanu tanv..4 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler til å vise at sin u sinucos u a) sin u u sinucos u cosusinu sinucos u cos u cos u sin u b) cos u u cosu cosu sinu sinu cos u sin u tan u c) tan u tanu tan u sinucosu sinu sin u sinucosu cos u cosu tanu cos u cos u sin u cos u sin u tan u tan u cos u cos u d) cos usin u sin u Bruker at: cos usin u cos u sin u cos u sin u sin u sin u sin u 9
..5 Du skal nå bevise formlene for sinus til sum og differanse mellom to vinkler. Her er starten, så fortsetter du u v u v cos90 uv cos90u v cos9 sin cos 90 0 u cosv sin 90 u sinv sinucosv cosusinv u v u v u v cos90 u v sin cos 90 cos 90 cos 90 u cosv sin 90 u sinv sinucosv cosusinv 0
. Trigonometriske likninger.. Løs likningene når 0,60. a) 4sin 0 4sin 0 4sin sin 0 k 60 80 0 k 60 k L 0, 0 b) cos cos cos 45 k 60 45 k 60 k L 45, 5 c) tan tan 60 n80 0 n60 L 0, 80, 40, 00, 60, 0 d) 4cos4 5 5 cos4 4 Ingen løsning. cosu for alle vinkler u.
.. a) Gitt likningen sin v a der a er en konstant. For hvilke verdier av a Likningen sinv a vil ha løsning for a,. vil likningen ha løsning? b) Gitt likningen tan v b der b er en konstant. For hvilke verdier av b Likningen tanv bvil ha løsning for b. vil likningen ha løsning? c) Gitt likningen sinv 0,5 der v 0,. ) Hvor mange løsninger vil vi få i første omløp? Likningen sinv 0,5 gir to løsninger i første omløp. Likningen sinv 0,5 vil da gi fire løsninger i første omløp. ) Løs likningen. sinv 0,5 5 v n v n 6 6 5 v n v n 5 7 L,,, ) Løs likningen i ) ved hjelp av det digitale verktøyet du bruker. Merk deg hvordan du endrer innstillingene slik at du regner i radianer finner eksakte løsninger bare finner løsningene i. omløp
.. Løs likningene når 0,. a) cos vcosv 0 cosv cosv 0 cosv 0 cosv 0 v n v n cosv v n v n 4 L,,, b) tan v 0 tan v tanv tanv v n v n 4 4 5 7 L,,, 4 4 4 4 c) sinvsinv sin v sinv 0 sinv 4 sinv 4 sinv sinv Ingen løsning v n L
d) sin cos 0 sin cos 0 cos 0 cos cos cos tan 0 tan tan n 6 n 6 7 9 5 7 L,,,,,, 6 6 6 6 6 6 6 Vi må også sjekke om likningen har løsning når cos 0. Når cos 0 er sin sin. Likningen har da ingen løsning. 7 9 5 7 L,,,,,, 6 6 6 6 6 6 6 e) Løs likningene i a) d) ved CAS i GeoGebra. 4
..4 Finn de generelle løsningene til likningene. a) sin sin cos cos 0 sin sin cos cos 0 cos 0 cos cos cos cos tan tan 0 4 tan tan L k k Vi dividerte på cos og nevneren kan ikke være 0. Dermed må vi sjekke om noen av løsningene gir løsning når cos 0. cos 0 når n n Da er sin 0 og cos 0 er derfor ikke løsning av likningen. Likningen har dermed løsningen. L n n 5
b) 6sin sin cos 8cos 5 Vi bruker enhetsformelen sin cos Vi multipliserer med sin cos på høyre side i likningen 6sin sin cos 8cos 5 sin cos 6sin sin cos 8cos 5sin 5cos sin sin cos cos 0 Vi har nå den samme likningen som i a) og løsningene blir 4 L n, n n c) cos sin Vi bruker enhetsformelen sin cos sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos L n, n n 6
.4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting.4. Deriver funksjonene. f 4 a) 8 6 f b) f f ln ln ln c) f Vi bruker kjerneregelen og setter u. f u u u 6 d) f ln ln 0 ln f e) ln f e f e f) f 5 f 0 u u u 5 5 5 4 0 f u f 4 7
.4. Deriver funksjonene. g e a) 4 4 4 4 4 4 4 Bruker vi uv-regelen ser vi at svaret blir likt: 4 0 g e e e e e b) g e ln e ln e e ln g ln ln c) g g u u u 6 6 9 g d) g u u u g u 6 g 6 e) g g g g g 4 8
.4. Bruk GeoGebra og undersøk grafen til sinusfunksjonen slik som beskrevet i teorien i begynnelsen til kapittel.4..4.4 Bruk GeoGebra og undersøk grafen til cosinusfunksjonen slik som beskrevet i teorien. Hva er sammenhengen mellom sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen? Se teorien for hjelp!.4.5 Funksjonen f er gitt ved Nedenfor har vi tegnet grafen til f. tan, f a) Finn funksjonens nullpunkt grafisk og ved regning. Grafisk Vi ser at grafen til f skjærer -aksen for 0. 9
Ved regning tan 0 n n L,,0,, b) Finn de vertikale asymptotene til f. tan sin cos Vi får vertikale asymptoter når cos 0 Vi finner når cos 0 cos 0 n n n n 4 4 L,,, 4 4 4 4 Vi får vertikale asymptoter når. 4 4 4 0
.4.6 Deriver funksjonene. a) sin cos f f cos sin b) f cos cos sin 6cos 6sin cos sin f cos 9cos cos c) sin f sin f sin cos cos d) f sin cos f cos 4sin cos sin e) cos f e cos sin cos sin f e e e
.4.7 Deriver funksjonene. a) ft sint cost cost cost sint sint 4cos t 4sin t 4 cos t sin t ft cost 4cos t 4cos t cos t Eller sint ft tant cost ft cos t b) f t tan f t cos t t t f t e sint c) t t t 4 sin cos sin cos f t e t e t e t t g d) 4sin cos g 4cos sin cos sin cos sin e) g ln tan tan ln g ln tan cos cos g sin cos f) g g sin cos 0
.4.8 Funksjonen h er gitt ved a) Finn h og h ( ). h h 6 h ( ) 6 b) Finn infleksjonspunktet og vendepunktet. Infleksjonspunktet: Vendepunktet: h 0 6 0, h, 6, 4 c) Finn likningen for vendetangenten. Stigningstallet til vendetangenten er h Likningen for vendetangenten er 4 y y 4 4 y 0
.4.9 En funksjon f er gitt ved f 4 4 6 Grafen til f for - verdier fra,5 til 5 er vist på figuren. a). Les av nullpunktene til f. Vi leser av nullpunktene, og 4. b) Finn f. Regn ut f a -aksen. f 8 4 a f 8 4 7 4 4 når a ligger midt mellom de to nullpunktene lengst til høyre på c) Finn likningen for tangenten i punktet a, f a ved regning. Stigningstallet til tangenten gjennom punktet a, f a er Vi finner f 4 46 7 6 6 5 f. Vi vet at tangenten har stigningstall og går gjennom punktet, 5. Vi bruker ettpunktsformelen og finner 5 y y 5 y 4
Likningen for tangenten gjennom punktet, 5 blir y d) Bestem skjæringspunktet mellom tangenten og - aksen. Kommenter svaret. 0 Skjæringspunktet er,0. Tangenten går gjennom det tredje nullpunktet. e) Gjenta utregningene i b), c) og d) når a ligger midt mellom de to nullpunktene som ligger lengst fra hverandre. a f 8 4 8 4 9 f 4 46 4 4 6 9 Vi bruker ettpunktsformelen og finner y 9 9 y 9 9 9 y 98 Denne tangenten går gjennom det midterste nullpunktet, se den grafiske framstillingen nedenfor. 5
.4.0 Funksjonen f er gitt ved. a) Finn f Vi bruker kjerneregelen og finner f cos 0, 6sin f. b) Finn eventuelle topp og bunnpunkt på grafen til f ved å sette f 0 f 0 6sin 0 n n n n f 0 har nullpunktene og i intervallet 0,. Det er kun ved nullpunktene f kan skifte fortegn. Vi setter inn en - verdi i hvert av intervallene,,, og, f 6sin 6 6 6 negativ f 6sin 6 positiv 5 5 f 6sin 6 6 6 negativ, og setter opp en fortegnslinje for f. Grafen til f har dermed et bunnpunkt i, f, og et toppunkt i, f,. 6
c) Finn toppunkt og bunnpunkt til f ved regning uten å derivere funksjonen. Fra enhetssirkelen vet vi at den største verdien cos kan få er. Vi finner for hvilke verdier av dette inntreffer. cos 0 n n Husk at D 0, Funksjonen cos har dermed et toppunkt i f, f, Fra enhetssirkelen vet vi at den minste verdien cos kan få er. Vi finner for hvilke verdier av dette inntreffer. cos n n Funksjonen cos Husk at D 0, f har dermed et bunnpunkt i, f, d) Finn ved regning når funksjonen f stiger raskest. Her kan vi også bruke den «lure» metoden. Vi har at f 6sin Vendepunktet finner vi der stigningen er størst. Legg merke til at vi har 6 sin n n foran sin og uttrykket har dermed størst verdi når Funksjonen f stiger raskest når 7
.4. Funksjonen h er gitt ved h cos sin 0, 0 a) Finn nullpunktene til h grafisk og ved bruk av CAS. Grafisk Av den grafiske framstillingen ovenfor, ser vi at nullpunktene er,06, 4,06 og 7,06 Ved CAS 8
b) Bruk CAS og finn toppunktene til h. Vi setter h 0 Vi bruker dobbeltderiverttesten f f Funksjonen har toppunkt,56,,56 =,576,,4 og 8,56, 8,56 8,56,,4. c) Finn likningen til den vendetangenten som ligger nærmest origo. Vi finner vendepunktene til h ved å sette h 0 Det vendepunktet som ligger nærmest origo har,06. Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for vendetangenten 9
.4. Gitt funksjonen f sin 0, a) Finn eventuelle ekstremalpunkter og infleksjonspunkter til funksjonen. b) Finn eventuelle toppunkter, bunnpunkter og vendepunkter på grafen til funksjonen. c) Finn også likningen for én vendetangent hvis grafen har vendepunkt. d) Lag en skisse av grafen til f. For løsning: Se teorien 40
.5 Omforming av trigonometriske uttrykk.5. Skriv funksjonsuttrykkene nedenfor på formen Asink a) sin cos f Vi har asink bcosk Asink Vi finner A a b 8 b tan tan n a 4. Både 4 og punktet ab,, f sin 4 ligger i. kvadrant og b) sin cos g Vi finner Både 6 A a b 4 b tan tan n a 6 og punktet ab,, g sin sin 6 6 ligger i. kvadrant og 4
.5. Finn de generelle løsningene til likningene a) cos sin 0 cos sin 0 cos 0 cos cos cos tan 0 tan tan n 4 n 8 Vi må også sjekke om likningen har løsning når cos 0. Når cos 0 er sin sin. Likningen har da ingen løsning. L n n 8 b) cos sin A a b 4 b tan tan n a 4 4
Både 4 og punktet ab,, cos sin sin 4 sin 4 n 4 n 4 n 8 ligger i. kvadrant og vi skriver L n n 8 c) cossin A a b b tan tan n a 4 Både 4 og punktet ab,, ligger i. kvadrant og vi har da cossin sin 4 sin 4 n n 4 4 4 4 n n n n L n, n n 4
.5. a) Omform uttrykket sin cos A 4 til et uttrykk på formen Asink. tan n 6 Punktet, ligger i samme kvadrant som vinkelen og uttrykket blir 6 sin cos sin 6 b) Finn den generelle løsningen til likningen sincos. sin cos sin 6 sin 6 5 n n 6 6 6 6 5 n n 6 6 6 6 n n L n, n n 44
.5.4 Gitt likningen cos 6 sin 0, a) Vis at denne likningen kan omformes til cos A a b 6 8 0, b tan tan n a 6 6 Både og punktet ab, 6, ligger i. kvadrant og vi skriver 6 cos 6 sin sin 6 sincos Vi kan dermed skrive cos 6 sin sin 6 cos 6 cos 6 cos b) Finn de eksakte løsningene på likningen. cos cos n n 4 4 n n 4 4 7 n n I intervallet 0, får vi løsninger for n 0. 7 Løsningene blir L,. 45
.5.5 Funksjonen f er gitt ved f sin cos 0, 4 a) Vis at f kan omskrives til f 5 sin 4 A a b 8 9 b tan tan n a 4 4 i. kvadrant. ligger i. kvadrant og punktet,, ab ligger 5 Vi legger til og får som ligger i. kvadrant og vi har da 4 5 f sin 4 46
b) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter. Vi viser her begge metodene du har lært. Vi bruker først den «lure» metoden. Denne metoden bør du absolutt velge dersom ikke annet er spesifisert i oppgaveteksten. Metode - Den «lure» metoden f 5 sin 4 f ( ) har sin største verdi når Det gir 5 sin. 4 5 sin 4 5 n 4 5 n 4 n 4 9 n4 Toppunkt er dermed n gir 5 5, f 5 5, f ( ) har sin minste verdi når 5 sin 4 Det gir Bunnpunktet er dermed 5 sin 4 5 n 4 5 n 4 n 4 n4 n0 gir,, f. Som du sikkert legger merke til tar denne metoden mindre tid og er å anbefale dersom oppgaveteksten tillater det. Dersom det står i oppgaveteksten at du må finne toppunkt og bunnpunkt ved å bruke den deriverte, bruker du den tradisjonelle metoden. 47
Metode Den tradisjonelle metoden Vi finner først den deriverte 0 f f u u sin 5 f cos 4 5 f cos 4 4 Så setter vi den deriverte lik null 5 cos 0 4 4 5 5 n n 4 4 5 5 n n 4 4 7 n n 4 4 9 n4 n 4 n blir f 0 Når Det er kun ved nullpunktene i punktene og 5 i intervallet 0, 4. f kan skifte fortegn. Vi setter inn en - verdi i hvert av intervallene,,, 5 og 5,, og setter opp en fortegnslinje for f. f 0 5 cos 0 4 4 4 negativ 5 f cos 4 4 4 positiv 5 f 8 cos 8 4 4 4 negativ Grafen til f har da et bunnpunkt i, f, og et toppunkt i 5, f 5 5, 48
.5.6 Funksjonene f og g er gitt ved f sin g sin a) Ovenfor har vi tegnet grafen til f og grafen til g for, 4. Hvilken graf tilhører hvilken funksjon? Begrunn svaret. Den røde grafen er grafen til f og den blå grafen er grafen til g. For en funksjon gitt ved sin A k d er likevektslinja lik d. Grafen til f har likevektslinja y og grafen til g har likevektslinja y. b) For hver av grafene skal du finne - Likevektslinja Vi ser at grafen til f har likevektslinje for y og grafen til g har likevektslinje for y. - Amplitude Vi ser at amplituden (utslaget fra likevektslinja) er for grafen til f og for grafen til g. Det kan vi også se ut i fra koeffisientene foran sin( ). - Periode For en funksjon gitt ved sin A k d er perioden gitt ved. k Begge grafene har k og dermed en periode på. - Faseforskyvning For en funksjon gitt ved sin er 0. Faseforskyvning er dermed lik null. A k d er faseforskyvningen gitt ved. I begge grafene k 49
c) Finn nullpunktene til f ved regning. sin 0 sin n 5 L,, d) Tegn grafen til f og grafen til g for, 4 Se a). i det digitale verktøyet du bruker. 50
.5.7 Funksjonene f og g er gitt ved cos cos f g Nedenfor har vi tegnet grafen til f og grafen til g for, 4. Forklar hvorfor de to grafene er like. Grafen til funksjonen f gitt ved f cos Grafen til funksjonen g gitt ved g cos har en periode på. k har en periode på og er k faseforskjøvet dvs. forskjøvet avstanden mot høyre. k Grafene til funksjonene er derfor like. 5
.5.8 Funksjonen f er gitt ved f cos a) Bruk funksjonsuttrykket til f til å finne amplitude, likevektslinje, faseforskyvning og periode. Amplituden A er A. Likevektslinjen d er d. 0 Faseforskyvningen er 0 k. Perioden er. k b) Finn den minste verdien funksjonen f kan ha. Fra enhetssirkelen vet vi at den minste verdien cos kan ha er. Den minste verdien funksjonen f kan få er dermed c) Finn ved regning for hvilke verdier av funksjonen f har denne verdien. cos n n n.5.9 Funksjonen g er gitt ved g sin 0, a) Bruk funksjonsuttrykket til g til å finne amplitude, likevektslinje, faseforskyvning og periode. Amplituden A er A. Likevektslinjen d er d. Perioden er. k Faseforskyvningen er gitt ved dvs. grafen er forskjøvet mot høyre. k b) Finn den største verdien funksjonen g kan ha. Vi får den største verdien når sin. 5
Den største verdien funksjonen g kan ha blir da. c) Finn for hvilke verdier av funksjonen g har den største verdien. d) Løs likningen g grafisk og ved CAS. Hva har du funnet nå? Grafisk L,,05,,09, 4,4, 5,9, 6, (Se koordinatsystemet ovenfor.) Ved CAS Vi har nå funnet verdiene til skjæringspunktene mellom likevektslinjen og grafen til g i intervallet 0,. 5
.5.0 Ovenfor har vi tegnet grafen til en periodisk funksjon g gitt ved for,9 g( ) Asin( k ) d a) Bestem d, A, k og ut fra grafen. Av grafen kan vi lese at Likevektslinja, d, er. Amplituden, A, er 4. Perioden, p, er 8. Koeffisienten, k er gitt ved k p 8 4 4 Vi har da funnet at g 4sin. Grafen skjærer likevektslinja og er voksende for 4. Vi setter 4 0 og får 4 4 Funksjonsuttrykket blir g 4sin 54
b) Finn topp- og bunnpunkt ved regning. Funksjonen g har sin største verdi når sin 4 n 4 n 4 4 6 n 8 I intervallet, 9 har g toppunkt i 6, 6 6, g. Funksjonen g har sin minste verdi 6 når sin 4 n 4 5 n 4 0 n8 I intervallet, 9 har g bunnpunkt i,, 6 g. 55
.5. a) Finn funksjonsuttrykket til sinusfunksjonen til grafen ovenfor. fma f min Amplituden, A, er A A A fmin fma Likevektslinja, d, er d d d 0 Perioden er. Perioden finnes ved f.eks. ved å se på avstanden mellom to toppunkt. Koeffisienten k er da k k Vi har da funksjonsuttrykket Asink d sin. Faseforskyvingen er 0 siden grafen skjærer likevektslinja og er voksende for 0. Funksjonsuttrykket blir sin b) Finn funksjonsuttrykket til cosinusfunksjonen til grafen ovenfor. sincos Funksjonsuttrykket blir dermed sincos 56
.5. a) Finn funksjonsuttrykket til sinusfunksjonen til grafen ovenfor. Amplituden, A, er Likevektslinja, d, er Perioden er. Koeffisienten, k,er da f 5 ma f min A A A fmin fma 5 d d d k k Vi har da funksjonsuttrykket A k d sin sin. Funksjonen skjærer likevektslinja og er voksende for. Vi setter 0 og får Funksjonsuttrykket blir sin b) Finn funksjonsuttrykket til cosinusfunksjonen til grafen ovenfor. sincos Funksjonsuttrykket blir cos cos cos 57
.5 Eksamen MX (Privatister), Våren 007 Funksjonen nedenfor er en modell for hvordan temperaturen endrer seg i løpet av en vårdag i Bergen. T,sin 0,6,4 8, Temperaturen T er målt i C, og er antall timer etter midnatt. a) Tegn grafen til T. Marker følgende størrelser på grafen: amplitude, periode, likevektslinje og faseforskyvning. I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til T (blå graf) og grafen til den tilsvarende funksjonen som ikke er faseforskjøvet gitt ved T0,sin0,6 8,(svart prikket graf). Amplitude, periode, likevektslinje og faseforskyvning er merket av i koordinatsystemet. b) I hvor stor del av døgnet er temperaturen over 0 C? Vi ser av grafen at temperaturen er over 0 C fra ca kl..0 til kl. 9.00. 58
Grafen nedenfor viser middeltemperaturen i Bergen et bestemt år, der er antall dager etter nyttår. c) Bruk grafen til å bestemme et funksjonsuttrykk som beskriver hvordan middeltemperaturen endrer seg gjennom året. Vi velger å skrive funksjonsuttrykket som en sinusfunksjon. Amplituden er Likevektslinja er fma fmin 5 A A A 7 fmin fma 5 d d d 8 Perioden er 65. Koeffisienten k er da k k 0,07 65 Hvis funksjonen ikke hadde vært faseforskjøvet ville funksjonsuttrykket da vært gitt ved 7sin0,07 8. Grafen over har funksjonsuttrykket 7sin(0,07 ) 8. Grafen skjærer likevektslinja og er voksende for 0. Vi setter 0,07 0 0 og får,9 Funksjonsuttrykket blir da 7sin 0,07,87 8 59
.5.4 Figuren viser varslet tidevann i Stavanger 0. Januar 009. Kilde: Matematisk institutt Uio Bruk grafen til å bestemme et funksjonsuttrykk som beskriver hvordan tidevannet endrer seg gjennom døgnet. Vi velger å skrive funksjonsuttrykket som en sinusfunksjon. fma f 0, 0, min Amplituden, A, er A A A 0, Likevektslinja, d, er fmin fma 0, 0, d d d 0 Perioden er ca. timer. Koeffisienten k er da k k 0,5 Hvis funksjonen ikke hadde vært faseforskjøvet ville funksjonsuttrykket da vært gitt ved 0,sin0,5. Grafen over har funksjonsuttrykket 0,sin(0,5 ) Grafen til funksjonen skjærer likevektslinja og er voksende for 7. Vi setter 0,5 7 0 og får,64 Funksjonsuttrykket blir 0,sin0,5,64 60
.6 Ubestemte integraler.6. Bestem integralene. a) d C b) d C C c) d C C d) 0 d C e) d d d C C C f) d d d d C C g) Sjekk svarene i a) til e) ved å derivere det ubestemte integralet du fikk til svar. a) b) c) d) C C C C e) 0 0 C f) C h) Hva er et annet ord for integrasjon? Et annet ord for integrasjon er antiderivasjon. 6
.6. Bestem integralene. a) d d d d 4 4 C 6 4 C b) d d d d C 4 4 9 C C 4 4 c) d ln C d) e e e d e d e d e d e e e C e) a d a C ln a f) e d e d e C e C e C g) d C C 6
.6. Bestem integralene. a) t t dt ln ln t dt dt t t C t t C t b) ln s e s s s ds ln s dse ds s ds s s ln e s C ln s s e C s c) 00 0,0 5 e a d 00 0,0 5 0,0 00e a ln C lna 5 e d a d d.6.4 Bestem integralene. a) cos d sin C b) cos d cos d sin C c) sind cos C d) sind sind cos C cos C e) cos d cos d sin C f) sind sind cos C 6
.6.5 Bestem integralene. d C C a) 4cosd 4 cos 4 sin sin sin d C C b) d sin cos cos d C C 4 c) cos 4 d cos4 sin4 sin4 d C C d) sin d sin cos cos.6.6 Bestem integralene. a) cos 4 d cos 4 d d sin 4 C sin 4 C b) 0,5sin 0,d 0,5 sin d 0, d 0,5 cos 0, 0,5 cos 0,6 C C c) cos0,5 0, e d 0, cos0,5 e d sin0,5 0,5 0, 0 0, sin0,5 e C 0, e C 64
Integrasjon med variabelskifte.6.7 Bruk integrasjon med variabelskifte. a) ln d u ln du d du d ln u d ln du u du u C C b) d u du du d d d d u u du ln ln u du u du u C C c) cos u d du du d d cos d cosu du cos u sin du cos udu sin u C C d) sin cos d u cos du du sin d d sin du sin cos d sin u sin cos udu u C C 65
e) 6 d u du du d d 6 du d u 7 6 6 u 6 du u du u 7 C C 7 4 Delvis integrasjon.6.8 Bruk delvis integrasjon. a) lnd u u v ln v u v u v u lnd ln d ln d v ln C b) cos d u cos u sin v v u v u v u v cos d sin sind sin sind sin cos C sin cos C 66
c) 4 e d u e u e v 4 v 4 u v u v u e 4d e 4 e 4d e 4 4 e d e 4 4e C v 4e C d) e d u e u e v v u v u v u v e d e e d Integranden i integralet til høyre er blitt enklere enn integranden vi startet med. Ved å foreta delvis integrasjon en gang til på integralet e d kommer vi i mål e d e e e e d e e d e e C e C e) sin e d u v u v u v sine d cos e cos e d sin e d cos e cos e d sin e d cos e sin e sin e d sin e d sin e d cos e sin e sin e d e sin cos e sin cos sin e d Her ble ikke integralet ved å foreta delvis integrasjon en gang til. cos e d enklere enn det integralet vi startet med. Vi kom likevel i mål 67
Delbrøkoppspalting.6.9 Bruk delbrøkoppspalting. a) d Vi kan faktorisere nevneren til og kan da skrive A B d d d A d B d Vi finner koeffisientene A og B A B A A B A B B A A B B 0 A B 0 A B A B B B A B B A B Vi setter A og B inn i det opprinnelige integralet og får d A d B d d d ln ln C ln C 68
6 b) d 4 Vi kan faktorisere nevneren til og kan da skrive 6 A B d d 4 6 d A d B d 4 Vi finner koeffisientene A og B 6 A B 4 A A B A B B 6 4 6 A A B B 4 6 4 A B A B 6 A B B B 6 A B 4B 4 A B Vi setter A og B inn i det opprinnelige integralet og får 6 d A d B d 4 d d ln ln C 69
c) d 6 Vi kan faktorisere nevneren til og kan da skrive A B d d 6 d A d B d 6 Vi finner koeffisientene A og B A B 6 A A B A B B 6 A A B B 6 6 A B A B A B B B A B 5B 5 A B Vi setter A og B inn i det opprinnelige integralet og får d A d B d 6 d d ln ln C 70
d) d 5 6 Vi kan faktorisere nevneren til Vi finner koeffisientene A, B og C og kan da skrive A B C d d 5 6 d A d B d C d 5 6 A B C 5 6 6 4 A B C A B 4C 6A B C 5 6 A B C 5 6 A B C 5 6 ABC AB4C 6AB C 5 5 A B C Vi setter A, B og C inn i det opprinnelige integralet og får d A d B d C d 5 6 5 5 d d d 5 5 ln ln ln C 7
Diverse integrasjonsoppgaver.6.0 Bestem integralene. a) e d Vi integrerer med variabelskifte. u du du 4 d d 4 u du e d e 4 u du e u e du u e e C b) lnd Vi bruker delvis integrasjon. u u v ln v u v u v u lnd ln d ln d ln C v ln C 7
c) e d Vi bruker delvis integrasjon. u e u e v v u u u v v v e d e e d e e d e e C e C d) e d Vi integrerer med variabelskifte. u du du d d u du e d e u e du u e C e C e) d 4 Vi integrerer med variabelskifte. u 4 du du d d du d 4 u du u ln ln 4 u C C 7
4 f) d Vi bruker delbrøkoppspalting. Vi kan faktorisere nevneren til og kan da skrive 4 A B C d d 4 d A d B d C d Vi finner koeffisientene A, B og C 4 A B C 4 A B C 4 A B C 4 A B C B C A A B C 0 B C A 4 A B C 0 B C A 4 4 C C 0 B C A 4 C B A 4 Vi setter A, B og C inn i det opprinnelige integralet og får 4 d A d B d C d 4 d d d ln ln 4ln C 74
.6. Eksempelsett R, 008 4 Bestem integralet d Her må vi bruke delbrøkoppspalting. (Hvis vi hadde hatt i. grad i nevneren kunne vi brukt variabelskifte.) Vi kan faktorisere nevneren til og kan da skrive 4 A B d d 4 d A d B d Vi finner koeffisientene A og B 4 A B A B 4 4 A A B B A B A B 4 0 A B 0 A B 4 A B B B 4 A B B 4 A B Vi setter A og B inn i det opprinnelige integralet og får 4 d A d B d d d ln ln C ln C 75
.7 Bestemte integraler.7. Funksjonen f er gitt ved a) Tegn grafen til f. f 4 4 0,0 b) Skraver det området som er avgrenset av grafen til f, - aksen og linjene og 6. Se a). c) Finn en tilnærmet verdi for arealet av det skraverte området ved å dele området opp i ) tre rektangler med lik bredde. Bredden på hvert rektangel blir 6 Arealet blir f f 4 f 5 9 6 5 4 4 4 5 4 4 4 4 6 50,5 4 4 4 4 76
) seks rektangler med lik bredde. Bredden på hvert rektangel blir 6 6 Arealet blir 7 4 f f f f 57 7 97 47,4 8 8.7. Funksjonen S er gitt ved, S a) Tegn grafen til S og skraver området avgrenset av grafen til S, - aksen og linjene. og 77
b) Finn en tilnærmet verdi for arealet av det skraverte området ved å dele området opp i ) fire rektangler med lik bredde Arealet blir ) åtte rektangler med lik bredde c) Hvordan kunne du ha funnet en enda bedre tilnærmingsverdi for arealet av det skraverte området i oppgave a)? Jo flere rektangler det skraverte området blir delt opp i, jo nærmere kommer vi det eksakte arealet av området. 78
.7. Gitt funksjonen g 0, 4 g a) Tegn grafen til g og skraver området avgrenset av grafen til g, - aksen, y - aksen og linjene 0 og 4. b) Finn en tilnærmet verdi for arealet av det skraverte området ved å dele området opp i ) fire rektangler med lik bredde Bredden på hvert rektangel blir Arealet blir 4 0 4 g 0 g g g 4 5 4 79
) åtte rektangler med lik bredde Bredden på hvert rektangel blir Arealet blir 4 0 8 0 7 g g g 7 5 5 4 4 c) Finn den eksakte verdien for arealet av det skraverte området i oppgave a) uten å bruke integralregning. Vi kan oppfatte det skraverte området som et trapes med høyde 4. Arealet er dermed 6 4 4 4 6.7.4 Regn ut det bestemte integralet. 4 a) 0 d 4 6 4 4 0 0 8 0 6 0 b) d 8 8 6 c) e e d ln ln e ln lne d) lne ln e lne 0 0 e d e e e e e e 0 0 e) 0 0 999 d 0 0 0 000 ln0 ln0 ln0 ln0 ln0 0 0 80
.7.5 a) Regn ut det bestemte integralet 6 6 4 d 4 4d 4 4 6 6 46 4 9 9 8 8 4 4 4,5 6 b) Sammenlikn svaret du fikk i a) med svaret du fant i oppgave.7.. Verdien av arealene vi regnet ut i oppgave.7. er noe lavere enn verdien av det eksakte arealet. Vi ser allikevel at ved en oppdeling på 6 rektangler så har vi en god tilnærming av arealet. 8
.7.6 Regn ut det bestemte integralet. a) cos d 0 0 sin sin sin0 0 b) sind 0 0 cos cos cos0 0 c) sind 0 0 cos cos cos0 d) sind 0 0 cos cos cos0 0 e) cos d 0 sin sin sin0 0 0 0 0 f) 0 sin d cos cos cos 0 9 0 8
.7.7 Regn ut det bestemte integralet. Bruk variabelskifte. a) 0 sin cos d Vi finner det ubestemte integralet først. usin du cos d du d cos sin cos d u cos du u du u C sin C cos Det bestemte integralet blir 0 9 sin cos d sin sin sin0 7 8 0 b) t 0 t dt Vi finner det ubestemte integralet først. ut du t dt du dt t t t dt t du u t u u u u u C t C d d ln ln Det bestemte integralet blir 0 t 4 dt ln t ln 9 ln ln9 0 ln ln ln t 0 8
.7.8 Finn det bestemte integralet. Bruk delvis integrasjon. a) cos 0 d Vi finner det ubestemte integralet først. u cos u sin v v cos d sin sin d sin sin d sin cos C 4 Det bestemte integralet blir 0 cos d sin cos 4 sin cos sin00 cos0 4 4 0 0 4 4 4 4 0 0 84
b) cos 0 d Vi finner det ubestemte integralet først. u cos u sin v v cos d sin sin d sin sin d sin cos cos d sin cos cosd sin cos sin C 4 Det bestemte integralet blir 0 cos d sin cos sin 4 0 sin cos sin sin00 cos00 sin0 4 4 sin cos sin 00 0 0 4 4 4 0 0 0 4 4 0 0 4 4 85
.7.9 a) Regn ut det bestemte integralet u du d du d d d du du ln u ln u u ln ln 5 0 ln5 4,8 b) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn det bestemte integralet gitt i a). Skraver området. Vi bruker integralkommandoen i GeoGebra og finner arealet. 86
.8 Arealberegninger og andre anvendelser av bestemte integraler.8. I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved f Grafen skjærer - aksen i.. a) Arealet A er avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene og. ) Bestem arealet A ved integrasjon. A d 9 6 4 ) Vis hvordan du kan finne dette arealet uten å integrere. Formelen for arealet av en trekant gir gh 4 A 4 b) Arealet A er avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene og. Bestem arealet A ved integrasjon. A d 4 c) Bestem integralet f d. Kommenter resultatet. d 9 6 0 Siden de to arealene A og A er like kunne vi sagt, uten å integrere, at dette integralet er lik null. 87
d) Bestem arealet avgrenset av funksjonen f, førsteaksen og linjene og. Arealet fra til Fra oppgave a) og b) har vi at A 4 4 8. er bestemt ved d A f f d f d 4 og f d 4..8.. I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved f a) Vis ved regning at grafen skjærer - aksen når og når. Vi finner nullpunktene til f f 0 0 4 b) Bestem arealet A avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene og. A d 4 8 6 5 6 6 6 6 6 6 88
c) Bestem arealet A avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene og. A d 6 4 7 8 9 6 7 6 6 6 6 6 6 d) Arealet A er avgrenset av grafen til f, førsteaksen, andreaksen og linjen. ) Skisser grafen til f og marker arealet A. ) Bestem arealet A. Grafen til f skjærer - aksen i. Arealet A er dermed gitt ved 0 A f d f d 0 A 6 6 8 7 8 4 6 0 4 6 6 6 6 9 6 7 6 6 6 6 6 6 6 89
.8. f. Funksjonen f er gitt ved a) Finn nullpunktene til f ved regning. f 0 0 8 b) Tegn grafen til f for,. c) Finn arealet, A, avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene og. Hele dette området ligger over førsteaksen og arealet, A, er gitt ved A d 4 8 7 0 7 6 6 d) Finn arealet, A, avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene og. I dette området ligger noe av arealet under førsteaksen og noe over førsteaksen. Arealet, A, er gitt ved A f d f d f d A 8 7 9 7 8 4 6 4 6 0 7 7 7 49 6 6 6 6 6 6 90
e) Finn arealet, A, avgrenset av grafen til f, førsteaksen, andreaksen og linjen. Arealet, A, er gitt ved A f d f d 0 7 8 A 0 6 6 6 6 0.8.4 Funksjonen g er gitt ved g sin. a) Tegn grafen til g for 0,. d. b) Regn ut sin 0 0 0 sin d cos cos cos0 0 c) Regn ut arealet, A, avgrenset av grafen til g og førsteaksen i området 0,. Grafen til sin skjærer førsteaksen i. Arealet, A, er dermed gitt ved 0 A sin d sin d cos cos 0 cos cos 0 cos cos 4 d) Regn ut arealet, A, avgrenset av grafen til g, førsteaksen og linjene og. A sind cos cos cos 0 9
.8.5 Funksjonene f og g er gitt ved f og g. a) Tegn grafene til og f g for 4, 5 i samme koordinatsystem. b) Bestem arealet, A, av området som ligger mellom de to grafene. Vi finner først ut for hvilke verdier av grafene skjærer hverandre f g 0 0 0 A f d g d 0 0 Arealet, A, er dermed gitt ved 9 7 9 A d d 0 9 0 9 0 0 9
c) Bestem arealet, A, av området som ligger mellom de to grafene og linjene og Arealet A er gitt ved 0 0 A ( ) d A 0 d 0 A 9 7 9 0 9 9 9 f g d A.8.6 f e. Funksjonen f er gitt ved a) Bestem arealet A avgrenset av grafen til f, førsteaksen, andreaksen og linjen. Siden e 0 for, ligger grafen til f over førsteaksen. Arealet blir dermed 0 A e d e e e e 0 0 b) Lag en skisse og marker arealet A som er avgrenset av grafen til f, andreaksen og linjen y e. Vi finner først ut hvor linjen y e skjærer grafen til f f e lne y e lne lne 9
c) Bestem arealet A. Arealet er da gitt ved 0 0 0 A ed e d e e e 0 e e e e 0 0 g e. Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen g gitt ved 0,5 d) Vis at arealet, A, av det markerte området er A e 0,5 0,5 0,5 0,5 e e e e 0 e e 0 A d 0 94
.8.7 En fabrikk produserer nå 500 enheter per måned av en vare. Bedriften vil satse på et nytt marked og regner med at produksjonen vil øke med % per måned de to kommende årene. Bruk integrasjon og finn samlet produksjon av varen de neste to årene. Etter måneder er produksjonen, V, av varen gitt ved V 500 500,0 00 Samlet produksjonen av varen de neste to årene blir De kommende to årene vil fabrikken produsere omtrent 5 400 enheter av varen. 95
.8.8 En bedrift slipper i dag ut 00 tonn av en klimagass per måned. Bedriften har som målsetting å redusere dette utslippet med 4 % per måned de neste månedene. a) Hvor stort er det månedlige utslippet, K, av klimagassen om år dersom bedriften klarer målsettingen sin? Utslippet om måneder er gitt ved K 00 0,96. Etter år ( måneder) blir utslippet Utslippet av klimagassen etter år blir på ca. 6 tonn. b) Finn hvor lang tid det tar før utslippet er nede i 4 tonn per måned. Det tar 5 måneder (nesten år) før utslippet er nede på 4 tonn per måned. c) Finn samlet utslipp, S, de neste tre årene. Samlet utslipp av klimagassen de neste årene er 890 tonn. 96
.8.9 Ved produksjon av en vare er etterspørselen per uke gitt ved 0,0 00, 5 E e, der betyr uke, er uke osv. a) Finn etterspørselen av varen etter 6 uker. Etterspørselen etter 6 uker er 0 enheter. b) Finn hvor mange uker det går før etterspørselen er på 60 enheter i uka. Det går 47 uker før etterspørselen er på 60 enheter c) Finn samlet etterspørsel, S, i hele definisjonsområdet. Samlet etterspørsel er gitt ved Samlet etterspørsel fra uke til og med uke 5 blir 6 70 enheter. 97
.8.0 Funksjonen T gitt ved T,sin 0, 4,5 0,5 0, 4 er en modell for hvordan temperaturen endrer seg i løpet av et døgn et sted i Norge. Temperaturen T er målt i C, og er antall timer etter midnatt. Bruk integrasjon og finn gjennomsnittstemperaturen denne dagen. Amplituden er, og likevektslinjen er 0,5. Hele grafen til T vil dermed ligge over aksen. Vi kan dermed integrere over hele intervallet 0, 4 i ett. Gjennomsnittstemperaturen dette døgnet er 0,8 C..8. Funksjonen f er gitt ved f. Nedenfor har vi markert området avgrenset av - aksen, y - aksen, linjen og grafen til f. Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får dersom vi dreier det markerte området 60 om - aksen. Vi bruker formelen for volum av omdreiningslegemer, og finner 9 V f d d d 0 0 0 0 0 98
.8. Funksjonen f er gitt ved f. Nedenfor har vi markert området avgrenset av - aksen, y - aksen, linjen 4 og grafen til f. a) Hvilken geometrisk figur får vi dersom vi dreier det markerte området 60 om - aksen? Vi får en kjegle. b) Finn volumet, V, av den geometriske figuren du fikk i a) ved å bruke formelen for volum av omdreiningslegemer. 4 4 4 4 64 6 V f d d d 4 0 4 0 0 0 0 c) Finn volumet, V, ved å bruke formelen for volum av en kjegle. Gh Formelen for volum av en kjegle er gitt ved V. Grunnflaten, G, er en sirkel med radius f 4 4. Høyden er 4. Volumet blir dermed r h 4 6 V 99
.8. Funksjonen g er gitt ved g e. Nedenfor har vi markert området avgrenset av - aksen, y - aksen, linjen ln8 og grafen til g. Bestem volumet, V, av det omdreiningslegemet vi får dersom vi dreier grafen til g 60 om førsteaksen. Vi bruker formelen for volum av omdreiningslegemer, og finner ln8 ln8 ln8 ln8 V g d e d e d e d 0 0 0 0 ln8 0 ln8 0 e e e 8 7 00
.8.4 Gitt funksjonen f a Nedenfor har vi markert området avgrenset av - aksen, y - aksen, linjen h og grafen til f. a) Forklar at stigningstallet, a, kan uttrykkes ved r h. fh r Stigningstallet, a, til en rett linje gjennom origo er gitt ved a h h b) Bruk formelen for volum av et omdreiningslegeme og utled formelen for volumet av en kjegle. r Vi har at f a. h Vi bruker formelen og finner h h h d d 0 0 0 h h h 0 h h r r r r r r h V h h.8.5 (Eksempeloppgave R, 008) Funksjonen f 4 er gitt. a) Vis at likningen for tangenten i punktet 4, 4 4 f 4 f 4 4 f 4 f 4 4 4 8 Likningen for tangenten i punktet 4, f 4 blir f er gitt ved y 8. 0
4 4 4 y y a y f f y 4 y 6 y 8 b) Bestem arealet av det området som er avgrenset av grafen til f, tangenten i 4, 4 f og linja. Dette blir arealet mellom grafen til f og tangenten y der grafen til f ligger over grafen til y. 4 4 Arealet f d y d 4 4 4 d 8d 4 48 8 4 48 4 48 4 84 8 4 4 96 48 60 69 48 4 0
.9 Modellering.9. Tabellen under viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 98 til 00 Årstall 98 98 99 996 000 00 SO i 000 tonn 6,4 04,0 7,0, 7,, Bruk eksponentiell regresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La være antall år fra 980 og S utslippet av svoveldioksid i tusen tonn. Plott punktene og tegn grafen til uttrykket du finner. Bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen S kan beskrives med uttrykket S 9,4 0,9 0
.9. Tabellen viser bruk av tid på hjemme-pc i perioden 994 til 00 i minutter. Årstall 994 998 999 00 Tid i minutter 0 8 5 a) Bruk eksponentialregresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La være antall år fra 994 og Plott punktene og grafen til uttrykket du finner. T bruk av tid på hjemme-pc. Bruker eksponentialregresjon i GeoGebra og finner at funksjonen T kan beskrives med uttrykket 0,4 T 8,9e 8,9,54 b) Bruk modellen du fant i a) og finn ut hvor mye tid som vil bli brukt på hjemme-pc i 00 og 00. 6 Bruk av tid i minutter på hjemme-pc i 00 blir T 6 8,9,54 88 6 Bruk av tid i minutter på hjemme-pc i 00 blir T 6 8,9,54 69 c) Vurder gyldigheten av teorien fram i tid. Modellen virker troverdig å bruke i 00, men at tidsbruken skal bli 67 minutter dvs. over 6 timer i 00, virker usannsynlig. 04
.9. Tabellen viser temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd. Antall timer etter strømbruddet 0 4 8 6 0 Antall grader i C 4,0 4,4 6,0 8,9,5 7,9 a) Bruk eksponentialregresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La være antall timer etter strømbruddet og punktene og tegn grafen til uttrykket du finner. T temperaturen i kjøleskapet. Plott Bruker eksponentialregresjon i GeoGebra og finner at funksjonen T kan beskrives med uttrykket 0,079 T,5 e,5,08 b) Vurder gyldigheten til modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt. Modellen vil gi en høyere og høyere temperatur i kjøleskapet. I virkeligheten vil temperaturen i kjøleskapet nærme seg temperaturen i rommet der kjøleskapet står. Modellen vår er nok ikke gyldig noe særlig lenger enn ca. døgn etter strømbruddet. 05
La oss nå anta at vi får greie på at temperaturen i kjøleskapet etter timer er 0,0 C, etter 6 timer er den, C og etter 0 timer er temperaturen i kjøleskapet,5 C. c) Bruk logistisk regresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk T opplysningen du nå har fått sammen med det du vet fra tidligere. L som passer med Vi legger punktene i regnearket i GeoGebra og velger «Logistisk» som regresjonsmodell Vi finner den logistiske funksjonen T L 4,7 9,6 0, e d) Marker datamaterialet fra tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem. Tegn grafen til den logistiske funksjonen du fant i c) i samme koordinatsystem. e) Vurder gyldigheten til denne modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt. 4,7 Brøken 0, 9,6e vil nærme seg 4,7 når blir stor. I virkeligheten vil temperaturen i kjøleskapet nærme seg temperaturen i rommet der kjøleskapet står. Modellen vår kan virke rimelig dersom romtemperaturen ligger jevnt på 4,7 C. 06
.9.4 Sol Sikke ville finne ut hvordan en solsikke i hagen vokste fra uke til uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i 8 uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor. Etter uker 4 5 6 7 8 Høyde i cm 6 0 7 40 56 68 07 40 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et funksjonsuttrykk som passer til punktene. Det ser ut som kurven gjennom punktene stiger mer og mer. Her vil det være naturlig å prøve med eksponentiell regresjon. Eksponentiell regresjon gir 0, e f 0,94 0,94,77 Vi ser at kurven treffer bra med de observerte verdiene. b) Vurder gyldigheten til modellen du fant i a). Det er viktig å legge merke til at funksjonsuttrykket vi fant her gjelder i et begrenset område. Det vil være naturlig at veksten til solsikken vil avta og etter hvert stoppe helt opp. Da kan vi ikke bruke det samme funksjonsuttrykket. Her må vi bruke sunn fornuft! 07
Sol Sikke fortsatte å måle solsikken sin 4 uker til. Høydene ser du i tabellen nedenfor. Etter uker 4 5 6 7 8 9 0 Høyde i cm 6 0 7 40 56 68 07 40 45 48 49 49 c) Bruk logistisk regresjon i et digitalt verktøy og finn et funksjonsuttrykk S som passer til punktene. Vi legger punktene i regnearket i GeoGebra og velger «Logistisk» som regresjonsmodell Vi finner den logistiske funksjonen 58,9 7,5 0,6 S e d) Marker datamaterialet fra tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem. Tegn grafen til den logistiske funksjonen du fant i c) i samme koordinatsystem. e) Vurder gyldigheten til modellen du fant i c) Denne modellen treffer ikke like godt som modellen i a) de første 8 ukene. Etter uke 8 flater veksten ut og modellen i c) passer bra de neste 4 ukene. Solsikken vil etter hvert visne, så modellen vil ikke være gyldig veldig langt fram i tid. 08
.9.5 Eksamen MX, Høsten 005 En dag løp en ungdomsskoleelev 00-meteren på 4 sekunder. Med moderne måleutstyr får vi oversikt over hvor lang strekning utøveren har tilbakelagt som funksjon av tiden. Måleresultatene er satt opp i tabellen nedenfor: Tid i sek. 0 4 5 6 7 8 9 0 4 Strekning I meter 0 8 5 0 8 46 54 6 70 78 86 9,5 00 a) Tegn inn punktene i et koordinatsystem, og tegn en glatt kurve gjennom dem. b) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn et funksjonsuttrykk som passer godt med måleresultatene. Vi bruker GeoGebra og finner et tredjegradsuttrykk, S, som passer godt med de observerte verdiene. Vi legger punktene i regnearket i GeoGebra og velger «Logistisk» som regresjonsmodell. Vi får S t 0,0t 0,5t 4,t 0,96 c) Bestem grafisk en tilnærmet verdi for den momentane farten etter sekunder og etter 7 sekunder. Vi bruker GeoGebra og finner tangenten til grafen til S i punktene hjelp av kommandoene tangent[,f] og tangent[7,f]. S og 7, S7, Tangentlikningene viser at farten etter sekunder er 5,9 m/s og etter 7 sekunder 8, m/s. Se koordinatsystemet nedenfor. ved 09
d) Nedenfor ser du tre grafer som beskriver fart som funksjon av tid. Hvilken av de tre grafene beskriver 00-meteren som utøveren har løpt? I oppgave c) fant vi at farten var ca. 6 meter i sekundet etter sekunder og ca. 8 meter i sekundet etter 7 sekunder. Graf passer best til disse observasjonene. e) Anta at du ikke kjenner strekningen som ble tilbakelagt på de 4 sekundene. Hvordan kan du bruke fartsgrafen til å bestemme strekningen? Farten er den deriverte av strekningen. Arealet under fartsgrafen viser dermed tilbakelagt strekning. Teller du antall «ruter» under fartsgrafen lengst til høyre, vil du se at arealet blir ca. 00. 0
.9.6 0 4 6 8 0 4 6 8 4 h -9 - - -6 - - -7 - -0 - - -4-7 Tabellen ovenfor viser vannstanden utenfor Tregde. februar 008. I tabellen er antall timer etter midnatt og h er vannstanden målt i cm over middelvann. a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn en sinusfunksjon som passer godt til dataene. Tegn grafen til funksjonen. Vi legger punktene i en liste i GeoGebra, velger «sin» som regresjonsmodell, og finner funksjonen h gitt ved h 5,89sin 0,5,9 6,5
b) Bruk funksjonsuttrykket du fant i a) og bestem ved CAS når vannstanden var lavest og når den var høyest. Hvor langt under middelvann var vannstanden da? Vannstanden var på det høyeste når funksjonen h har sin største verdi. I intervallet 0, 4 er det høyest vannstand når 8,66 og når 0,74 Vannstanden var på sitt høyeste ca. 8 t og 40 min og ca. 0 t og 4 min etter midnatt. h h 8,66 0,7 5,89 6,5 0,6 Vannstanden var da 0,6 cm under middelvann. Vannstanden er på det laveste når funksjonen h har sin minste verdi. Funksjonen h har sin minste verdi når I intervallet 0, 4 er det lavest vannstand når,6 og når 4,7 Vannstanden var på sitt laveste ca. t og 7 min og ca. 4 t og 4 min etter midnatt. h h,6 4,7 5,89 6,5,4 Vannstanden er da,4 cm under middelvann.
.9.7 Tid 0 4 6 8 0 4 6 8 0 4 Temperatur,8,,,8 5,4 8,6,,8,8, 8,6 5,4,8 Tabellen viser temperaturen målt i C annenhver time etter midnatt på et feriested. a) Merk av punktene i et koordinatsystem, og tegn en glatt kurve gjennom dem. b) Finn en modell for temperaturen y gitt på formen y asin( c ) d, der er antall timer etter midnatt. Vi legger punktene inn i en liste i GeoGebra, velger «sin» som regresjonsmodell, og finner at den sinusfunksjonen som passer best med datamaterialet er y 6,0sin 0,6,6 7 På et annet feriested varierer temperaturen mer. Minimumstemperaturen er 8 C, og maksimumstemperaturen er 4 C. Maksimumstemperaturen og minimumstemperaturen inntreffer på samme tidspunkt på døgnet som på det første feriestedet.