DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for elektroteknikk og databehandling Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Mandag 28. november 2005 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen Bokmål Merknader: Max oppnåelige poeng er gitt for hver oppgave, totalt kan en få 100 poeng. Med 240 minutt totalt kan en fornuftig tidsbruk være å bruke ca 10 minutt for hver 5 poeng, da har en 20 minutt til pauser og 20 minutt ekstra. Siden det denne gang ikke er behov for noen formler, utover de som er oppgitt etter hvert og de som dere forventes å kunne er det ikke med noe eget formelark. Oppgavesettet er på 3 oppgaver på 6 sider (inkludert denne forsida). 1
Oppgave 1 Vi skal utvikle en tilstandsestimator for temperaturen i en ovn som består av en metallsmelte. Eneste tilgjengelige kontinuerlige måling er kjølevannstemperaturen til ovnen. En prinsippskisse av ovnen er gitt under. Q s T i T kv F kv F kv c p,s h A T s m s c p,kv m kv T kv Prinsippskisse av smelteovn. hvor: T s - temperatur i smelten [K] (tilstand1/måling1) T kv - Kjølevannstemperatur [K] (tilstand2/måling2) T i - Temperatur på kjølevann inn [K] c p,s - Spesifikk varmekapasitet i smelte [J/K kg] c p,kv - Spesifikk varmekapasitet i kjølevann [J/K kg] h A - Produktet av varmeoverføringskoeffisient og areal mellom smelte og kjølevann [J/K s] Q s - Effektpådrag i smelten [J/s] F kv - flow av kjølevann [kg/s] m kv - mengde kjølevann i kappen [kg] m s - mengde smelte [kg] 2
a. (10p) Utled energibalansene, dvs. differensialligning for temperaturene i smelten og kjølevannet. Tips: Energiinnholdet i et system i enheten [J] er uttrykt som U = m c p T (1) Effekten av masseflyt, det vil si energiinnholdet til stoff som strømmer inn i/ut av et system i enhetene [J/s] er tilsvarende uttrykt som u = F c p T (2) En modell av varmetransport i enhetene [J/s] gjennom en vegg som i eksempelet her er gitt av Q = h A (T 1 T 2 ) (3) Inkluder i modellen følgende støyledd: v 1 - prosess-støy som virker på smeltetemperaturen T s, [K/s] v 2 - prosess-støy som virker på smeltetemperaturen T kv, [K/s] w 1 - målestøy som virker på måleinstrumentet, [K] Disse har E(v 1 ) = E(v 2 ) = E(w) = 0. Videre er en generell energibalanse gitt av: hvor du dt = u in u ut + Q (4) u in er tilført effekt, det vil seie energien som blir transportert inn til systemet av massen som kommer inn, [J/s] u ut er avgitt effekt, det vil seie energien som blir transportert ut av systemet av massen som strømmer ut, [J/s] Q er tilført varme, [J/s] I utviklingen av modell benytt følgende antagelser: mengden kjølevann er konstant, dvs. kjølekappen er hele tiden full av vann varmekapasiteten til kjølevann og smelte er konstant (varierer ikke med temperatur) ideell blanding i kjølevann og smelte mengden smelte er konstant ingen tilsats eller uttak av smelte 3
b. (10p) Sett modellen opp på tilstandsromform, det vil si finn matrisene A, B, C og D i modellen ẋ = Ax + Bu + Cv y = Dx + w (5) Anta at vi har 2 pådrag, Q s og T i (mao. så har vi f.eks. en varmeveksler foran kjølevannsinntaket til reaktoren som vi kan styre temperaturen inn med). Tips: A matrisen vil bli: A = [ h A m sc p,s h A m kv c p,kv ( h A m sc p,s h A m kv c p,kv ) + F kv m kv ] (6) c. (5p) Hvilken type modell er dette? Stikkord: orden, lineær, ulineær, kontinuerlig, diskret. d. (10p) Diskretiser modellen med Eulers forovermetode med samplingstid T og sett modellen opp på diskret tilstandsromform. e. (5p) Hvordan avgjør en om modellen er observerbar? Er modellen i oppgaven observerbar? 4
Oppgave 2 a. (5p) Modellen brukt for minste-kvadraters-metode (Least squares eller bare LS) er: Forklar hva de ulike symboler her betyr (står for). y(k) = φ T (k)θ + e(k). (7) b. (5p) For å kunne estimere parametrene Θ må en sette opp et ligningssystem som kompakt kan skrives: Y (k) = Φ(k)Θ (8) LS-estimatet av parametrene finnes med ˆΘ(k) = [Φ T (k)φ(k)] 1 Φ T (k)y (k). (9) Forklar hva de ulike symboler her (begge ligningene) betyr (står for). c. (5p) Skriv opp en generell ARMAX-modell. Hvilke deler av modellen representerer AR-delen, MA-delen og X-delen? Hva står disse betegnelsene for? d. (15p) Nedenfor er det tre modeller der y(k) er utgangssignalet (som måles), u(k) er et kjent inngangssignal og e(k) er hvit (Gaussisk) støy med minst mulig varians. For hver av de tre modellene svar på: Er modellen en AR, en ARMA, en ARMAX eller en ARX modell? Hvilken orden har modellen? Hva blir regressorvektoren (datavektoren) for estimering av de ukjente parametrene? y(k) = b 0 u(k) + b 1 u(k 1) + e(k) + c 1 e(k 1) + c 2 e(k 2) (10) y(k) = a 1 y(k 1) a 2 y(k 2) + e(k) + c 1 e(k 1) (11) y(k) = a 1 y(k 1) a 3 y(k 3) + e(k) (12) 5
Oppgave 3 Her er noen korte spørsmål som kun krever noen korte svar. Spørsmålene har ingen direkte sammenheng. a. (5p) Hva er hensikten med å benytte en tilstandsestimator (f.eks. Kalmanfilter) mot en eller annen prosess? b. (5p) Hva betyr det at et system er tidsinvariant? c. (5p) En integrator har differensligningen y(k + 1) = y(k) + T u(k). Hva blir transferfunksjonen? d. (5p) Hva beskriver kovariansmatrisene, P (k) og ˆP (k), slik de er brukt under utledningen av Kalmanfilteret? e. (5p) Tegn et blokkskjema for et prediktor/korrektor Kalmanfilter. f. (5p) Hvordan utvides et Kalmanfilter for tilstandsestimering for ulineært system? 6